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滤波器设计. 报告人 : 高广华. 第三章 模拟滤波器设计. § 3.1 模拟滤波器设计原理. § 3.2 模拟原型滤波器. § 3.3 频率变换. § 3.4 模拟滤波器最小阶数的选择. § 3.5 模拟滤波器设计函数. 滤波是信号处理的一种最基本而重要的技术，利用滤波可从复杂的信号中提取所需要的信号，抑制不需要的部分。 所谓滤波器 (Filter) 是具有一定传输特性的信号处理装置。
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滤波器设计 报告人:高广华
第三章 模拟滤波器设计 § 3.1 模拟滤波器设计原理 § 3.2 模拟原型滤波器 § 3.3 频率变换 § 3.4 模拟滤波器最小阶数的选择 §3.5 模拟滤波器设计函数
滤波是信号处理的一种最基本而重要的技术，利用滤波可从复杂的信号中提取所需要的信号，抑制不需要的部分。滤波是信号处理的一种最基本而重要的技术，利用滤波可从复杂的信号中提取所需要的信号，抑制不需要的部分。 所谓滤波器(Filter)是具有一定传输特性的信号处理装置。 根据滤波器所处理的信号的不同，滤波器可分为两类：模拟滤波器(Analog Filter,AF)和数字滤波器(Digital Filter,DF)。
3.1 模拟滤波器设计原理 模拟滤波器的设计就是根据给定的技术指标，转换为相应的模拟系统传递函数 H(s)，使其逼近某个理想滤波器的特性。这种逼近可由平方幅值响应函数|H(jω)|2 的形式给出，而|H(jω)|2和传递函数H(s)存在确定的关系。 模拟滤波器设计就是由已知的平方幅值响应函数|H(jω)|2求传递函数H(s)。
3.1.1 信号无失真传输条件 所谓信号无失真传输是指输入信号通过系统后，输出信号的幅值和输入信号呈比例，允许有一定的延时，但没有波形上的畸变。 信号无失真传输要求系统的频率响应函数为：
据此可得，系统的幅频特性和相频特性分别为：据此可得，系统的幅频特性和相频特性分别为： 式中，k，td均为常数。 即信号无失真输传输的条件是：系统的幅频响应|H(jω)|应为一常数，相频响应应与频率ω成线性。
定义群延迟（Group Delay）为信号通过系统的延迟时间： 即群延迟为相频特性曲线斜率的负值。对于信号无失真传输，td为常数，故群延迟为常数；否则它是频率ω的函数。
3.1.2 理想滤波器特性 理想滤波器应能无失真地传输有用信号，而又能完全抑制无用信号。因此，理想滤波器频率特性可写为： 信号能通过的滤波器频带称为通带 ( Passband )，信号被抑制的频带称为阻带( Stopband )。
理想滤波器是物理不可实现系统。实际滤波器的频率特性只能“逼近”理想滤波器，如下图所示( 实际低通滤波器的幅频特性)。
可见，一个实际的低通滤波器的幅频特性分为三个部分：可见，一个实际的低通滤波器的幅频特性分为三个部分： ① 通带( 0 ～ωc )： 幅频响应为1，通带波纹为Rp (dB) ； ② 阻带(ωs ～∞ )： 幅频响应为 0，阻带衰减为Rs (dB) ； ③ 过渡带(ωp ～ωs )：过渡带宽 (ωs－ωp)。 其中，ωp为通带边界频率， ωs为阻带边界频率。
1. 低通滤波器的性能指标 |H(ejw)|或|H(f) δ1:通带的容限 1 δ2：阻带容限 Ap 1-δ1 通带截止频率：fp(wp)又称为通带上限频率。 通带衰减：Ap 阻带截止频率：fp(ws)又称阻带下限截止频率。 阻带衰减：As δ2 As fs ws fp wp f w
2. 高通滤波器的性能指标 |H(ejw)|或|H(f) Ap 通带截止频率：fp(wp)又称为通带下限频率。 通带衰减：Ap 阻带截止频率：fp(ws)又称阻带上限截止频率。 阻带衰减：As 1 As fs ws fp wp f w
3. 带通滤波器的性能指标 |H(ejw)|或|H(f) Ap 通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。 通带衰减：Ap 阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。 阻带衰减：As 1 As f w fs1 ws1 fp1 wp1 fs2 ws2 fp2 wp2
4. 带阻滤波器的性能指标 |H(ejw)|或|H(f) Ap 通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。 通带衰减：Ap 阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。 阻带衰减：As 1 As fs1 ws1 f w fp1 wp1 fs2 ws2 fp2 wp2
3.1.3 滤波器传递函数设计 模拟滤波器的技术指标可由其平方幅值响应函数 |H(jω)|2给出，而|H(jω)|2和传递函数存在下面关系： 由上式可知，当给定模拟滤波器的技术指标后，可由|H(jω)|2求出H(s)H(-s)，再适当地分配零极点即可求出H(s)。
由|H(jω)|2确定H(s)的方法： ① ② 将H(s)H(-s)作因式分解，得到全部零极 点，把S平面左半平面的极点归于H(s)， 同时取一半零点归于H(-s)。 ③ 由 确定增益 常数K。
3.2 模拟原型滤波器 常用的低通模拟原型滤波器包括：巴特沃斯滤波器、切比雪夫I型滤波器、切比雪夫II 型滤波器、椭圆滤波器、贝 塞尔滤波器。各类模拟滤波器 ( 高通、带通、带阻 ) 及数字滤波器 ( 低通、高 通、带通、带阻 ) 均可通过这些低通模拟原型滤波器经变换而获得。
3.2.1 巴特沃思滤波器 巴特沃斯( Butterworth )模拟低通滤波器原型的平方幅频响应函数为： 式中，ωc为低通滤波器的截止频率； N 为滤波器的阶次。
Butterworth 低通滤波器的特点是：通带内具有最大平坦的幅频特性，且随频率增大而平滑单调下降；阶次N愈高，特性愈接近矩形，过渡带宽愈窄。在频率ωc处，恒有|H(jω)|2 =0.5,与N为多少无关。传递函数无零点，极点等距离分布在 |s|=ωc为半径的圆周上。传递函数具有如下形式：
MATLAB信号处理工具箱提供了Butterworth模拟低通滤波器原型设计的函数buttap，其调用格式为： [Z, P, K]= buttap(n) 其中，n为Butterworth滤波器的阶次； Z为滤波器零点； P为滤波器极点； K为滤波器增益 。
3.2.2 切比雪夫滤波器 一、ChebyshevⅠ型 ChebyshevⅠ型模拟低通滤波器的平方幅值响应函数为： 式中，ε为小于1的正数，表示通带内幅值波纹情况； ωc为截止频率； CN(ω/ωc )为Chebyshev多项式 。
MATLAB 信号处理工具箱提供了ChebyshevⅠ型模拟低通滤波器原型设计 的函数cheb1ap ，其调用格式为： [Z, P, K]=cheb1ap(N, Rp) 其中，N为滤波器阶次； Rp为通带波纹(dB)； Z, P, K为滤波器零点、极点、增益。
ChebyshevⅠ型滤波器的特点是：通带内具有等波纹起伏特性，而在阻带内则单调下降且具有更大衰减特性；阶次 N愈高，特性愈接近矩形。传递函数没有零点，极点分布在一个椭圆上。传递函数具有如下形式：
二、ChebyshevⅡ型 ChebyshevⅡ型模拟低通滤波器平方幅值响应函数为： 式中，ε为小于1的正数，表示阻带内幅值波纹情况； ωc为截止频率； CN(ω/ωc )为Chebyshev多项式 。
MATLAB 信号处理工具箱提供了ChebyshevⅡ型模拟低通滤波器原型设计 的函数cheb2ap ，其调用格式为： [Z, P, K]=cheb2ap(N, Rs) 其中，N为滤波器阶次； Rs为阻带波纹(dB)； Z, P, K为滤波器零点、极点、增益。
ChebyshevⅡ型滤波器特点是：阻带内具有等波纹起伏特性，而在通带内是单调、平滑的。阶次 N愈高，特性曲线愈接近矩形。传递函数既有极点，又有零点。传递函数具有如下形式：
3.3 频率变换 所谓频率变换是指各类滤波器 (低通、高通、带通、带阻 ) 和低通滤波器原型的传递函数中频率自变量之间的变换关系。通过频率变换，我们可以从模拟低通原型滤波器获得模拟的高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器，再通过S域至z域转换便可设计各类数字 I I R滤波器。这是滤波器设计的重要方法之一。
3.3.1 频率变换工具函数 MATLAB信号处理工具箱有四个频率变换函数：lp2lp, lp2hp, lp2bp, lp2bs。 ⑴ 函数lp2lp 实现模拟低通原型滤波器至模拟低通滤波器的变换。调用格式为： [bt, at]=lp2lp(b, a, ω0) [At, Bt, Ct, Dt]=lp2lp(A, B, C, D, ω0) ω0为低通滤波器的期望截止频率(rad/s)。
⑵ 函数lp2hp 实现模拟低通原型滤波器至模拟高通滤波器的变换。调用格式为： [bt, at]=lp2hp(b, a, ω0) [At, Bt, Ct, Dt]=lp2hp(A, B, C, D, ω0) ω0为高通滤波器的期望截止频率(rad/s)。
⑶ 函数lp2bp 实现模拟低通原型滤波器至 模拟带通滤波器的变换。调用格式为： [bt, at]=lp2bp(b, a, ω0 , Bw ) [At, Bt, Ct, Dt]=lp2bp(A, B, C, D, ω0 , Bw ) ω0为带通滤波器的中心频率(rad/s)； Bw为带通滤波器的指定带宽(rad/s)。
⑷ 函数lp2bs 实现模拟低通原型滤波器至 模拟带阻滤波器的变换。调用格式为： [bt, at]=lp2bs(b, a, ω0 , Bw ) [At, Bt, Ct, Dt]=lp2bs(A, B, C, D, ω0 , Bw ) ω0为带阻滤波器的中心频率(rad/s)； Bw为带阻滤波器的指定带宽(rad/s)。
3.3.2 模拟滤波器设计方法 利用频率变换设计模拟滤波器的步骤： ① 给定模拟滤波器的性能指标(如ω0, ω1,ω2, Rp , Rs等)； ② 确定滤波器阶次； ③ 设计模拟低通原型滤波器； ④ 按频率变换设计模拟滤波器。
3.4 模拟滤波器最小阶数的选择 模拟滤波器设计中，一个重要的步骤 就是确定滤波器的阶数，因为它是决定滤 波器品质的主要参数之一。在满足性能指 标的前提下，阶数应尽可能小，以满足易 于实现的要求。而在阶数和滤波器性能之 间存在一定函数关系，通过这一函数关系 可以求出满足滤波器性能指标的最低阶数。
3.4.1 巴特沃思低通模拟滤波器 Butterworth低通滤波器最小阶数N及截止频率ωc(－3dB处频率 )由下式确定：
例： 设计一个butterworth 滤波器，设计指标：通带Wp=200pi , 阻带边界频率Ws＝300pi，通带波纹1dB，阻带宽衰减16dB，确定最小阶数N和截止频率Wc。 • 解： wp=200*pi; ws=300*pi; Rp=1; Rs=16; N1=log10((10^(Rp/10)-1)/(10^(Rs/10)-1))/(2*log10(wp/ws)); N=ceil(N1)； Wcp=wp/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N)))； Wcs=ws/((10^(Rs/10)-1)^(1/(2*N)))
3.4.2 切比雪夫低通模拟滤波器 一、Chebyshev Ⅰ型 最小阶数N及截止频率ωc(－3dB处频率 )由下式确定： 式中，
3.5 模拟滤波器设计函数 MATLAB信号处理工具箱提供模拟滤波器的完全设计函数：butter, cheby1, cheby2, ellip, besself。用户只需调用一次函数即可自动完成全部设计过程，编程十分简单。这些工具函数用于模拟滤波器设计，除besself 外这些函数也适用于数字滤波器设计。
3.5.1 巴特沃斯模拟滤波器 函数butter用于Butterworth滤波器设计。调用格式： [b, a]=butter( n, ωn, 's' ) [b, a]=butter( n, ωn, ' ftype ', 's' ) [z, p, k]=butter(…) [A, B, C, D]=butter(…)
3.5.2 切比雪夫模拟滤波器 一、切比雪夫Ⅰ型模拟滤波器 函数cheby1用于chebyshevⅠ型模拟滤波器的设计。调用格式： [b, a]=cheby1(n, Rp, ωn, 's' ) [b, a]=cheby1(n, Rp, ωn, ' ftype ', 's' ) [z, p, k]= cheby1(…) [A, B, C, D]= cheby1(…)
二、切比雪夫Ⅱ型模拟滤波器 函数cheby2用于chebyshevⅡ型模拟滤波器的设计。调用格式： [b, a]=cheby2(n, Rs, ωn, 's' ) [b, a]=cheby2(n, Rs, ωn, ' ftype ', 's' ) [z, p, k]= cheby2(…) [A, B, C, D]= cheby2(…)
