Выполнила учитель высшей категории Самсонова Надежда Александровна

1. теорема пифагора Выполнила учитель высшей категории Самсонова Надежда Александровна

2. содержание • Историческая справка • Формулировка теоремы Пифагора • Доказательство теоремы • Еще несколько доказательств • Реши задачи • Решение задач • Заключение

3. Историческая справка • Существует замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника, справедливость которого была доказана древнегреческим философом и математиком Пифагором ( VI в. до н. э.). • Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора. • Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.

4. Формулировка теоремы В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов В С А

5. Доказательство теоремы Дано: АВС, <C=90о, АВ = с, ВС = а, АС = в Доказать: с2 = а2 + в2 Доказательство: 1. Достроим АВС до квадрата СКРД со стороной ( а + в ); SСКРД= ( а + в)2 = а2 + 2ав + в2 2. ВСА = АКЕ = ЕРМ = МДВ ( по двум катетам ) SВСА = SАКЕ = SЕРМ= SМДВ = ав/2 Е К Р 3. ВАЕМ – квадрат, SВАЕМ = c2 4. SСКРД= SВАЕМ+ SВСА+ SАКЕ+ SЕРМ+ SМДВ 5. ( а + в)2 = с2+ 4 * ав/2 а2 + 2ав + в2 = с2+ 2ав, откуда с2 = а2 + в2 М А С Д В

6. Еще несколько доказательств теоремы Пифагора Теорема Пифагора ( другая формулировка) Сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на его гипотенузе Именно так выглядела классическая формулировка теоремы. Картинка, иллюстрирующая теорему Пифагора, была ранее своеобразным символом геометрии, а в среде российских гимназистов получила название « Пифагоровы штаны».Саму теорему они переиначили так: «Пифагоровы штаны на все стороны равны». И в этой шуточной формулировке запоминали ее на всю жизнь.

7. Приведем одно из многочисленных геометрических доказательств теоремы Пифагора. Оно отлично от доказательства самого Пифагора, но широко известно и даже встречается в художественной литературе. 4S + a2 + b2 = 4S + c2 Впрочем, по сути, и доказательства как такового нет. Все сводится к «предъявлению» двух данных картинок, посмотрев на которые вы без труда убедитесь, что теорема Пифагора доказана!.. Убедились?

8. Этот рисунок демонстрирует старинное индийское доказательство теоремы Пифагора. Его можно найти в сочинении Бхаскары (индийский математик, живший в XII в.) Оно сопровождается Одним словом: «СМОТРИ»

9. реши задачи 12 cм K N 1.Дан прямоугольный треугольник KMN. KN = 12cм, KM = 13см. Найти MN. 13 см M F R 2. Дан прямоугольник DFRO, RO:DO = 3:4 Найти FR, FD. 25см D O 3. В треугольнике АВС высота CD, опущенная из вершины прямого угла С, делит гипотенузу АВ на отрезки АD =9 см и DB = 16 см. Катет ВС = 20 см. Найдите катет АС и высоту CD этого треугольника. 1 2 3

10. решение задач решение задач Задача 1 Т. К. треугольник прямоугольный, то применим теорему Пифагора: с2= а2+ в2 КМ2= KN2 + NM2 => MN2=KM2 – KN2 => MN2 = 169 -144 = 25, MN = 5см Ответ : MN = 5 см.

11. решение задач решение задач • Задача 2 • Рассмотрим треугольник DFR – прямоугольный ( DFRO- прямоугольник) • 2. RO = FD и DO = FR (по свойству параллелограмма) • 3. FD = 3x см и FR = 4x см, т.к. RO : DO = 3:4 и х – 1 часть • 4. Используя теорему Пифагора, составим равенство : FD2+ FR2= DR2 • 5. 9х2 + 16х2 = 625 ( решаем уравнение) • 25х2 = 625 • х2 = 25 • х1 = 5 , х2= - 5 ( - 5 не является решением задачи) • 6. FD = 3 * 5 = 15(cm) FR = 4 * 5 = 20 (cm) • Ответ : FR = 20 см и FD = 15 см

12. решение задач C Задача 3 Дано : 20 cm АВС – прямоугольный, <C = 900, CB = 20 см, CD = h AD = 9 cм, DB = 16 см A B 9cm D 16cm Найти :CD, AC Решение : 1. Рассмотрим CDB – прямоугольный ( CD – h ) 2. По теореме Пифагора CB2 = CD2+DB2 => CD2= CB2 – DB2 CD2 = 400 – 256 = 144, CD = 12 cm 3. Рассмотрим ACD – прямоугольный ( CD - h) 4. По теореме Пифагора AC2= AD2+ CD2 AC2 = 81 + 144 = 225, AC = 15 cm Ответ: CD = 12cm, AC = 15 cm

13. заключение