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Escuela S uperior de Formación de Maestros “Ángel M endoza J ustiniano”

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Escuela S uperior de Formación de Maestros “Ángel M endoza J ustiniano”. Docente: Cintia Gutierrez Lazarte Matemática Tema: Progresiones Geométricas. Í ndice. Concepto Ejemplos Fórmula General Suma de los primeros  n  términos de una progresión geométrica

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escuela s uperior de formaci n de maestros ngel m endoza j ustiniano

Escuela Superior de Formación de Maestros “Ángel Mendoza Justiniano”

Docente: Cintia Gutierrez Lazarte

Matemática

Tema: Progresiones Geométricas

ndice
Índice
  • Concepto
  • Ejemplos
  • Fórmula General
  • Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica
  • Suma de términos infinitos de una progresión geométrica
  • Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente
  • Interpolación de términos en una progresión geométrica
  • Producto de dos términos equidistantes
  • Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica
concepto
Concepto

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r,denominada razón o factor de la progresión.

Así,  es una progresión geométrica con razón igual a 3,porque:

15 = 5 × 3

45 = 15 × 3

135 = 45 × 3

405 = 135 × 3

Y así sucesivamente.

ejemplos
Ejemplos
  • La progresión 1, 2, 4, 8, 16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.
  • La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.
  • La razón tampoco tiene porqué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.
  • Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7
  • Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que    en la definición.
f rmula general
Fórmula General

an =a1 · rn – 1

Donde:

a1 = Primer término

an =Último término

r = Razón

n= Número de términos

s uma de los primeros n t rminos de una progresi n geom trica
Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica

Se denomina como Sn a la suma de ntérminos consecutivos de una progresión geométrica:

Sn = a1 + a2 +... + an-1 + an

Cuya fórmula es:

Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión.

suma de t rminos infinitos de una progresi n geom trica
Suma de términos infinitos de una progresión geométrica

Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad | r | < 1, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si | r | < 1,   tiende hacia 0, de modo que:

suma de los t rminos de una progresi n geom trica decreciente
Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:

Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:

interpolaci n de t rminos en una progresi n geom trica
Interpolación de términos en una progresión geométrica

Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

producto de dos t rminos equidistantes
Producto de dos términos equidistantes

Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.

ai . aj = a1 . an

a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an

3, 6. 12, 24, 48, ...

48 · 3 = 6 · 24 = 12 · 12

144 = 144 =144

producto de n t rminos equidistantes de una progresi n geom trica
Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica

Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48,...