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高等数学

高等数学. 武汉大学数学与统计学院. 黄明. 曲面与曲线. 二次曲面 空间曲线. 二次曲面. 柱面 旋转曲面 锥面 球面 椭球面，抛物面，双曲面. 一、柱面与旋转曲面. 1. 概念. 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面叫做柱 面，定曲线 C 叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线. L. C. z. y. L. o. . C. x. 柱面 ： 的母线 L ， Lz 轴； 的准线 C ： F(x,y)=0(x0y 平面上的曲线）. 柱面 的方程.

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Presentation Transcript

  1. 高等数学 武汉大学数学与统计学院 黄明

  2. 曲面与曲线 二次曲面 空间曲线

  3. 二次曲面 • 柱面 • 旋转曲面 • 锥面 • 球面 • 椭球面，抛物面，双曲面

  4. 一、柱面与旋转曲面 1.概念 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面叫做柱 面，定曲线C叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线. L C

  5. z y L o  C x 柱面： 的母线L，Lz轴； 的准线C：F(x,y)=0(x0y平面上的曲线） 柱面的方程 空间点M(x,y,z), M(x,y)在x0y平面上的投影点M1(x,y) 1.点M(x,y,z), M的横、纵坐标x,y满足F(x,y)=0， 则点M1(x,y,0) 在的准线C上， 故点M(x,y,z)在柱面上； M(x,y,z)  （点M(x,y,z)在过点M1(x,y,0) 母线L上） 2.点M(x,y,z) ， 则M的横、纵坐标x,y满足F(x,y)=0  M1(x,y,0) （M的投影点M1(x,y,0) 在的准线C上）

  6. 2.几种常见的柱面 1.椭圆柱面 2.双曲柱面 3.抛物柱面 4.特殊的平面

  7. 1.椭圆柱面

  8. 2.双曲柱面

  9. 3.抛物柱面

  10. 3.抛物柱面

  11. 球面 在空间中，与一定点的距离为一定长的点的集合是球面，这个定点是球心，定长是半径。 标准方程 一般方程

  12. 锥面 一条动直线通过一定点且沿空间一条固定曲线移动所产生的曲面称为锥面，定点称为锥面的顶点，固定曲线称为锥面的 母线

  13. 反之 任意满足如上方程的点必在此锥面上，故所求锥面的方程为

  14. 旋转曲面 z P1(0,y1,z0)  z0  P0 C y o x 平面上曲线C绕该平面上一条定直线旋转形成的曲面叫做旋转 曲面，平面曲线C叫做旋转曲面的母线，定直线叫做旋转曲面的 轴。 旋转曲面的方程 yoz面上曲线C:f(y,z)=0 绕定直线z轴旋转所成的曲面 p0,过p0作平面z=z0,与的交线为 一圆周，其半径 但对p1(0,y1,z0)，有f(y1,z0)=0

  15. M(x,y,z),有 若点M(x,y,z)，则其坐标x,y,z不满足(2)式。 故(2)式为此旋转曲面的方程。 故对曲线C:f(y,z)=0： 绕z轴旋转而成的曲面方程为 曲线C绕y轴旋转而成的曲面方程为 类似地，可考虑其他的在某一坐标平面上的曲线绕相应的坐 标轴 旋转而成的旋转曲面的方程。

  16. 几种常见的旋转曲面 旋转抛物面 旋转椭球面 旋转单叶双曲面 旋转双叶双曲面 圆锥面

  17. 例1 yoz平面上的抛物线 绕z轴旋转而成的曲面 旋转抛物面：

  18. 例2 yoz平面上的抛物线 绕z轴旋转而成的曲面 旋转椭球面：

  19. 例3 yoz平面上的双曲线 绕z轴旋转而成的曲面 单叶旋转双曲面：

  20. 例3 zox平面上的双曲线 绕x轴旋转而成的曲面 双叶旋转双曲面：

  21. 三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。上一目中三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。上一目中 例1与例2 给出的旋转曲面就是二次曲面。相对而言，二次曲面有较广泛的应用，并且它的形状也比较简单。因此作为基本问题（Ⅱ）的例子，我们主要讨论以下几个特殊的二次曲面的形状： 1、椭球面 2、抛物面 3、双曲面 讨论的方法一般是用坐标或特殊的平面与二次曲面相截，考察其截痕的形状，然后对那些截痕加以综合，得出曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。

  22. 1.椭球面 方程 表示的曲面叫做椭球面。下面我们根据所给出的方程，用截痕法来考察椭球面的形状。 由方程可知 即 ∣x∣≤a ,∣y∣≤b ,∣z∣ ≤c , 这说明椭球面包含在由平面 x = ±a , y =±b , z =± c 围成的长方体内。

  23. 这些截痕就是椭圆。即有： 先考虑椭球面与三个坐标面的截痕

  24. 再用平行于xoy面的平面z = h (0 < ︱h︱< c )去截这个曲面，所 得截痕的方程是 这些截痕也都是椭圆。易见，当︱h︱由0变到 c 时，椭圆由大变 小，最后缩成一点（0，0，±c).同样地用平行于 yoz面或zox面的 平面去截这个曲面，也有类似的结果（见图５－３７(a)或后面所显示的各个图形).如果连续地取这样的截痕，那么可以想像，这些截痕就组成了一张椭球面。

  25. 　　在椭球面方程中，a，b，c按其大小，分别叫做椭球的长半轴，　　在椭球面方程中，a，b，c按其大小，分别叫做椭球的长半轴， 中半轴，短半轴。如果有两个半轴相等，如 a=b,则方程表示的是由 平面上的椭圆　　　　　　　　　绕ｚ轴旋转而成的旋转椭球面。 如果a = b = c ,则方程 x2 +y2+z2 = a2表示一个球面。。

  26. ２、抛物面 抛物面分椭圆抛物面与双曲抛物面两种。方程 　　　　　　　　　　　　　　　　（６） 所表示的曲面叫做椭圆抛物面。设方程右端取正号，现在来考察它的形状。 • 用xoy面（z = 0）去截这曲面，截痕为原点。 • 用平面z = h（h > 0）去截这曲面，截痕为椭圆

  27. 当h→0时，截痕退缩为原点；当h<0 时,截痕不存在.原点叫做椭 圆抛物面的顶点. （2）用zox面（y = 0）去截这曲面,截痕为抛物线 用平面y = k去截这曲面，截痕 也为抛物线

  28. （3）用yoz面（x = 0）及平面x=l去截这曲面，其结果与（2）是类似的。如下图所示：

  29. 综 合以上分析结果，可知椭 圆抛物面 的形状如图5-38所示。

  30. 方程 (7) 所表示的曲面叫做双曲抛物面。设方程右端取正号，现在来考察它们的形状。(在方程(7)中令 ) （1）用平面z = h（h > 0）去截这曲面，截痕方程是 当h > 0时，(h=3)截痕是双曲线，其实轴平行于 x 轴。 当h = 0 时，截痕是xoy平面上两条相交于原点的直线 当h< 0时。(h=-3)截痕是双曲线。其实轴平行于 y 轴。

  31. (2)用平面x = k 去截这曲面，截痕方程是 当k = 0时，截痕是yoz平面上顶点在原点的抛物线且张口朝下。k≠0时，截痕都是张口朝下的抛物线，且抛物线的顶点随∣k∣增大而升高。

  32. （3）用平面y = l 去截这曲面，截痕均是张口朝上的抛物线

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