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Praktikum PC 1 Seminarvortrag. Gruppe 1: Aaron Kusch Matthias Horn. Statistische Auswertung von Messergebnissen / Fehlerrechnung. Übersicht. Einführung Fehlerarten Fehlerverteilung Mittelwert relativer/ absoluter Fehler Standardabweichung (signifikante Stellen) Ausreißertests

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Presentation Transcript
Praktikum pc 1 seminarvortrag

Praktikum PC 1 Seminarvortrag

Gruppe 1:

Aaron Kusch

Matthias Horn



Bersicht
Übersicht

  • Einführung

  • Fehlerarten

  • Fehlerverteilung

  • Mittelwert

  • relativer/ absoluter Fehler

  • Standardabweichung (signifikante Stellen)

  • Ausreißertests

  • Vertrauensbereich

  • Fehlerfortpflanzung

  • Lineare Regression


Einleitung
Einleitung

Das Ergebnis der Messung einer physikalischen Größe

(Meßwert) ist immer mit einem Fehler behaftet. Der

Meßwert bzw. der aus mehreren Meßwerten berechnete

Wert ist erst dann voll aussagekräftig, wenn der

dazugehörige Fehler angegeben ist.

Um Meßfehler finden und minimieren zu

können, müssen ihre Ursachen bekannt sein.

Nach diesen Ursachen unterscheidet man zwischen

systematischen und zufälligen Fehlern.


Systematischer fehler
systematischer Fehler

Er beeinträchtigt die Richtigkeit des

Messverfahrens; sie verfälschen alle Meßwerte

in dieselbe Richtung. Es gibt systematische Fehler, die

den wahren Wert nur in positive Richtung verschieben,

und welche, die den wahren Wert nur in negative Richtung

verschieben. Systematische Fehler kann man durch

Anwendung andere Messverfahren erkennen. Falls

systematische Fehler erkannt werden müssen diese

beseitigt werden.

  • Ohne systematischem Fehler: richtiger Meßwert

  • Mit systematischem Fehler: falscher Meßwert


Zustandekommen von systematischen fehlern
Zustandekommen von systematischen Fehlern

  • unreine Reagenzien

  • Meßgeräte sind falsch geeicht

  • ungleichmäßige Skaleneinteilung

  • falsches Meßverfahren

  • äußere Einflüsse (Temperatur, Druck, Störfelder)

  • systematisches falsches Ablesen (Arbeitsweise)


Zuf lliger statistischer fehler
zufälliger/ statistischer Fehler

Sie beeinträchtigen die Genauigkeit des Messverfahrens

und schwanken bei Mehrfachmessungen um

unterschiedliche Beträge (bei konstanten Meßbedingungen).

Dieser Fehler verursacht eine Streuung der Meßwerte.

Sie sind prinzipiell nicht vermeidbar, lassen sich jedoch

durch sorgfältiges Arbeiten und durch eine große Anzahl

von Messungen verringern.

  • geringe Streuung: genaue Meßwerte

  • große Streuung: ungenaue Meßwerte


Zustandekommen von zuf lligen fehlern
Zustandekommen von zufälligen Fehlern

  • Wägefehler

  • Ablesefehler

    (Thermometer/ Volumenmessgeräte)

  • Reaktionszeit des Beobachters (z.B.Stoppuhr)

  • Temperatur-/ Druckschwankungen



Berleitung
Überleitung

Zur Beschreibung und Berücksichtigung

zufälliger Fehler bei der Angabe des Ergebnisses

werden Rechenverfahren und Prüftests der

mathematischen Fehlerstatistik angewendet!


Fehlerverteilung
Fehlerverteilung

  • Für die Diskussion der Verteilung zufälliger Fehler geht man von Meßwerten aus, die n-mal (gegen unendlich) gemessen werden.

  • Ordnet man die Meßwerte in Bereiche ein, und trägt die Anzahl der Meßwerte pro Bereich gegen die zugehörigen Werte graphisch auf so erhält man die folgende Fehlerverteilungskurve:

Meist Gauß´sche Glockenkurve!


Fehlerverteilung mittelwert
Fehlerverteilung/ Mittelwert

  • Der Häufungspunkt unter dem Maximum der Gauß-Kurve ist gleich dem gebildeten Mittelwert der Meßwerte:


Absoluter fehler
absoluter Fehler

  • Der absolute Fehler gibt die Abweichung vom wahren Wert (Literaturwert, Mittelwert) an.

  • Er berechnet sich aus der Differenz des gemessenen/bestimmten Wertes und des wahren Wertes:

    Δxi = xi – μ

  • Die Einheit des absoluten Fehlers ist immer in der Einheit des Ergebnisses.


Relativer fehler
Relativer Fehler

  • Der relative Fehler eines Ergebnisses ist gleich dem absoluten Fehler (Δxi = xi – μ) geteilt durch den wahren Wert μ(Mittelwert).

  • relativer Fehler in % :

  • Der relative Fehler ist dimensionslos.


Fehlerverteilung1

Schmale Kurvenform – genaue Methode; wenig Streuung

Breite Kurvenform – ungenaue Methode; viel Streuung

Fehlerverteilung

  • Die Form der Gauß-Kurve gibt die Genauigkeit der Meßmethode an.

  • Das Maximum zeigt den erwarteten Wert an.


Fehlerverteilung2
Fehlerverteilung

  • Der systematische Fehler verschiebt den Schwerpunkt der Häufung.


Standardabweichung
Standardabweichung

  • Für eine genaue graphische Darstellung der Kurve sind sehr viele Meßwerte erforderlich (zu viel Arbeit).

  • Meist ist es ausreichend den Abstand der Wendepunkte der Kurve zu kennen, um Aussagen über die Genauigkeit der Methode zu treffen. Der halbe Abstand ist gleich der Standardabweichung σ der Methode.


Standardabweichung1
Standardabweichung

Dies ist der Schätzwert der Standardabweichung der Einzelmessungen.

Dieser Schätzwert beruht auf der begrenzten Anzahl von Meßwerten.

Je größer die Anzahl der Meßwerte, desto näher liegt s an σ. Die Anzahl n der Meßwerte sollte min. 10 sein um ein brauchbares s zu erhalten.


Standardabweichung des mittelwerts
Standardabweichung des Mittelwerts

Die Standardabweichung des Mittelwerts ist ein

Maß für die Genauigkeit des Mittelwerts.

(besser s anstelle von σ)!!!


Standardabweichung2
Standardabweichung

  • Relative Standardabweichung/ Variationskoeffizient:

  • Varianz:


Standardabweichung3
Standardabweichung

  • Der Flächenbereich unter der Gauß-Kurve gibt die statistische Sicherheit P an, mit welcher die Meßwerte im Bereich des zugehörigen Achsenabschnittes (x) gefunden werden.

  • Bei 1000 normalverteilten Meßwerten liegen (im Mittel):

683 innerhalb y ± 1σ (68,3%)

954 innerhalb y ± 2σ (95,4%)

997 innerhalb y ± 3σ (99.7%)


Rechenbeispiel
Rechenbeispiel

mit n= 10

yi

1

2

1

3

2

1

2

8

2

1

y = 2 (y = 2,300)

s= 2 (s= 2,134)

sr= 1

Variationskoeffizient= 100%


Ausrei ertests
Ausreißertests

  • Um entscheiden zu können ob es sich bei einem Meßwert um einen Ausreißer handelt kann man folgende Prüftests durchführen:

  • Die 4s-Schranke

  • Der Grubbs-Test


Die 4s schranke
Die 4s-Schranke

  • Dies ist ein grober Test, bei dem aus min. 10 Meßwerten ein Meßwert weggelassen werden kann, falls dieser sich außerhalb des Bereiches: y± 4s befindet.

  • Der Ausreißer wird bei der Berechnung von s usw. herausgenommen.


Rechenbsp f r 4s schranke
Rechenbsp. für 4s-Schranke

mit n= 9

yi

1

2

1

3

2

1

2

8

2

1

y = 2 (y = 1,7)

s= 1 (s= 0,791)

8

y± 4s 2 ± 4*1 : nach 4s-Schranke ein Ausreißer



Vertrauensbereich
Vertrauensbereich

  • Das Endergebnis wird wie folgt angegeben:

  • Der Mittelwert ist ein Schätzwert für den wahren Wert und ist mit der angegebenen statistischen Sicherheit innerhalb des Vertrauensbereiches zu finden.Der Faktor t(n,P) (Student-Faktor) berechnet mit ein, dass s ebenfalls ein Schätzwert für σ ist.

y

n


Erg nzung
Ergänzung

  • Mittelwert-t-Test: Vergleich von Mittelwerten bei z.B. verschiedenen Meßmethoden.

  • Varianzen-F-Test: Vergleich von Standardabweichungen zur Bestimmung der Genauigkeit verschiedener Meßmethoden


Fehlerfortpflanzung
Fehlerfortpflanzung

  • Bei der Addition von Messwerten werden die Fehler ebenfalls addiert:

    a ± Δa + b ± Δb = c ± (Δa + Δb)

  • Bei komplizierteren Zusammenhängen Z = Z(A,B,C, …) müssen die Fehler in ihrer Gewichtung berücksichtigt werden. Der Fehler ergibt sich dann aus dem totalen Differential:

  • Der Wichtungsfaktor ist die jeweilige partielle Ableitung. Voraussetzung ist dabei, dass alle Messfehler das gleiche Vorzeichen haben. Das ist eher unwahrscheinlich. Sie sind statistisch verteilt, so dass die Messfehler quadratisch addiert werden müssen:


Lineare regression

Suche nach „idealster“ Gerade

Lineare Regression

  • Die Gradengleichung lautet: y=m*x+b

  • Lineare Regression: Mit Hilfe dieser kann man, bei einer graphischen Auswertung, aus den experimentell ermittelten Werten (linearer Zusammenhang) die Geradengleichung berechnen (Mit geringsten Fehlerquadraten).

  • Fehler bei der linearen Regression:


Lineare regression1
Lineare Regression

Fehlerquadratsumme S

Standardabweichung


Lineare regression2
Lineare Regression

Der Korrelationskoeffizient gibt an wie gut die Meßpunkte einer Geraden genügen:

r= 0 keine Korrelation

r= 1 vollstandige Korrelation