Praktikum PC 1 Seminarvortrag

1. Praktikum PC 1 Seminarvortrag Gruppe 1: Aaron Kusch Matthias Horn

2. Statistische Auswertung von Messergebnissen / Fehlerrechnung

3. Übersicht • Einführung • Fehlerarten • Fehlerverteilung • Mittelwert • relativer/ absoluter Fehler • Standardabweichung (signifikante Stellen) • Ausreißertests • Vertrauensbereich • Fehlerfortpflanzung • Lineare Regression

4. Einleitung Das Ergebnis der Messung einer physikalischen Größe (Meßwert) ist immer mit einem Fehler behaftet. Der Meßwert bzw. der aus mehreren Meßwerten berechnete Wert ist erst dann voll aussagekräftig, wenn der dazugehörige Fehler angegeben ist. Um Meßfehler finden und minimieren zu können, müssen ihre Ursachen bekannt sein. Nach diesen Ursachen unterscheidet man zwischen systematischen und zufälligen Fehlern.

5. systematischer Fehler Er beeinträchtigt die Richtigkeit des Messverfahrens; sie verfälschen alle Meßwerte in dieselbe Richtung. Es gibt systematische Fehler, die den wahren Wert nur in positive Richtung verschieben, und welche, die den wahren Wert nur in negative Richtung verschieben. Systematische Fehler kann man durch Anwendung andere Messverfahren erkennen. Falls systematische Fehler erkannt werden müssen diese beseitigt werden. • Ohne systematischem Fehler: richtiger Meßwert • Mit systematischem Fehler: falscher Meßwert

6. Zustandekommen von systematischen Fehlern • unreine Reagenzien • Meßgeräte sind falsch geeicht • ungleichmäßige Skaleneinteilung • falsches Meßverfahren • äußere Einflüsse (Temperatur, Druck, Störfelder) • systematisches falsches Ablesen (Arbeitsweise)

7. zufälliger/ statistischer Fehler Sie beeinträchtigen die Genauigkeit des Messverfahrens und schwanken bei Mehrfachmessungen um unterschiedliche Beträge (bei konstanten Meßbedingungen). Dieser Fehler verursacht eine Streuung der Meßwerte. Sie sind prinzipiell nicht vermeidbar, lassen sich jedoch durch sorgfältiges Arbeiten und durch eine große Anzahl von Messungen verringern. • geringe Streuung: genaue Meßwerte • große Streuung: ungenaue Meßwerte

8. Zustandekommen von zufälligen Fehlern • Wägefehler • Ablesefehler (Thermometer/ Volumenmessgeräte) • Reaktionszeit des Beobachters (z.B.Stoppuhr) • Temperatur-/ Druckschwankungen

9. Zusammenfassung

10. Überleitung Zur Beschreibung und Berücksichtigung zufälliger Fehler bei der Angabe des Ergebnisses werden Rechenverfahren und Prüftests der mathematischen Fehlerstatistik angewendet!

11. Fehlerverteilung • Für die Diskussion der Verteilung zufälliger Fehler geht man von Meßwerten aus, die n-mal (gegen unendlich) gemessen werden. • Ordnet man die Meßwerte in Bereiche ein, und trägt die Anzahl der Meßwerte pro Bereich gegen die zugehörigen Werte graphisch auf so erhält man die folgende Fehlerverteilungskurve: Meist Gauß´sche Glockenkurve!

12. Fehlerverteilung/ Mittelwert • Der Häufungspunkt unter dem Maximum der Gauß-Kurve ist gleich dem gebildeten Mittelwert der Meßwerte:

13. absoluter Fehler • Der absolute Fehler gibt die Abweichung vom wahren Wert (Literaturwert, Mittelwert) an. • Er berechnet sich aus der Differenz des gemessenen/bestimmten Wertes und des wahren Wertes: Δxi = xi – μ • Die Einheit des absoluten Fehlers ist immer in der Einheit des Ergebnisses.

14. Relativer Fehler • Der relative Fehler eines Ergebnisses ist gleich dem absoluten Fehler (Δxi = xi – μ) geteilt durch den wahren Wert μ(Mittelwert). • relativer Fehler in % : • Der relative Fehler ist dimensionslos.

15. Schmale Kurvenform – genaue Methode; wenig Streuung Breite Kurvenform – ungenaue Methode; viel Streuung Fehlerverteilung • Die Form der Gauß-Kurve gibt die Genauigkeit der Meßmethode an. • Das Maximum zeigt den erwarteten Wert an.

16. Fehlerverteilung • Der systematische Fehler verschiebt den Schwerpunkt der Häufung.

17. Standardabweichung • Für eine genaue graphische Darstellung der Kurve sind sehr viele Meßwerte erforderlich (zu viel Arbeit). • Meist ist es ausreichend den Abstand der Wendepunkte der Kurve zu kennen, um Aussagen über die Genauigkeit der Methode zu treffen. Der halbe Abstand ist gleich der Standardabweichung σ der Methode.

18. Standardabweichung Dies ist der Schätzwert der Standardabweichung der Einzelmessungen. Dieser Schätzwert beruht auf der begrenzten Anzahl von Meßwerten. Je größer die Anzahl der Meßwerte, desto näher liegt s an σ. Die Anzahl n der Meßwerte sollte min. 10 sein um ein brauchbares s zu erhalten.

19. Standardabweichung des Mittelwerts Die Standardabweichung des Mittelwerts ist ein Maß für die Genauigkeit des Mittelwerts. (besser s anstelle von σ)!!!

20. Standardabweichung • Relative Standardabweichung/ Variationskoeffizient: • Varianz:

21. Standardabweichung • Der Flächenbereich unter der Gauß-Kurve gibt die statistische Sicherheit P an, mit welcher die Meßwerte im Bereich des zugehörigen Achsenabschnittes (x) gefunden werden. • Bei 1000 normalverteilten Meßwerten liegen (im Mittel): 683 innerhalb y ± 1σ (68,3%) 954 innerhalb y ± 2σ (95,4%) 997 innerhalb y ± 3σ (99.7%)

22. Rechenbeispiel mit n= 10 yi 1 2 1 3 2 1 2 8 2 1 y = 2 (y = 2,300) s= 2 (s= 2,134) sr= 1 Variationskoeffizient= 100%

23. Ausreißertests • Um entscheiden zu können ob es sich bei einem Meßwert um einen Ausreißer handelt kann man folgende Prüftests durchführen: • Die 4s-Schranke • Der Grubbs-Test

24. Die 4s-Schranke • Dies ist ein grober Test, bei dem aus min. 10 Meßwerten ein Meßwert weggelassen werden kann, falls dieser sich außerhalb des Bereiches: y± 4s befindet. • Der Ausreißer wird bei der Berechnung von s usw. herausgenommen.

25. Rechenbsp. für 4s-Schranke mit n= 9 yi 1 2 1 3 2 1 2 8 2 1 y = 2 (y = 1,7) s= 1 (s= 0,791) 8 y± 4s 2 ± 4*1 : nach 4s-Schranke ein Ausreißer

26. Der Grubbs-Test

27. Vertrauensbereich • Das Endergebnis wird wie folgt angegeben: • Der Mittelwert ist ein Schätzwert für den wahren Wert und ist mit der angegebenen statistischen Sicherheit innerhalb des Vertrauensbereiches zu finden.Der Faktor t(n,P) (Student-Faktor) berechnet mit ein, dass s ebenfalls ein Schätzwert für σ ist. y n

28. Ergänzung • Mittelwert-t-Test: Vergleich von Mittelwerten bei z.B. verschiedenen Meßmethoden. • Varianzen-F-Test: Vergleich von Standardabweichungen zur Bestimmung der Genauigkeit verschiedener Meßmethoden

29. Fehlerfortpflanzung • Bei der Addition von Messwerten werden die Fehler ebenfalls addiert: a ± Δa + b ± Δb = c ± (Δa + Δb) • Bei komplizierteren Zusammenhängen Z = Z(A,B,C, …) müssen die Fehler in ihrer Gewichtung berücksichtigt werden. Der Fehler ergibt sich dann aus dem totalen Differential: • Der Wichtungsfaktor ist die jeweilige partielle Ableitung. Voraussetzung ist dabei, dass alle Messfehler das gleiche Vorzeichen haben. Das ist eher unwahrscheinlich. Sie sind statistisch verteilt, so dass die Messfehler quadratisch addiert werden müssen:

30. Suche nach „idealster“ Gerade Lineare Regression • Die Gradengleichung lautet: y=m*x+b • Lineare Regression: Mit Hilfe dieser kann man, bei einer graphischen Auswertung, aus den experimentell ermittelten Werten (linearer Zusammenhang) die Geradengleichung berechnen (Mit geringsten Fehlerquadraten). • Fehler bei der linearen Regression:

31. Lineare Regression Fehlerquadratsumme S Standardabweichung

32. Lineare Regression Der Korrelationskoeffizient gibt an wie gut die Meßpunkte einer Geraden genügen: r= 0 keine Korrelation r= 1 vollstandige Korrelation

33. ENDE