Le théorème du papillon.

1. Le théorème du papillon. Julie Beeckmans

2. Le théorème du papillon. Énoncé Soit un cercle de centre O. M est le milieu d’une corde [PQ] de ce cercle. [AB] et [CD] sont des cordes passant par le point M. [AD] coupe [PQ] en X et [BC] coupe [PQ] en Y. Prouvons que M est aussi le milieu de [XY]. Julie Beeckmans

3. Le théorème du papillon. Démonstration • | | = | | et | | = | | (angles inscrits interceptant le même arc). Julie Beeckmans

4. Le théorème du papillon. • Les triangles AMD et CMB sont donc semblables (angles correspondants de même amplitude). Nous obtenons alors une égalité de rapport entre les longueurs des côtés correspondants : Julie Beeckmans

5. Le théorème du papillon. • Traçons [OH] [AD] et [OJ] [CB]. H et J sont les milieux respectifs de [AD] et [CB] car toute perpendiculaire à une corde passant par le centre du cercle est la médiatrice de cette corde. • Donc, |AD| = 2 |AH| et |CB| = 2 |CJ|. Julie Beeckmans

6. Le théorème du papillon. • En remplaçant |AD| et |CB| dans l’égalité du point 2, nous trouvons : De plus, | | = | | . Les triangles AMH et CMJ sont donc semblables. Julie Beeckmans

7. Le théorème du papillon. • | | = | ’| (angles correspondants). Julie Beeckmans

8. Le théorème du papillon. • Traçons OM la médiatrice de [PQ]. Julie Beeckmans

9. Le théorème du papillon. • Le quadrilatère XMOH est inscriptible ( et sont opposés et supplémentaires). Julie Beeckmans

10. Le théorème du papillon. • Par le même raisonnement, le quadrilatère YMOJ est inscriptible ( et sont opposés et supplémentaires). Julie Beeckmans

11. Le théorème du papillon. • | | = | ’’| (angles inscrits interceptant le même arc). Julie Beeckmans

12. Le théorème du papillon. • | ’| = | ’’’| (angles inscrits interceptant le même arc). Or, | |= | ’| (cf. point 5). Donc, | ’’| = | ’’’|. Julie Beeckmans

13. Le théorème du papillon. 11) Les triangles XMO et YMO sont donc isométriques (ACA). M est donc le milieu de [XY]. Julie Beeckmans