1 / 48

VÆKSTMODELLER

VÆKSTMODELLER. Hver dag modtager vi informationer i form af tal. For eksempel: Hvad kostede æg i Brugsen i går Hvor langt var Marys brudeslør Hvor tung er beboeren i nr 2a i dag Hvor mange liter benzin kan tanken rumme nu osv.

ralph
Download Presentation

VÆKSTMODELLER

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. VÆKSTMODELLER

  2. Hver dag modtager vi informationer i form af tal For eksempel: Hvad kostede æg i Brugsen i går Hvor langt var Marys brudeslør Hvor tung er beboeren i nr 2a i dag Hvor mange liter benzin kan tanken rumme nu osv. Nogle tal ændrer sig uden forklaring / regel andre med en fast ændring i hver periode feks. med en fast pris pr. købt enhed, eller med en fast procentsats pr. periode Det skal vi nu komme nærmere ind på ……… smil

  3. Peter og Line skiftes til at sige et tal Kan vi udfra tabellen / diagrammet se, hvad næste talpar bliver Nogle tal er tilfældige - uden sammenhæng - uden information Dette kaldes en RELATION - informationsværdien er begrænset

  4. Lineær vækst y = a*x + b Kan du bruge tallene til at regne næste pris ud ? Er der en sammenhæng mellem talparrene ? Så er lineær vækst ikke en relation, men en FUNKTION Kan du beskrive en regel, der gælder for sammen-hængen mellem de to tal, der danner disse talpar ?

  5. Regneregelen må være : y = 5 * x y = det du skal betale, når du køber x-antal øl x = det antal øl du køber Kan man bruge en lineær afbildning informativt ?

  6. Literprisen for benzin er i dag 11,28 kr Informerende ? Er det en relation eller en funktion ? Lineær vækst ? En sammenhængende linie eller punkter ? Benzinen stiger i morgen til 15,00 kr /l Kan du vise i et diagram forskellen mellem priserne på benzin…..

  7. 15,00 kr/l 11,28 kr/l Hvordan viser den højere literpris sig i diagrammet Jo større hældning (hældningskoefficient), desto højere literpris Hældningskoefficienten fortæller, hvad prisen vokser med hver gang vi køber 1 liter mere Standartformelen er y = a*x + b a-værdien er liniens hældningskoefficient

  8. Nu kan du tegne positiv vækst som stigende, rette linier i et almindeligt koordinatsystem Udgangspunktet har været (0,0) indtil nu, men hvad med følgende opgave …. ? Temperaturen for en middagsret, der lige er taget af kogepladen er 83 grader varmt. For hvert minut aftager temperaturen med 0,5 grader. Tegn det grafiske billede af funktionen i et almindeligt koordinatsystem

  9. Reglen må være : y = -½ * x + 83 Lav en tabel, og tegn derefter grafen i et almindeligt koordinatsystem

  10. Linien er faldende med ½ grad for hvert minut Hældningskoefficienten er < 0 nemlig = -½ Grafen er aftagende / faldende Væksten er negativ Er afkølingshastigheden lovlig ? Afkøling til 10o på 3 timer

  11. HUSK AT LINEÆR VÆKST: Viser sig som rette linier i et ordinært koordinatsystem Væksten kan være både positiv og negativ Hældningskoefficienten afgør stejlheden opad / nedad Er hældningskoefficienten større end 0 : Stigende graf Er hældningskoefficienten mindre end 0 : Faldende graf Rette linier kan forlænges, så store værdier kan aflæses

  12. EKSPONENTIEL VÆKST y = b * a^x Når en størrelse vokser med den samme procent i mange perioder vokser den hurtigere og hurtigere Det kaldes positiv eksponentiel vækst Når en størrelse aftager med den samme procent i mange perioder aftager den langsommere og langsommere Det kaldes negativ eksponentiel vækst

  13. Et eksempel på positiv eksponentiel vækst : • En bakteriekoloni består af 1000 bakterier. • Under de givne levevilkår vokser kolonien til 1400 bakterier efter en time. • Lav et skema, der viser væksten for hver time i 9 timer. • Hvordan er tilvæksten i tal – og i % • Indtegn denne graf i et koordinatsystem

  14. Er det let at aflæse grafen i det almindelige koordinatsystem ? og finde bakterieantallet efter feks. 12 timer (forlænge grafen) ? NEJ, derfor må vi finde en løsning, så det bliver lettere !

  15. Det er let at afgøre om en linie er ret, og det er let at aflæse værdierne på grafen - og at forlænge . . . Derfor vil vi prøve at lave et koordinatstystem, der retter den krumme eksponentielle graf ud til en ret linie ! Eksempel : X-aksen er den samme, men Y-aksen er ændret . . .

  16. Bakterieudvikling

  17. HUSK NU . . . . . Kan tallene blive uendelig store ? Kan tallene blive uendelig små ? Kan tallene blive negative ?

  18. Inddeling af y-aksen 3 1000 103 = 1000 2 100 102 = 100 100 ALMINDELIG TALLINIE LOGARITMISK TALLINIE 1 10 101 = 10 100 = 1 derfor sættes 1 på denne plads 0 1

  19. Logaritmisk inddeling af y-aksen 1000 Næste dekade går fra 100 til 1000 Hver gang man går en dekade opad skal der ganges med 10 100 Anden dekade går fra 10 til 100 Der er ganget med 10, når man går opad Afstanden mellem 10 og 100 er den samme som mellem 1 og 10 100 10 Første ”afdeling” af aksen går fra 1 til 10 Det kaldes hoveddekaden (deka betyder 10) 1

  20. 1 Du kan også gå den anden vej Hver gang man går en dekade nedad skal der deles med 10 Næste dekade går fra 1 til 0,1 0,1 Anden dekade går fra 0,1 til 0,01 Der er stadig delt med 10 Afstanden mellem 0,1 og 0,01 er den samme som mellem 1 og 0,1 0,01 Og så videre i begge retninger Nu kan både store og små tal indtegnes tydeligt 0.001

  21. Alle dekader opdeles i mindre dele De normale tal skal fordeles på en ny måde 1 0 ? 9 8 ? 7 ? 6 5 ? Opdelingen af aksen er logaritmisk og bliver mindre og mindre opad 4 ? 3 ? ? 2 Pas derfor på, når du skal indsætte dine y-værdier ! ! ? ? ? 1

  22. I næste dekade - fra 10 til 100 fordeles tallene på samme måde - altså med kortere og kortere afstand imellem 100 90 80 70 60 50 Tilsvarende med de øvrige dekader uanset om de går opad eller nedad i forhold til hoveddekaden 40 30 20 Nu til nogle øvelser 10

  23. Disse 9 talpar indtegnes i et enkelt-logaritmisk koordinatsystem Hvor mange dekader er med ? Start med at fastlægge dekadernes værdi Husk, at x-aksen ikke er logaritmisk

  24. Indsæt punkterne 100 10 1 -8 -4 4 8 12

  25. Facit til øvelsen 100 a b 10 c d e f 1 -6 6 -2 -8 -4 2 4 8 12 g h i

  26. Fordoblingskonstant Når et antal af feks. bakterier vokser med en fast tilvækst pr tidsenhed, vil antallet af bakterier på et eller andet tidspunkt blive fordoblet Uanset om tallet er stort eller lille er fordoblingstiden konstant Hvilket tal skal man gange med for at få den dobbelte værdi ? Svar : 2 Fordoblingskonstanten skrives T2

  27. På grafen til højre kan du se, at når x = 0, så er y-værdien = 2 Hvornår er y-værdien fordoblet ? Når y-værdien er 4… rød streg Hvad skal x vokse med for at få y-værdien fordoblet ? X skal vokse med 2 sort streg Hvis y igen skal fordobles må næste værdi blive 8 rød streg Passer det med at x-værdien skal vokse med 2 igen ? Sort streg JA, hver gang x-værdien vokser med 2, fordobles y-værdien derfor kaldes det en fordoblingskonstant. Her = 2

  28. Tegn denne graf i et almindeligt koordinatsystem Kan du nu med sikkerhed forlænge linien og dermed aflæse andre værdier … ? Kan du finde fordoblingskonstanten ved aflæsning ?

  29. Tegn denne graf i et logaritmisk koordinatsystem Kan du nu med sikkerhed forlænge linien og dermed aflæse andre værdier … ? Kan du finde fordoblings-konstanten ved aflæsning ?

  30. Halveringskonstant Når et antal af feks. bakterier aftager med en fast tilvækst pr tidsenhed, vil antallet af bakterier på et eller andet tidspunkt blive halveret Uanset om tallet er stort eller lille er halveringstiden konstant Hvilket tal skal man gange med for at få den halve værdi ? Svar : ½ Fordoblingskonstanten skrives T½

  31. Et stof opvarmes til 100o og placeres derefter i et kølerum, hvor temperaturen er 0o Temperaturen aflæses hvert 10. minut Aftager temperaturen eksponentielt ? Hvad er halveringstiden for temperaturen ? Hvad er stoffets temperatur efter 1½ time ? Hvor lang tid går der inden temperaturen er faldet til 10o ?

  32. Indsæt punkterne Grafen er en ret linie - dvs eksponentiel (aftagende) vækst 1000 500 300 100 10 20 30 40 50 60 Find nu halveringstiden

  33. Temperaturen falder til det halve (gul streg) Hvor lang tid tager det ? 35 Minutter Halveringstiden er 35 minutter

  34. Passer halveringstiden også med andre tal . . . . ? Fra 820 til 410 på 35 min. Fra 670 til 330 på 35 min JA, halveringstiden er den samme ! - overalt Men hvad er temperaturen efter 1½ time ? Halveringstiden er 35 minutter

  35. Den rette linie forlænges 1000 500 300 16½0 100 90 20 40 60 80 100 Temperaturen efter 90 minutter kan aflæses til 16½ 0

  36. Hvornår er temperaturen faldet til 100 ? 1000 500 Grafen skærer aksen i 100 så det kan nemt aflæses 300 114 min. 100 20 40 60 80 100 Opgaven skulle gerne illustrere, at rette linier er lettere at arbejde med end buede grafer

  37. Som led i en hospitalsbehandling får en person en injektion af penicillin i blodet Hver halve time tages en blodprøve, som analyseres for penicillinindholdet Tegn en afbildning af tallene på log-papir Eksponentiel ? Halveringstid ? Terapeutisk niveau ? First time metabolism Hvornår næste sprøjte

  38. Funktionen er eksponentiel da den er en ret linie i et enkeltlog. koordinatsystem Find halveringstiden 10mg/l 5mg/l 2½mg/l 1mg/l 1 2 3 4 5 Vælg et nemt talpar (2,5) derefter tegnes hjælpelinier Halveringstiden er 1 tim 20 min

  39. Find halveringstiden af penicillin 2 punkter: (2,24) og (3,6;12) Hvad vokser x-værdien med når y-værdien halveres ? Fra 2 til 3,6 dvs. T½ = 1,6 time

  40. Hvor mange % falder penicillinkoncentrationen i blodet med pr time ? 2 forskellige metoder TURBO eller SLOW Aflæs værdierne pr time og indsæt i en tabel i et regneark (eller vha. en regnemaskine)

  41. Koncentrationen i blodet falder med ca. 33% / time

  42. Koncentrationen i blodet falder med ca. 33% / time

  43. Minimum for terapeutisk niveau er 5mg/L Derfor gives en ny sprøjte efter 6 timer , hvilket får koncentrationen op på 40 mg/L Hvornår skal pt. have en ny indsprøjtning ? Efter ca. 5 timer

  44. Her vises 2 forskellige sove-mediciners koncentration i blodet Bestem halveringstiderne på de to typer medicin

  45. Talværdierne er målt på en voksen mand, som har 5,5 liter blod i kroppen Hvor mange mg sove-medicin har han i kroppen ? Begge indeholder 1 mg/L ved start Ved 5,5 liter blod må indholdet være 5,5 mg

  46. Terapeutisk område Fordele / ulemper ved brug af de to typer af sovemedicin

  47. Det var matematikken bag valget af logaritmisk visning af medicins virkning Ønsker du at træne i medicinberegning, kan du vælge at bruge det undervisningsprogram, der hedder ”Medicinberegning” Det findes som alle øvrige programmer på skolens intranet under punktet ”undervisningsmaterialer”

More Related