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EL BILLAR NO ES PARA VAGOS. Carlos Bosch Giral ITAM. ¿Qué es el billar?. Billar: del francés billard . Juego de destreza que se ejecuta con tacos, bolas de marfíl en una mesa rectangular forrada de paño, rodeada de barandas elásticas y con troneras o sin ellas. .

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
el billar no es para vagos

EL BILLAR NO ES PARA VAGOS

Carlos Bosch Giral

ITAM

qu es el billar
¿Qué es el billar?
  • Billar: del francés billard. Juego de destreza que se ejecuta con tacos, bolas de marfíl en una mesa rectangular forrada de paño, rodeada de barandas elásticas y con troneras o sin ellas.
definici n de serge tabachnikov
Definición de Serge Tabachnikov
  • Una mesa de billar es una variedad Riemanniana M con frontera suave a pedazos. El sistema dinámico del billar en M está generado por el movimiento libre de un punto donde se acumula la masa (llamada bola) sujeta a la reflexión en la frontera. Esto quiere decir que un punto se mueve según una geodésica en M con velocidad constante hasta que golpea la frontera. En un punto suave de la frontera la bola se refleja de manera que la correspondiente tangencial de la velocidad sea la misma mientras que la normal cambia de signo.
definici n de donald
Definición de Donald
  • Una mesa de billar es la unión de dos cuadrados donde el rebote de la bola es tal que el ángulo de entrada y el de salida son iguales.
slide5
1800 juego de dos personas

1900 se admiten más de dos personas

Tres juegos principales

El billar con tres bolas

La pirámide con 15 bolas rojas sin número

El pool número variable usualmente 15 bolas con número, una bola sin número

El pool adquiere el nombre de la forma de apostar

slide6
El billar es un juego antiguo
  • Shakespeare habla del billar en “Antonio y Cleopatra” 1607
  • Llegó a Inglaterra a través de los caballeros que regresaban de las cruzadas.
  • La primera evidencia que se tiene del billar es en Francia siglo XV
  • Carlos IX de Francia y James I de Inglaterra en el siglo XVI tenian mesas de billar en sus palacios.
  • En América la primera mesa de billar apareció en Florida llevada por los españoles en 1565
los n meros y los billares
Los números y los billares
  • Patente US 2,978,816 11 de abril de 1961
  • Andrés Zavrotsky Universidad de los Andes Venezuela
  • Aparato óptico para calcular el máximo común divisor
  • Tomaremos mesas de distintos tamaños

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

45°

45°

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5

m ximo com n divisor
Máximo común divisor

De 6 y 9

6= 2 X 3

9= 3 X 3

9

3

1

3

3

1

6

3

1

2

3

1

mcd (6,9)=3

De 342 y 243

342

171

57

19

1

2

3

3

19

1

243

81

27

9

3

1

3

3

3

3

3

1

9= 3 X 3

mcd (342,243)=9

slide9
H. Steinhaus probó que no importa cuales son las dimensiones de la mesa si una bola empieza en un vértice con un ángulo de 45° después de un número finito de rebotes llegará a alguno de los otros vértices.
mesa de n por m sean p y q tales que m n r t con p q irreducible as mt nr

P

P

A

A

A

A

Q

Q

N

N

M

M

Mesa de n por m, sean p y q tales que m/n =r/t con p/q irreducible así mt = nr.
slide11
Pregunta
  • ¿Qué vértice de los tres restantes es el que tocará la bola?
slide12

8 7 6 5 4 3 2 1 0

5802

4563

0 1 2 3 4 5

slide13

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

8

7

6

5

4

3

2

1

0

par

impar

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

impar

impar

slide14

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

7

6

5

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

par

0 1 2 3 4

par

m quina de zavrotsky
Máquina de Zavrotsky
  • Se envía un rayo de luz a 45° partiendo del origen, el rayo después de un número finito de “rebotes” llegará a uno de los vértices del rectángulo, entonces habrá sobre el lado más largo un punto iluminado A que es el más cercano al origen.
  • Calcular la distancia de OA

Representa el doble del

MÁXIMO COMUN DIVISOR

slide16

6

3

0 A 5

0 A 8

6

0

0 A 9

slide17

P

P

A

A

A

A

Q

Q

N

N

6

M

M

0 A 8

2mcd(a,b)=min{d:d=2am+2an tal que m,n Z y d>0}

problemas de m nimos y m ximos
Problemas de mínimos y máximos.

Sea C una curva lisa y dos puntos fuera de ella.

Queremos ir de un punto a la curva y luego de la curva al otro punto. De manera que el recorrido sea lo mas corto posible

  • Sean y dos puntos fijos.
antecedentes
Antecedentes

(1) Si P y Q son los focos de una elipse, una bola que sale de un foco pasa siempre por el otro foco después de un rebote de tipo billar.

(2) La longitud de cada una de esas trayectoria es la misma:

d(X,P)+d(X,Q) = cste

problemas de m nimos m ximos
Problemas de mínimos-máximos
  • d(P,Q) = distancia de P a Q
  • Si y son fijos, P está en C una curva lisa y L(P) = d( ,P) + d(P, ) ;

L(P) alcanza un mínimo o un máximo en el punto de C entonces , ,

es una trayectoria de billar con rebote en C

m todo de demostraci n contradicci n

Método de demostración: contradicción

Supongamos que se tiene una trayectoria donde se alcanza el máximo o el mínimo PERO QUE NO ES UNA TRAYECTORÍA DE BILLAR

consideremos la familia de elipses que tienen como focos a los puntos p 1 y p 2
Consideremos la familia de elipses que tienen como focos a los puntos P1 y P2
  • La elipse con esos focos y que pasa por P0 no comparte la tangente con la curva en el punto P ya que en ese caso la trayectoria sería de tipo billar
  • Pensemos en una vecindad del punto P0 suficientemente pequeña de modo que alrededor de ese punto todas las elipses interesectan “tranversalmente” a la curva.
  • Como d(P1 ,P0 ) + d(P2 ,P 0) es una constante, si no movemos sobre la curva tendremos hacia un lado un valor más pequeño y hacia el otro un valor mayor.
consecuencias
Consecuencias

Así cualquier trayectoria que no es de tipo billar no

es la más corta ni la más larga, por lo tanto si hay

alguna “camino” en donde se alcanza el trayecto

más largo o más corto entonces esa es de tipo

billar.

cu l es el camino m s corto

A

B

B

C

l

¿Cuál es el camino más corto?
  • El mínimo se alcanza cuando ACB sea un rebote de billar
  • Es decir, que si tomamos A’ el reflejado de A respecto a l y trazamos BA’ está la recta intersecta a l en el punto C y BCA será la trayectoria que buscamos (de tipo billar)

l

A

A’

slide28

A

Q

B

P

R

P

Q

A

R

B

  • ¿ QR lo más corto posible con Q en PA y R en PB?
  • QR debe ser una trayectoria de billar con rebotes en Q y R
  • Con las simetrías obtenemos los rebotes de billar
slide29

P tiene que ser un triángulo de billar en y

  • Dado un punto P en un lado de un triángulo encontrar un triángulo de perímetro mínimo cuyos vértices estén en los lados del triángulo y uno de ellos sea P

Triángulo pedal = pies de las alturas

slide31

3

(0,0)

5

llenar o vaciar recipiente grande

llenar o vaciar recipiente pequeño

mandar de un recipiente a otro

slide32

3

5 3

(0,0)

5

5 0

2 3

2 0

0 2

slide33

3

5 3

(0,0)

5

(1.3)

5 2

4 3

4 0

1 3

slide34

3

5 3

(0,0)

5

0 3

3 0

3 3

5 1

pol gonos regulares y billares
Polígonos regulares y billares

k cerrado, acotado, convexo int ,

frontera de k suave a pedazos

bola de billar=punto en el interior de k

Bola se mueve a velocidad constante en línea recta hasta que choca con un punto . Si P es regular (frontera suave) la bola de billar rebota en la dirección determinada por la reflexión sobre la única recta tangente en P. Si P no es regular la bola se “mueve”. La bola genera una trayectoria de tipo billar.

Una trayectoria de tipo billar es periódica si regresa donde empezó.

slide36

1 2 3 4 5 6 7

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Posición clave 4

Posición natural 4

Ángulo natural 3

Posición clave – ángulo natural = 4 – 3 =1

slide38

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Posición clave 3.5

Ángulo natural 2

1 2 3 4 5 6 7

slide40

S R Q P O N M L

T

U

V

K

J

I

A B C D E F G H

4

1

7

5

2

6

3

slide41

10

6

S R

P Q

4

1

7

5

2

6

3

¿Cuántas veces rebota la bola antes de llegar al punto Q?

pol gonos regulares y billares42
Polígonos regulares y billares
  • En los puntos “suaves” la bola rebota en la dirección determinada por la reflexión.
  • En los puntos no suaves la bola se mueve
  • La bola genera una trayectoria de tipo billar
  • Una trayectoria de tipo billar es periódica si regresa donde empezó
teorema
Teorema
  • Un polígono convexo y cerrado P en el plano es regular si y sólo si P contiene una trayectoria periódica de tipo billar P’ semejante a P.
  • IDEA DEMOSTRACIÓN:
    • Fácil al tomar P´ el polígono formado por los puntos medios de P
    • P´una trayectoria periódica tipo billar vértice en P y semejante a P
observaciones
Observaciones

Cierto para cualquier polígono regular de n lados

El recíproco también es cierto

figuras de ancho constante

ancho

ancho

ancho

Figuras de ancho constante
  • Consideremos una figura convexa cerrada. En cada dirección la figura se encuentra limitada por dos rectas paralelas.
slide47
Hay una infinidad de figuras que tienen el mismo ancho en todas las direcciones

Círculo

Triángulo de Reuleaux

teorema49
Teorema
  • Una curva suave es de ancho constante si y sólo si toda trayectoria de tipo billar que “rebota” hacia la derecha (izquierda) siempre sigue rebotando hacia la derecha (izquierda)
  • No hay trayectorias de tipo

Sine R., Kreinovic V.

Remarks on billiards

Amer. Math Monthly 86, (1979), 204-206

slide50

P’

P

Además por la semejanza de P y P’, y son una permutación una de la otra. Entonces