第２章「有限オートマトン」

第２章「有限オートマトン」

2.1 定義 2.2 正規集合の演算 2.3 Nerodeの定理 2.4 非決定性の有限オートマトン 2.5 正規表現と正規集合 2.6 順序機械と状態最小化第２章の内容

有限オートマトン　M = (K, Σ, δ, q0, F) K = {q0, q1, …, qn} :状態の集合 Σ= {a, b, …, c} :文字の集合（アルファベット） q0 : 初期状態 δ : 遷移関数 K×Σ→ K F :　受理状態の集合（K の部分集合） 2.1 定義 q ヘッド a1 a2 ai テープ

　定義つづき 遷移関数を次のように拡張する。 (1) δ(q, e) = q (q ∈ K) (2) δ(q, ax) =δ(δ(q, a), x) (q∈K, a∈Σ, x∈Σ*) 文字列wに対してδ(q0, w)は，その文字列を読んだときのオートマトンの状態を表す。 δ(q0, w) = p ∈ F であるとき，M はwを受理するという。 Mが受理する文字列全体：L(M) ={w | δ(q0, w) ∈ F} オートマトンによって受理される集合を正規言語という。

　オートマトンの例（p8） 状態遷移状態遷移図（図２） a δ(q0, aba) = δ(δ(q0, a), ba) = δ(q1, ba) = δ(d(q1, b), a) = δ(q0, a) = q1∈ F q0 q1 b b a q2 a,b L(M) = {a(ba)n | n≧0}

アルファベットΣ上の正規集合の族R (Σ) = {L | Lは正規言語}は集合演算∪, ∩, ￣のもとでブール代数をなす 2.2 正規集合の演算 R (Σ) L1 L2

　補題 2.1 補題2.1 正規集合 L の補集合 L =Σ*－L は正規集合証明 Lを受理するオートマトンをM=(K, Σ, δ, q0,F)とするとき，M=(K, Σ, δ, q0, K-F)とすると　L(M) = L(M) となる.

　補題 2.2 補題2.2 L1, L2 ⊆ Σ * を正規集合とする。 (1) L1∪ L2は正規集合である。 (2) L1∩ L2は正規集合である。証明 (1)について証明する。 L1 = L(M1)、M1 = (K1, Σ, δ1, q01, F1) とし、L2に対してもM2を定義する。M1, M2から次の遷移関数 d と受理状態Fをつくる。 δ = ((q1, q2), a) = (δ1(q1, a), δ2(q2, a)) (q1∈K1, q2∈K2, a∈Σ) F = F1×K2∪K1×F2

　証明つづき 任意の q1∈K1, q2∈K2 に対して， δ = ((q1, q2), e) = (δ1(q1, e), δ2(q2, e)) = (q1, q2) 数学的帰納法のベースステップ δ = ((q1, q2), x) = (δ1(q1, x), δ2(q2, x)) (仮定 |x|≦k) 定義より δ((q1, q2), ax) = δ(δ((q1, q2), a), x) = δ((δ1(q1, a), δ2(q2, a)), x) 帰納法の仮定 = (δ1(δ1(q1, a), x), δ2(δ2(q2, a), x)) 帰納法の仮定 = (δ1(q1, ax), δ2(q2, ax)) 定義より

　証明つづき x ∈ L(M) ⇔ δ((q01, q02), x) ∈ F ⇔ (δ1(q01, x), δ2(q02, x)) ∈ F1×K2∪K1×F2 ⇔ δ1(q01, x) ∈ F1または　 δ2(q02, x) ∈ F2 ⇔ x ∈ L(M1)∪L(M2) (2)の証明は省略 (1)のときと、終状態の条件が違うだけ。

Σ*上の関係 R は、 xRy ⇒ 任意の z∈Σ* に対して xzRyzを満たすとき右不変であるという。関係 R は、R による同値類の数が有限であるとき、有限指数であるという。 2.3 Nerode の定理

　定理2.4 （Nerodeの定理） 定理2.4 次の３つは同等である. 　(1) 集合 L⊆Σ* は正規である。　(2) L はある有限指数で右不変な同値関係 Rによる同値類の和として表される。　(3) 関係 ≡ は有限指数である。ただし≡はx≡y ⇔ 任意の z∈Σ* に対してxz, yz∈L であるか xz, yz∈L である。 L L L 「xz∈L と yz∈L が同等である」の意

　証明 (1)⇒(2) L = L(M)、 M=(K, Σ, δ, q0, F) とし、関係 R を xRy ⇔ δ(q0, x) =δ(q0, y)と定義すると、明らかに R は有限指数の同値関係である。（L が R の同値類の和として表されることもほとんど自明）あとはRが右不変であることをいえばよろしい任意のx, y に対してδ(q, xy)=δ(δ(q, x), y) であるので xRy ⇒ δ(q0, x)= δ(q0, y) ⇒ δ(δ(q0, x), z) = δ(δ(q0, y), z) ⇒ δ(q0, xz)= δ(q0, yz) ⇒ xzRyz より、R は右不変である。

　証明 (2)⇒(3)、(3)⇒(1) (2)⇒(3) xRy ⇒ xzRyz (z∈Σ*) ⇒ xz∈L ⇔ yz∈L ⇒x≡y 。　よって≡は有限指数。 L L (3)⇒(1) 同値関係≡のxを代表元とする同値類を[x]で表す。 L K’={[x] | x∈Σ*} δ’([x], a) = [xa] q’0 = [ε] F’ = {[x] | x∈L} とするとδ’(q’0, x) =δ’([ε], x) = [εx] = [x] であるので x∈L(M’) ⇔ [x]∈F’ ⇔ x∈L ゆえに L(M’) = L である。 L は正規ってこと

　例2.2 Nerodeの定理は、ある言語 L が正規でないことを示すときに有効な道具となる。 Σ={a, b}上の言語を L={anbn | n≧0} とする。 L を正規と仮定すると、ai≡ajとなる整数 i, j (i<j)が存在し、≡は右不変であるので aibi≡ajbi となるはずである。ところがこれは成立しないので矛盾である。すなわち、L は正規でない。 L L L

これまでのオートマトンは、文字 a と状態 q に対してδ(q, a)は一意に定まった。このようなオートマトンを決定性であるという。 2.4 非決定性の有限オートマトン非決定性のオートマトン非決定性のオートマトンとは M=(K, Σ, δ, Q0, F)のことである。ただし Q0⊂K でδは K×Σから 2K への関数である。その他の要素は決定性と同様。

　遷移関数と受理状態 非決定性の遷移関数の定義域を次のようにして K×Σから K×Σ*へ拡張する。 δ(q, e) = {q} δ(q, ax) = ∪ δ(p, x) (q∈K, a∈Σ, x∈Σ*) p∈δ(q, a) これはさらに 2K×Σ* に拡張される。 δ(S, x) = ∪ δ(q, x) q ∈S そして, x∈Σ* が M によって受理されるとは、 δ(Q0, x)∩F ≠Φ であることをいう。

　例2.3 b b q0 q1 q1 a,b 非決定性有限オートマトンの状態図例えば abb に対しては δ(q0, abb) = δ(q0, bb) = δ(q0,b)∪δ(q1,b) = {q0}∪{q1}∪{q2} = {q0, q1, q2} となり q2∈F であるから abb∈L(M) である。

　定理2.5 定義より、決定性の有限オートマトンは |δ(q, a)| = 1 であるような非決定性オートマトンの特別な場合である。しかしながらこれらのオートマトンの能力には差はないことが示される。定理2.5 L⊆Σ* が正規であるための必要十分条件は，L が非決定性の有限オートマトンによって受理されることである。証明の方針任意の非決定性のM に対して、L(M) = L(M’) となる決定性のM’ を構成できることを示せば十分である。

　定理2.5の証明 非決定性の有限オートマトン M=(K, Σ, δ, Q0, F) を考える。 Kの任意の部分集合に１つの状態を割り当て、それらに対して次の決定性のM’をつくる。ポイント！ K’ = 2K δ’(S, a) = ∪ δ(q, a) q ∈S q’0 = Q0 F’ ={R | R ∈ K’ かつ R∩F≠Φ} このオートマトンは M の状態の集合を１つの状態とみなして( {q1, q2,…, qk} = p という具合に) 書き直しただけであり、 L(M) = L(M’) が成立することはすぐに分かる。

　例2.4 例2.3 の非決定性オートマトンMに対して、証明の方法に従って M’ を構成すると以下のようになる. K={Φ, {q0}, {q1}, {q2}, {q0, q1}, {q0, q2}, {q1, q2}, {q0, q1, q2}} q’0={q0} F={{q2},{q0, q2}, {q1, q2}, {q0, q1, q2}} a b {q0} {q0} {q2} a a a,b {q0, q1, q2} {q0, q2} a b a b b b b {q1, q2} φ {q0, q1} a a,b

2.5 正規表現と正規集合 • この節で分かること • 正規表現の（数学的な）定義と意味づけ • 正規表現は文字列処理において重要な概念 • UNIXシステムやプログラミング言語（Perl、Ruby等）で用いられる正規表現は（実用的に）拡張されている • 有限オートマトンと正規表現とが、言語を定義する能力において同等である • 正規表現で定義される言語Ｌを受理する有限オートマトンが存在する • その逆もいえる

Unix等における正規表現 • ファイル名の正規表現 • > rm ＊.txt • > cp Important[0-9].doc • 検索ツールGrepの正規表現 • > grep –E “for.+(256|CHAR_SIZE)” ＊.c • プログラミング言語Perlの正規表現 • $line = m|^http://.+\.jp/.+$|

　正規表現の定義 • アルファベットΣ上の正規表現とはA={), (, f, ・, +, *}を用いて次のように定義される。 • (1) φとΣの要素は正規表現である • (2) αとβが正規表現ならば (α・β)も正規表現である • (3) αとβが正規表現ならば (α+β)も正規表現である • (4) αが正規表現ならば α* も正規表現である • (5) 上から導かれるものだけが正規表現である • 例： (a・(a+b)*)

q0 q2 q1 a a,b b a,b 　正規表現の意味づけ • 正規表現をΣ*の部分集合に写像する • (i)||φ|| =φ • (ii) a∈Σに対して ||a|| = {a} • (iii)正規表現α,βに対して ||(α・β)|| = ||α||・||β|| • (iv)正規表現α,βに対して ||(α+β)|| = ||α||+||β|| • (v)正規表現αに対して ||α*|| = ||α||* • 例： • ||(a・(a+b)*)|| = {ax | x∈{a,b}*}

2.5節の構成（同等の証明） • 定理2.10　（正規表現→正規集合） • 補題2.2(1) （2.2節より、和L1∪L2は正規集合） • 補題2.6 （空集合は正規集合） • 補題2.7 （任意の一文字は正規集合） • 補題2.8 （積L1・L2は正規集合） • 補題2.9 （閉包L*は正規集合） • 定理2.12　（正規集合→正規表現） • 補題2.11 （||αij(k)|| = Rij(k)）割と簡単結構たいへん

　例2.7 • 図2.9の有限オートマトンに対する正規表現 • γ=α11(3) + α13(3)α11(3) = α11(2) + α13(2)・(α33(2))*・α31(2) α11(2) = α11(1) + α12(1)・(α22(1))*・α21(1) α11(1) = α11(0) + α11(0)・(α11(0))*・α11(0) =(a+φ*)+(a+φ*)・(a+φ*)*・(a+φ*) =a*α12(1) = α12(0) + α11(0)・(α11(0))*・α12(0) = b+(a*・b)α22(1) = α22(0) + α21(0)・(α11(0))*・α12(0) = a・a*・bα21(1) = α21(0) + α21(0)・(α11(0))*・α11(0) = a・a*・・・ • γ= a*+a*(baa*)*+a*(baa*)*bbb*+・・・

2.6 順序機械と状態最小化 順序機械とは atcgaatccg... atcgaatccg... 有限オートマトン順序機械 00101100010... Yes No or

　順序機械の概念図 a1 a2 ai 入力テープ q ヘッド b1 b2 bi 出力テープ

　順序機械の数学的定義 • 順序機械は、5つ組 S=(K,Σ,⊿,δ,λ) • K：状態の（空でない）集合 • Σ：入力アルファベット • ⊿：出力アルファベット • δ：遷移関数　K×Σ→K　　（K×Σ*→K） • λ：出力関数　K×Σ→⊿　　（K×Σ*→⊿*） • （本当はスタート地点を表す q0もいる） λ(q,ε)=ε　　（q∈K） λ(q,ax)=λ(q,a)λ(δ(q,a), x)（q∈K, a∈Σ, x∈Σ*）

q0 1/1 0/0 q3 q5 q1 q2 q4 1/1 0/0 1/0 0/0 0/0 1/0 0/0 1/0 0/0 1/1 　例2.8 （図2.11） λ(q0, 011) =λ(q0, 0)λ(δ(q0,0), 11) = 0λ(q4, 11) = 0λ(q4, 1)λ(δ(q4,1), 1) = 01λ(q5, 1) = 010

　一般順序機械 • 一般順序機械とは • 順序機械の出力関数をK×Σ→⊿* に拡張したもの • 一般順序機械 S = (K,Σ,⊿,δ,λ) に対して S(x) =λ(q0, x) (x∈Σ*) • gsm写像 L⊆Σ*に対して S(L) = {λ(q0, x) | x∈L} 語 x のＳによる変換 Σ*上の言語から⊿*上の言語への翻訳を意味する

　同値・等価・既約 • Si=(Ki,Σ,⊿,δi,λi) (i=1,2) について • 状態 p∈K1と q∈K2は、任意の x に対してλ1(p, x) =λ2(q, x) であるとき同値といいp≡qとかく　（p≡q ならばδ1(p,x) =δ2(q,x)） • S1と S2は任意の p∈K1に対して p≡q となるq∈K2が存在し、その逆の場合も成り立つとき等価であるといい S1≡S2とかく • S=(K,Σ,⊿,δ,λ) は • 任意の p, q∈K に対して p≡q ならば p=q であるとき既約であるという補題2.13

　定理2.14 定理2.14 任意の順序機械 S に対して S≡S’ となる既約な順序機械 S’ が存在する証明 [p] を ≡ による p を含む同値類として、これを状態とする順序機械を構成する（略：教科書p25）

p r q 　定理2.15 定理2.15 既約な順序機械は、それと等価な順序機械のうちで、状態数が最小である証明ほぼ自明 |K|＞|K’| p≡r, q≡r ⇒ p≡q S’ 既約なS 矛盾!

　順序機械の状態を最小にする手順 • 等価で既約な S’ を作ればよい • 定理2.14 →既約なものが存在することを保証 • k同値 • λ(p,x)=λ(q,x)がすべての|x|≦kなるx∈Σ* に対して成り立つとき、p と q は k同値であるといいp≡qとかく • Ckを ≡ による K の同値類の集合とする k k

順序機械 S=(K,Σ,⊿,δ,λ) に対して次の関係が成立する • p ≡ q であるための必要十分条件は、p≡q かつ任意の a∈Σに対してδ(p,a)≡δ(q,a) となること • Ck+1=Ckならば j≧k なるすべての j に対して Ck=Cj • Ck+1=Ckであれば、p≡q となる必要十分条件は p≡q • |C1|=1 ならば、C2 = C1 • n=|K|≧2 ならば、Cn = Cn-1 k+1 k k k 　定理2.16 定理2.16 k=1,2,…,n の順に Ckを計算していくと、必ず Ck+1 = Ckとなるk が求まり、このとき Ckは≡による同値類の集合に等しい

1/0 p1 q0 p2 p3 p0 1/1 1/1 0/0 0/0 0/0 q5 q1 q3 q4 q2 1/1 0/0 1/0 0/0 0/0 1/0 0/0 0/0 1/0 0/0 1/0 0/0 1/1 1/1 　例2.9 変換

　有限オートマトンの状態最小化のしかた • 有限オートマトン M に等価で、状態数が最小 • Nerodeの定理より、同値関係≡のもとで同値類を状態にもつ有限オートマトン M’ • 状態を最小化する手順 • 定理2.17 （定理2.16とほぼ同じ）による • 具体的には • 離れ小島になっている状態を削除 • 同値関係≡による同値類 Ckを計算するここで関係≡はp≡q ⇔ 任意の|x|≦k なる x∈Σ* に対してδ(p, x)∈F←→δ(q, x)∈F L k k k

a a b q1 q3 q0 b b a b a a q5 q2 p0 p2 q4 a b b a p1 b a b a,b 　例2.10 変換

第２章 「有限オートマトン」