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Théorie de Lyapunov sur la stabilité. Référence: Notes de cours de D. Alazard de SupAéro . Notes de Hannah Michalska , McGill University. Système non-linéaire. Considérons un système continu et non-linéaire représenté par: Exemple:. Point d’équilibre.

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Presentation Transcript
th orie de lyapunov sur la stabilit

Théorie de Lyapunov sur la stabilité

Référence: Notes de cours de D. Alazard de SupAéro.

Notes de Hannah Michalska, McGill University

syst me non lin aire
Système non-linéaire
  • Considérons un système continu et non-linéaire représenté par:
  • Exemple:
point d quilibre
Point d’équilibre
  • Un vecteur est un point d’équilibre si:
  • Si xe est différent de 0, il peut être ramené à 0 par un changement de variable:
point d quilibre1
Point d’équilibre
  • Considérons donc à partir de maintenant que:
    • Sans perte de généralité…
stabilit locale simple et asymptotique
Stabilité locale simple et asymptotique
  • L’état d’équilibre du système continu et non-linéaire de l’acétate #2 est:
    • Stable, si pour tout ε>0, il existe un r=r(ε), tel que:
    • Instable si non-stable;
stabilit locale simple et asymptotique1
Stabilité locale simple et asymptotique
  • L’état d’équilibre du système continu et non-linéaire de l’acétate #2 est:
    • Asymptotiquement stable, s’il est stable et si r peut être choisi tel que:
    • Marginalement stable, s’il est stable sans être asymptotiquement stable.
stabilit asymptotique globale
Stabilité asymptotique globale
  • Si le système est asymptotiquement stable quelque soit la condition initiale x(0), alors le point d’équilibre est globalement asymptotiquement stable.
id e de base assumant x e 0
Idée de base (assumant xe = 0)
  • Supposez que l’on puisse définir une mesure de l’énergie dans un système:
    • par exemple:
  • Tel que:
id e de base assumant x e 01
Idée de base (assumant xe = 0)
  • Tel que (suite):
    • augmente doucement tandis que x augmente (pour un t donné).
    • L’énergie ne s’accroit pas le long de toute trajectoire, donc:
intuitivement
Intuitivement…
  • … il est raisonnable de penser que pour x0 près de xe (= 0):
    • L’énergie initiale est petite.
    • L’énergie reste toujours petite.
      • puisque:
    • reste près de xe pour toujours.
  •  xe est stable.
hypoth se de base sur v x t
Hypothèse de base sur V(x,t)
  • : toutes les dérivées partielles de V existent et sont continues dans (x,t).
  • Conséquence:
pour un ensemble
Pour un ensemble
  • …nous devons être en mesure d’écrire qu’il existe des fonctions et tel que:
  • et sont des fonctions de classe K.
fonction de classe k
Fonction de classe K
  • est une fonction de classe K si:
    • , et est continu;
    • ;
    • est strictement croissant de façon monotone avec .
  • Exemple: est une fonction de classe K.
fonction d finie positive
Fonction définie positive
  • Une fonction scalaire V(x) continuellement différentiable (par rapport à x) est définie positive dans une région Ω autour de l’origine si:
    • V(0) = 0;
    • V(x) > 0 pour tout .
fonction d finie positive1
Fonction définie positive
  • Autrement dit:
    • Si

Fonction de classe K

fonction d finie semi positive
Fonction définie semi-positive
  • Une fonction scalaire V(x) continuellement différentiable (par rapport à x) est définie semi-positive dans une région Ω autour de l’origine si:
    • V(0) = 0;
    • V(x) ≥ 0 pour tout .
fonction quadratique d finie positive
Fonction quadratique définie positive
  • La fonction quadratique où Q est une matrice (de taille n par n) réelle symétrique, est définie positive si toutes les valeurs propres de la matrice Q sont strictement positives.
exemples
Exemples
  • #1:
    • Définie positive dans R2;
    • Définie semi-positive dans R3.
  • #2:
    • Définie semi-positive dans R2. (Pourquoi ?)
stabilit locale
Stabilité locale
  • L’état d’équilibre xe = 0 est stable si il existe une fonction continuelle-ment dérivable V(x) telle que:
    • V(0) = 0;
    • V(x) > 0, ;
stabilit locale et asymptotique
Stabilité locale et asymptotique
  • Si la dernière condition était plutôt, alors l’état d’équilibre est asymptotiquement stable.
stabilit globale
Stabilité globale
  • L’état d’équilibre xe = 0 est globalement asymptotiquement stable si il existe une fonction continuellement dérivable V(x) telle que:
    • V(0) = 0;
    • V(x) > 0,
exemple
Exemple
  • Soit:
  • Passage en équation d’état avec:
  • Ainsi:

Dont on veut connaître la stabilité.

exemple1
Exemple
  • Ce système possède un point d’équilibre à (x1,x2)=(0,0).
  • Analysons la stabilité de ce système avec cette fonction de Lyapunov:
exemple2
Exemple
  • Dérivant V(x), on trouve:
  • Ensuite:
exemple3
Exemple
  • Donc
  • Ainsi, V(x) est une fonction définie positive qui est strictement décroissante le long de toutes les trajectoires possibles si ε<0.
exemple4
Exemple
  • En vertu de la théorie de Lyapunov, le système est globalement stable si ε=0.
  • Il est globalement asymptotiquement stable si ε<0.
  • Sinon, il est globalement instable.
exemple 2
Exemple #2
  • Soit:
    • Dont le point d’équilibre est à (0,0).
  • Vérifions la stabilité avec cette fonction de Lyapunov:
exemple 21
Exemple #2
  • En dérivant:
  • Donc
exemple 22
Exemple #2
  • Cette condition peut être réécrite comme suit:
exemple 23
Exemple #2
  • Essayons ce second candidat:
  • Dérivant:
    • Ce qui mène à conclure que le système est globalement asymptotiquement stable.
exemple 3
Exemple #3
  • Soit:
    • Dont le point d’équilibre est à (0,0).
  • Vérifions la stabilité avec cette fonction de Lyapunov suivante:
exemple 31
Exemple #3
  • En dérivant:
  • Stable car:
bilan
Bilan
  • Le choix de la fonction de Lyapunov a un effet sur l’évaluation de la zone de stabilité d’un système non-linéaire.
stabilit de lyapunov des syst mes lin aires
Stabilité de Lyapunov des systèmes linéaires
  • Le système linéaire est asymptotiquement stable si et seulement si, pour toute matrice symétrique définie positive Q, il existe une matrice P définie positive et symétrique satisfaisant l’équation de Lyapunov:
d monstration condition suffisante
Démonstration (condition suffisante)
  • Considérons ce candidat:
  • Dérivant:
d monstration condition suffisante1
Démonstration (condition suffisante)
  • Soit Q une matrice définie positive, si P est une solution positive de l’équation de Lyapunov.
    • Alors
    • et
    • Donc système asymptotiquement stable.
d monstration condition n cessaire
Démonstration (condition nécessaire)
  • Pour un couple quelconque (A,Q) l’équation de Lyapunov peut admettre plus d’une solution pour P.
  • Mais, si A est stable, la solution P est unique:
exemple5
Exemple

Instable

exemple6
Exemple
  • Q = I.

=0

exemple7
Exemple
  • Posons Q = I.

p2=-1/2

p5=-1/2

p4=- p3

exemple8
Exemple
  • Posons Q = I.

p3=1/2-3p6

p1=-3+6p6

exemple9
Exemple
  • 6p6+6=0  p6=-1
  • Finalement P est:
    • Pas définit positif, car:

Instable

design d un contr leur non lin aire pour un syst me lin aire
Design d’un contrôleur non linéaire pour un système linéaire
  • Soit le système:
    • A globalement asymptotiquement stable (g.a.s.);
    • … et
design d un contr leur non lin aire pour un syst me lin aire1
Design d’un contrôleur non linéaire pour un système linéaire
  • Problème:
    • Concevoir un contrôleur avec rétroaction possiblement non-linéaire qui fait en sorte que x retourne rapidement à 0.
tape 1
Étape #1
  • Choix de la fonction de Lyapunov pour le système en boucle ouverte:
  • Choisissons Q symétrique et définie positive. Exemple: Q = I.
tape 11
Étape #1
  • Ensuite, définir
  • Avec P symétrique et définie positive, solution de l’équation de Lyapunov.
    • Comme A est g.a.s. P>0.
tape 12
Étape #1
  • Conséquence, la fonction de Lyapunov V(x,t) est positive définie et décroissante et radialement illimitée pour le système.
tape 2
Étape #2
  • Choisir l’entrée u(t) qui fait en sorte que dV/dt soit négatif le long des trajectoires du système.
  • Dérivant, on obtient:
tape 21
Étape #2
  • Solution u(t):
  • Avec:
    • Un relais…
tape 3
Étape #3
  • Vérification que le système en boucle fermée est g.a.s.
  • La dérivé de V est:
exemple10
Exemple
  • Système:
  • Choix de Q: Q = 1.
  • Donc:
exemple11
Exemple
  • Système:
  • Ce qui mène à ce contrôleur:
  • Donc en boucle fermée:
la commande lq principe
La commande LQ - principe
  • Soit le système linéaire suivant:
  • Hypothèse:
    • La paire (A,B) est stabilisable, i.e., qu’il n’y a pas de modes instables et ingouvernable dans ce système.
la commande lq principe1
La commande LQ - principe
  • Résultat:
    • Soit le critère LQ suivant:
    • Avec R>0, Q≥0 et
la commande lq principe2
La commande LQ - principe
  • Alors:
    • La commande par retour d’état qui stabilise le système et minimise ce critère LQ est:
    • Avec
quation de riccati
Équation de Riccati
  • Dans l’équation précédente, Pc est solution unique (matrice symétrique et définie positive) de l’équation de Riccati:
ainsi
Ainsi
  • La fonction de coût minimale correspondante est alors:
d monstration
Démonstration
  • La dynamique du système en boucle fermée avec la commande par retour d’état est:
  • La réponse autonome de ce système est:
d monstration1
Démonstration
  • Le critère J devient:
d monstration2
Démonstration
  • Avec:
  • La contrainte Abf stable entraine que P vérifie l’équation de Lyapunov:
    • Notez que P≥0, car J≥0.
d monstration3
Démonstration
  • Posant Kc la valeur optimale de K qui minimise J et la solution Pc correspondante, alors
d monstration4
Démonstration
  • Considérons une variation du gain ΔK autour de Kc. Il en résulte une variation de ΔP autour de Pc, qui vérifie:
d monstration5
Démonstration
  • Kc est la valeur optimale au sens de J si et seulement si le critère augmente pour toute variation ΔK autour de Kc, soit:
d monstration6
Démonstration
  • En soustrayant les deux équations des acétates 66 et 65, on obtient:
d monstration7
Démonstration
  • Que l’on peut réécrire:
    • C’est une équation de Lyapunov
d monstration8
Démonstration
  • A-BK étant stable ΔP est positif si et seulement si (Théorème de Lyapunov):
d monstration9
Démonstration
  • Or, car par définition R>0. Il faut donc que:
  • Que l’on peut réécrire:
d monstration10
Démonstration
  • En reportant cette valeur de gain dans l’équation de l’acétate 65, on obtient l’équation de Riccati:

FIN

exemple12
Exemple
  • Soit le système suivant:
exemple13
Exemple
  • Qui donne la représentation dans l’espace d’état suivant:
exemple14
Exemple
  • Si on a Qx = I et R = ρI, l’équation de Riccati est:
  • Avec
exemple15
Exemple
  • Donc:
exemple16
Exemple
  • Posant p3 et p5 égaux à 0:
  • Donc:
exemple17
Exemple
  • Donc le gain optimal est:
exemple18
Exemple
  • Localisation des pôles (3):
exemple19
Exemple
  • Pôles pour diverses valeurs de ρ:
exemple20
Exemple
  • Exemple de réponses:

0.1

0.5

0.8

sur matlab
Sur MATLAB
  • Fonction lqr
chariot sur un rail
Chariot sur un rail
  • Un chariot est libre de se déplacer sur un rail.
  • Une force constante f est appliquée pour le déplacer.
  • Il faut déplacer le chariot de 100 m en 10 s.
chariot sur un rail1
Chariot sur un rail
  • Mais, on désire la force f la plus petite que possible.
  • Condition initiale:
    • Chariot en x = 0 et sa vitesse initiale est nulle.
  • Vitesse finale peut être quelconque.
  • Masse du chariot est m.
chariot sur un rail2
Chariot sur un rail
  • Modèle:
  • Variables d’état:
chariot sur un rail3
Chariot sur un rail
  • Ainsi:
  • Condition initiales et valeur finales désirées à t=10s:

Force d’amplitude constante

chariot sur un rail4
Chariot sur un rail
  • On intègre les deux équations d’état:
  • Et on obtient k = 2. Mais, la plus petite force possible est k = 0.
chariot sur un rail5
Chariot sur un rail
  • Les objectifs sont contradictoires. Considérons tout de même la fonction objectif suivante:
    • Pondérations:
      • q pour pénaliser l’erreur de position
      • r pout pénaliser l’amplitude de la commande.
chariot sur un rail6
Chariot sur un rail
  • Ici:
  • Pour obtenir le k optimal:
  • …puis…
chariot sur un rail7
Chariot sur un rail
  • Ou encore:
  • Si (q/r)∞, k=2;
  • Si (q/r)0, k=0.
chariot sur un rail8
Chariot sur un rail
  • Supposons maintenant que la force est:
  • On cherche les valeurs de k1 et k2 qui minimisent la fonction objectif J.
chariot sur un rail9
Chariot sur un rail
  • Dans ce cas:
  • Donc:
chariot sur un rail10
Chariot sur un rail
  • À t = 10 secondes:
  • Solution: une infinité de valeurs de k1 et k2.
  • Cette équation est une contrainte:
chariot sur un rail11
Chariot sur un rail
  • La fonction objectif est
  • Et…
chariot sur un rail12
Chariot sur un rail
  • Exemples:
    • q = 100, r = 1
      • K1 = 3 et K2 = -0.3;
    • q = 1, r = 1
      • K1 = 2.991 et K2 = -0.299;
    • q = 1, r = 100
      • K1 = 2.308 et K2 = -0.231.

Proche de la contrainte

chariot sur un rail13
Chariot sur un rail
  • Si on force la contrainte entre k1 et k2, on obtient:
  • Et…
chariot sur un rail14
Chariot sur un rail
  • Ce qui mène à k2 = -0.3 et k1 = 3.
chariot sur un rail15
Chariot sur un rail
  • Supposons maintenant que l’on désire que la vitesse soit nulle à t=10. Cela implique que:
  • Que l’on peut réécrire:
    • Seconde contrainte.
chariot sur un rail16
Chariot sur un rail
  • Nouvelle fonction objectif:
  • Donc:
chariot sur un rail17
Chariot sur un rail
  • Avec les deux contraintes:
  • Donc:
chariot sur un rail18
Chariot sur un rail
  • Exemples:
    • q1 = 100, q2 = 1, r = 1
      • K1 = 5.1424 et K2 = -0.9428;
    • q1 = 1, q2 = 100, r = 1
      • K1 = 5.917 et K2 = -1.182;
    • q1 = 1, q2 = 1, r = 100
      • K1 = 2.325 et K2 = -0.2435.

Proche de la 1ère contrainte

Proche de la 2e contrainte