Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

1. ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

2.  Εισαγωγή •  Είδη Μαθηματικών Μοντέλων •  Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις •  Συναρτήσεις Μεταφοράς •  Πόλοι-Μηδενικά • Εξισώσεις Κατάστασης • Αλλαγή Περιγραφών Βιβλιογραφία Ενότητας • Παρασκευόπουλος [2005]: Κεφάλαιο 3, Ενότητες 3.1 – 3.8 • Παρασκευόπουλος [2005]: Εφαρμογές, Κεφάλαιο 3 • DiStefano [1995]: Chapters 3 & 6 • Tewari [2005]: Chapter 2: Sections 2.1 - 2.2, 2.6-2.7

3.  Εισαγωγή •  Είδη Μαθηματικών Μοντέλων •  Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις •  Συναρτήσεις Μεταφοράς •  Πόλοι-Μηδενικά • Εξισώσεις Κατάστασης • Αλλαγή Περιγραφών Εισαγωγή • Με τον όρο περιγραφή ενός Σ.Α.Ε εννοούμε, γενικά, μια μαθηματική σχέση που συνδέει φυσικές ποσότητες και στοιχεία ενός συστήματος. • Η μαθηματική αυτή σχέση συνθέτει το μαθηματικό μοντέλο ή πρότυπο του συστήματος • Μαθηματικό μοντέλο ενός συστήματος είναι μια μαθηματική έκφραση που συσχετίζει την είσοδο, το σύστημα και την έξοδο με τέτοιο τρόπο ώστε να μας δίνει τη δυνατότητα υπολογισμού της εξόδου του συστήματος κάτω από οποιαδήποτε διέγερση • Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το μαθηματικό μοντέλο δεν είναι μια οποιαδήποτε σχέση αλλά εκείνη η σχέση που μας δίνει τη δυνατότητα ανάλυσης του συστήματος, δηλαδή του προσδιορισμού της απόκρισης του για οποιαδήποτε διέγερση • Ο προσδιορισμός του μαθηματικού μοντέλου μπορεί να αφορά τη(ν): • Κατάστρωση των εξισώσεων του συστήματος, δηλαδή με γνωστό το σύστημα (φυσικά στοιχεία που το απαρτίζουν) χρησιμοποιούμε τις επιμέρους μοντελοποιήσεις των στοιχείων για τη δημιουργία του συνολικού μοντέλου του συστήματος. • Παράδειγμα: Ένα ηλεκτρικό ή ηλεκτρονικό κύκλωμα • Αναγνώριση συστήματος, δηλαδή το σύστημα είναι άγνωστο (μαύρο κουτί) ή αποτελείται από πολλά φυσικά στοιχεία ώστε να καταστρωθούν οι εξισώσεις περιγραφής του (π.χ το σύστημα αεροσκάφος)

4.  Εισαγωγή •  Είδη Μαθηματικών Μοντέλων •  Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις •  Συναρτήσεις Μεταφοράς •  Πόλοι-Μηδενικά • Εξισώσεις Κατάστασης • Αλλαγή Περιγραφών Αναγνώριση συστήματος • Το επόμενο σχήμα περιγράφει μια συνηθισμένη διάταξη που χρησιμοποιείται για την αναγνώριση συστημάτων και τη δημιουργία προσομοιωτών (simulators) • Τόσο το σύστημα όσο και το μαθηματικό μοντέλο διεγείρονται από την ίδια διέγερση u(t) και σχηματίζεται η διαφορά e(t)των δύο αποκρίσεωνy1(t)και y2(t) • Το μαθηματικό μοντέλο τροποποιείται διαρκώς μέχρι η ποσότητα να ελαχιστοποιηθεί

5.  Εισαγωγή •  Είδη Μαθηματικών Μοντέλων •  Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις •  Συναρτήσεις Μεταφοράς •  Πόλοι-Μηδενικά • Εξισώσεις Κατάστασης • Αλλαγή Περιγραφών Είδη Μαθηματικών Μοντέλων • Έχουν προταθεί διάφορα είδη μαθηματικών μοντέλων για την περιγραφή Σ.Α.Ε. Κάθε είδος έχει τα πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα του. Τα τέσσερα πιο δημοφιλή είναι: • Ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις (Ο.Δ.Ε) • Δυνατότητα περιγραφής κάθε είδους συστήματος (γραμμικό ή μη, χρονικά αναλλοίωτο ή μη κλπ.) • Δυσκολία ανάλυσης λόγω της δυσκολίας επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων • Συναρτήσεις μεταφοράς • Εφαρμόζεται σε ΓΧΑ συστήματα χωρίς αρχικές συνθήκες. • Ευκολία ανάλυσης (αλγεβρικές εξισώσεις) -Κλασική μεθοδολογία ανάλυσης Σ.Α.Ε • Πόλοι-μηδενικά • Εφαρμόζεται σε ΓΧΑ συστήματα • Κατάλληλη μεθοδολογία για απλοποίηση μαθηματικών μοντέλων συστημάτων • Κλασική μεθοδολογία ανάλυσης Σ.Α.Ε • Εξισώσεις κατάστασης • Δυνατότητα περιγραφής κάθε είδους συστήματος • Δυνατότητα περιγραφής Σ.Α.Ε πολλών εισόδων – πολλών εξόδων • Ευκολία προγραμματισμού σε Η/Υ – Σύγχρονη μεθοδολογία ανάλυσης

6.  Εισαγωγή •  Είδη Μαθηματικών Μοντέλων •  Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις •  Συναρτήσεις Μεταφοράς •  Πόλοι-Μηδενικά • Εξισώσεις Κατάστασης • Αλλαγή Περιγραφών Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις • Οι ολοκληρωδιαφορικές (Ο.Δ.Ε) είναι γραμμικά ανεξάρτητες εξισώσεις που περιέχουν παραγώγους (η/και διαφορικά) και ολοκληρώματα: • Δυνατότητα περιγραφής κάθε είδους συστήματος (γραμμικό ή μη, χρονικά αναλλοίωτο ή μη κλπ.) • Οι γραμμικές εξισώσεις καταστρώνονται με τη βοήθεια κάποιων φυσικών νόμων (π.χ Νόμοι Kirchoff για ηλεκτρικά κυκλώματα, νόμος δυνάμεων D’Alambert για μηχανικά συστήματα κλπ) • Οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις έχουν τη μορφή:

7.  Εισαγωγή •  Είδη Μαθηματικών Μοντέλων •  Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις •  Συναρτήσεις Μεταφοράς •  Πόλοι-Μηδενικά • Εξισώσεις Κατάστασης • Αλλαγή Περιγραφών Παράδειγμα • Το ηλεκτρικό κύκλωμα του σχήματος περιγράφεται από την Ο.Δ.Ε: • Η κατάστρωση της εξίσωσης προέκυψε από εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchoff και τα απλά μοντέλα • για τον αντιστάτη, VR(t)=iR(t)*R • πηνίο, • πυκνωτή

8.  Εισαγωγή •  Είδη Μαθηματικών Μοντέλων •  Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις •  Συναρτήσεις Μεταφοράς •  Πόλοι-Μηδενικά • Εξισώσεις Κατάστασης • Αλλαγή Περιγραφών Παράδειγμα (II) • Να καταστρωθούν οι Ο.Δ.Ε για ηλεκτρικό κύκλωμα του σχήματος: • Η κατάστρωση των εξισώσεων προέκυψε από εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchoff στους δύο βρόχους.

9.  Εισαγωγή •  Είδη Μαθηματικών Μοντέλων •  Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις •  Συναρτήσεις Μεταφοράς •  Πόλοι-Μηδενικά • Εξισώσεις Κατάστασης • Αλλαγή Περιγραφών Συναρτήσεις Μεταφοράς • Η συνάρτηση μεταφοράς Η(s) είναι μια μαθηματική σχέση στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας. Ισχύει για Γ.Χ.Α με μηδενικές αρχικές συνθήκες. • Η συνάρτηση μεταφοράς ενός Γ.Χ.Α ορίζεται ως λόγος του μετασχηματισμού Laplace της εξόδου y(t) προς τον μετασχηματισμό Laplace της εισόδου u(t). • Η συνάρτηση μεταφοράς έχει τη γενική μορφή του λόγου δύο πολυωνύμων • Ισοδύναμη περιγραφή με τη συνάρτηση μεταφοράς παρέχει η κρουστική απόκριση h(t) μόνο που η περιγραφή μέσω της κρουστικής απόκρισης είναι στο πεδίο του χρόνου • H κρουστική απόκριση ενός Γ.Χ.Α με μηδενικές αρχικές συνθήκες είναι η έξοδος του συστήματος όταν η είσοδος είναι η κρουστική συνάρτηση δ(t). • Ισχύει

10.  Εισαγωγή •  Είδη Μαθηματικών Μοντέλων •  Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις •  Συναρτήσεις Μεταφοράς •  Πόλοι-Μηδενικά • Εξισώσεις Κατάστασης • Αλλαγή Περιγραφών Παράδειγμα • Το ηλεκτρικό κύκλωμα του σχήματος περιγράφεται από την Ο.Δ.Ε: • Η κατάστρωση της εξίσωσης προέκυψε από εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchoff και τα απλά μοντέλα • για τον αντιστάτη, VR(t)=iR(t)*R • πηνίο, • πυκνωτή

11.  Εισαγωγή •  Είδη Μαθηματικών Μοντέλων •  Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις •  Συναρτήσεις Μεταφοράς •  Πόλοι-Μηδενικά • Εξισώσεις Κατάστασης • Αλλαγή Περιγραφών Παράδειγμα (II) • Να ευρεθεί η συνάρτηση μεταφοράς για ηλεκτρικό κύκλωμα του σχήματος (έξοδος το ρεύμα στο πηνίο): • Η κατάστρωση των εξισώσεων προέκυψε από εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchoff στους δύο βρόχους χρησιμοποιώντας τα μοντέλα στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας.

12.  Εισαγωγή •  Είδη Μαθηματικών Μοντέλων •  Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις •  Συναρτήσεις Μεταφοράς •  Πόλοι-Μηδενικά • Εξισώσεις Κατάστασης • Αλλαγή Περιγραφών Πόλοι - Μηδενικά • Όπως έχει ήδη αναφερθεί η συνάρτηση μεταφοράς H(s)ενός συστήματος έχει τη γενική μορφή του λόγου δύο πολυωνύμων • Οι ρίζες του -piπολυωνύμου a(s)ονομάζονται πόλοι του συστήματος και οι ρίζες του -ziπολυωνύμουb(s)ονομάζονται μηδενικά του συστήματος. Η θέση των πόλων του συστήματος μας δίνουν πολύ σημαντικές πληροφορίες για το σύστημα (π.χ για την ευστάθεια του) • Εκφράζοντας τη συνάρτηση μεταφοράς με τη μορφή γινομένου πόλων μηδενικών μπορούμε να έχουμε εικόνα αλληλο-εξουδετέρωσης πόλων μηδενικών. • Με αυτό τον τρόπο μπορούμε να προσεγγίσουμε το σύστημα με ένα μαθηματικό μοντέλο μικρότερης τάξης

13.  Εισαγωγή •  Είδη Μαθηματικών Μοντέλων •  Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις •  Συναρτήσεις Μεταφοράς •  Πόλοι-Μηδενικά • Εξισώσεις Κατάστασης • Αλλαγή Περιγραφών Παράδειγμα • Το ηλεκτρικό κύκλωμα του σχήματος περιγράφεται από την συνάρτηση μεταφοράς (έξοδος θεωρείται η τάση στα άκρα του πυκνωτή): • Αν οι τιμές των στοιχείων είναι: R=10Ω, C=100nF, L=10mH, να βρεθεί το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος στη μορφή πόλων μηδενικών. • ΑΠ.

14.  Εισαγωγή •  Είδη Μαθηματικών Μοντέλων •  Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις •  Συναρτήσεις Μεταφοράς •  Πόλοι-Μηδενικά • Εξισώσεις Κατάστασης • Αλλαγή Περιγραφών Παράδειγμα (συν.) • Η απόκριση συχνότητας του προηγούμενου κυκλώματος φαίνεται στο διπλανό σχήμα

15.  Εισαγωγή •  Είδη Μαθηματικών Μοντέλων •  Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις •  Συναρτήσεις Μεταφοράς •  Πόλοι-Μηδενικά • Εξισώσεις Κατάστασης • Αλλαγή Περιγραφών Παράδειγμα (συν.) • Η βηματική απόκριση του προηγούμενου κυκλώματος φαίνεται στο διπλανό σχήμα

16.  Εισαγωγή •  Είδη Μαθηματικών Μοντέλων •  Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις •  Συναρτήσεις Μεταφοράς •  Πόλοι-Μηδενικά • Εξισώσεις Κατάστασης • Αλλαγή Περιγραφών Παράδειγμα (συν.) • Η κρουστική απόκριση του προηγούμενου κυκλώματος φαίνεται στο διπλανό σχήμα

17.  Εισαγωγή •  Είδη Μαθηματικών Μοντέλων •  Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις •  Συναρτήσεις Μεταφοράς •  Πόλοι-Μηδενικά  Εξισώσεις Κατάστασης • Αλλαγή Περιγραφών Εξισώσεις Κατάστασης • Οι εξισώσεις κατάστασης είναι μια περιγραφή στο πεδίο του χρόνου η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για μια μεγάλη γκάμα συστημάτων όπως γραμμικά, μη γραμμικά, χρονικά αναλλοίωτα ή μη, με ή χωρίς αρχικές συνθήκες • Κατάσταση ονομάζουμε ένα σύνολο εσωτερικών μεταβλητών του συστήματος η παρακολούθηση των οποίων στον χρόνο μας δίνει περιγράφει το σύστημα. • Ορισμός: • Οι μεταβλητές κατάστασης x1(t), x2(t), …, xn(t)ενός συστήματος ορίζονται ως ένας (ελάχιστος) αριθμός μεταβλητών τέτοιων ώστε αν γνωρίζουμε τις τιμές τους για οποιαδήποτε χρονική στιγμή t0, τη συνάρτηση εισόδου που εφαρμόζεται στο σύστημα για t≥ t0, και το μαθηματικό νόμο που συνδέει την είσοδο, τις μεταβλητές κατάστασης και το σύστημα, να καθίσταται δυνατός ο προσδιορισμός της κατάστασης του συστήματος για οποιαδήποτε χρονική στιγμή t≥ t0.

18.  Εισαγωγή •  Είδη Μαθηματικών Μοντέλων •  Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις •  Συναρτήσεις Μεταφοράς •  Πόλοι-Μηδενικά  Εξισώσεις Κατάστασης • Αλλαγή Περιγραφών Εξισώσεις Κατάστασης(ΙΙ) • Έστω το σύστημα πολλών εισόδων – πολλών εξόδων του σχήματος. Μπορούμε να εκφράσουμε τις mεισόδους, pεξόδους και nμεταβλητές κατάστασης ως διανύσματα: • Οι εξισώσεις κατάστασης ενός συστήματος είναι ένα σύστημα n διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης που συνδέει το διάνυσμα εισόδου u(t) με το διάνυσμα κατάστασης x(t) και έχει τη μορφή: όπου fείναι μια στήλη με nστοιχεία. Η συνάρτηση fείναι γενικά μια πεπλεγμένη μη γραμμική συνάρτηση των x(t) και u(t) • Το διάνυσμα εξόδουy(t) συνδέεται με τα διανύσματα εισόδου u(t) και κατάστασης x(t) με την εξίσωση εξόδου:

19.  Εισαγωγή •  Είδη Μαθηματικών Μοντέλων •  Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις •  Συναρτήσεις Μεταφοράς •  Πόλοι-Μηδενικά  Εξισώσεις Κατάστασης • Αλλαγή Περιγραφών Εξισώσεις Κατάστασης(ΙΙΙ) όπου gείναι μια στήλη με pστοιχεία. Η συνάρτηση gείναι γενικά μια πεπλεγμένη μη γραμμική συνάρτηση των x(t) και u(t) • Οι αρχικές συνθήκες των εξισώσεων κατάστασης είναι οι τιμές του διανύσματος κατάστασης x(t) για t=t0(t0 ισούται συνήθως με 0) και συμβολίζονται ως εξής: • Οι εξισώσεις κατάστασης, η εξίσωση εισόδου και οι αρχικές συνθήκες συνθέτουν την περιγραφή ενός δυναμικού συστήματος στο χώρο κατάστασης:

20.  Εισαγωγή •  Είδη Μαθηματικών Μοντέλων •  Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις •  Συναρτήσεις Μεταφοράς •  Πόλοι-Μηδενικά  Εξισώσεις Κατάστασης • Αλλαγή Περιγραφών Περιγραφή γραμμικών συστημάτων με εξισώσεις κατάστασης • Αν ένα γραμμικό μη χρονικά μεταβαλλόμενο σύστημα μπορεί να περιγραφεί από ένα σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων, τότε οι εξισώσεις κατάστασης παίρνουν την ειδική μορφή: • Ο πίνακας Α έχει διαστάσεις nxn και ονομάζεται πίνακας του συστήματος, ο πίνακας Β έχει διαστάσεις nxm και ονομάζεται πίνακας εισόδου, ο πίνακας C έχει διαστάσεις pxn και ονομάζεται πίνακας εξόδου, ο πίνακας D έχει διαστάσεις pxm και ονομάζεται απευθείας πίνακας.

21.  Εισαγωγή •  Είδη Μαθηματικών Μοντέλων •  Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις •  Συναρτήσεις Μεταφοράς •  Πόλοι-Μηδενικά  Εξισώσεις Κατάστασης • Αλλαγή Περιγραφών Περιγραφή γραμμικών συστημάτων χρονικά μεταβαλλόμενων • Αν ένα γραμμικό χρονικά μεταβαλλόμενο σύστημα μπορεί να περιγραφεί από ένα σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων, τότε οι εξισώσεις κατάστασης παίρνουν τη μορφή:

22.  Εισαγωγή •  Είδη Μαθηματικών Μοντέλων •  Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις •  Συναρτήσεις Μεταφοράς •  Πόλοι-Μηδενικά  Εξισώσεις Κατάστασης • Αλλαγή Περιγραφών Παράδειγμα • Το ηλεκτρικό κύκλωμα του σχήματος περιγράφεται από την Ο.Δ.Ε (έξοδος η τάση στα άκρα της αντίστασης): • Θεωρώντας ως μεταβλητές κατάστασης • το ρεύμα στο πηνίο, x1(t)=iL(t) • τo φορτίο του πυκνωτή • τότε ισχύει