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Mathématiques CST. - GRAPHES - Composantes et types. Mathématiques CST - GRAPHES : Composantes et types -.  Définitions. Les graphes sont des représentations mathématiques qui servent à illustrer des situations qui ont une certaine organisation.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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math matiques cst

Mathématiques CST

- GRAPHES - Composantes et types

slide2

Mathématiques CST- GRAPHES : Composantes et types -

Définitions

Les graphes sont des représentations mathématiques qui servent à illustrer des situations qui ont une certaine organisation.

Ex. : Organisation du système de santé.

Elles permettent souvent de faire des choix d’organisation optimaux.

Ex. : Le facteur qui distribue le courrier de manière à minimiser ses

déplacements.

slide3

Les graphes sont constitués d’ensemble de points, appelés « sommets » et de liens, appelés « arêtes » reliant ses sommets.

Sommets

Boucle

B

A

C

D

E

Arêtes

Note : La forme de l’arête n’a pas d’importance (ligne droite ou courbe)

Boucle : Arête qui débute et se termine au même sommet.

slide4

Les graphes illustrent les relations qui existent entre les sommets.

Ex. : Voici la représentation d’un mini-réseau Facebook de 5 personnes.

B

C

A

D

E

On constate donc, entre autres, que A est « ami » avec B.

Cependant, A n’est pas « ami » avec C.

slide5

Voici un graphe quelconque :

B

A

C

E

Degré d’un sommet : Nombre d’arêtes qui touchent au sommet.

D

Degrés

Sommets

A

1

B

2

C

4

D

3

E

2

slide6

Voici un graphe quelconque :

B

A

C

E

D

Chaîne : Suite d’arêtes consécutives.

Ex. : ADBE

slide7

Voici un graphe quelconque :

B

A

C

E

D

Chaîne: Suite d’arêtes consécutives.

Ex. : ADBE

Cycle : Chaîne qui commence et se termine au même sommet.

Ex. : BECDB

slide8

Voici un graphe quelconque :

B

A

C

E

D

Chaîne simple : Chaîne qui ne passe pas deux fois par la même arête.

Ex. : ADBE est une chaîne simple.

slide9

Voici un graphe quelconque :

B

A

C

E

D

Chaîne simple : Chaîne qui ne passe pas deux fois par la même arête.

Ex. : ADBE est une chaîne simple.

Ex. : ADBECDB n’est pas une chaîne simple.

Cycle simple : Cycle qui ne passe pas deux fois par la même arête.

slide10

Voici un graphe quelconque :

B

A

C

E

D

Longueur d’une chaîne : Nombre d’arêtes dans la chaîne ou le cycle.

Ex. : La chaîne ADBE a une longueur de 3.

slide11

Voici un graphe quelconque :

B

A

C

E

D

Longueur d’une chaîne : Nombre d’arêtes dans la chaîne ou le cycle.

Ex. : La chaîne ADBE a une longueur de 3.

Distance entre 2 sommets : Longueur de la chaîne la plus courte entre

ces 2 sommets.

Ex. : La distance entre E et C est de 1.

slide12

Mathématiques CST- GRAPHES : Composantes et types -

B

B

Types de graphes

C

C

A

A

A) Graphe CONNEXE

Graphe où il existe une chaîne pour aller à n’importe quel des sommets du graphe.

D

D

E

E

CONNEXE

NON-CONNEXE

slide13

B) Graphe ORIENTÉ

Graphe où chacune des arêtes est orientée (flèche).

B

B

C

C

A

A

ORIENTÉ

NON-ORIENTÉ

Arcs = Arêtes

Terminologie des graphes orientés :

D

D

E

E

Chemins = Chaînes

Circuits = Cycles

slide14

C) Graphe VALUÉ

Graphe où chacune des arêtes a une valeur numérique.

12

4

B

B

2

6

C

C

A

A

10

VALUÉ

NON-VALUÉ

Poids de l’arête : Valeur attribuée à l’arête

Poids d’une chaîne : Somme des valeurs attribuées à chaque

arête de la chaîne.

D

D

E

E

Poids du graphe : Somme des valeurs attribuées à chaque

arête du graphe.

Ex. : Le poids du graphe ABCDE est de 34.

slide15

D) ARBRE

Graphe, connexe et non-orienté, qui ne comporte aucun cycle simple.

B

B

A

C

C

A

D

E

D

E

ARBRE

ARBRE

B

C

A

Cycle simple !

D

E

PAS UN ARBRE

slide16

Mathématiques CST- GRAPHES : Composantes et types -

Chaîne et cycle EULÉRIENS

A) Chaîne EULÉRIENNE

Chaîne qui passe une seule fois par toutes les arêtes du graphe.

Conditionspour avoir une chaîne eulériennedans un graphe :

Avoir exactement 2 sommets* de degré impair.

* Ces 2 sommets sont le début et la fin de la chaîne eulérienne.

slide17

Exemple #1 :

Impair

Impair

B

C

A

La chaîne BADEC est une chaîne eulérienne.

D

E

La chaîne CEDAB est aussi une chaîne eulérienne.

slide18

Exemple #2 :

Impair

Impair

B

C

A

Impair

Impair

Il n’y a pas de chaîne eulérienne, car il n’y a pas seulement 2 sommets de degré impair.

D

E

slide19

B) Cycle EULÉRIEN

Cycle qui passe une seule fois par toutes les arêtes du graphe.

Conditionspour avoir un cycle eulériendans un graphe :

Avoir tous les sommets de degré pair.

slide20

Exemple #1 :

Pair

Pair

Pair

B

C

A

Pair

Pair

D

E

Le cycle BCEDAB est un cycle eulérien.

slide21

Exemple #2 :

Pair

Impair

Pair

B

C

A

Pair

Impair

Il n’y a pas de cycle eulérien, car tous les sommets ne sont pas de degré pair.

D

E

slide22

Mathématiques CST- GRAPHES : Composantes et types -

Chaîne et cycle HAMILTONIENS

A) Chaîne HAMILTONIENNE

Chaîne qui passe une seule fois par tous les sommets du graphe.

Pour savoir si un graphe contient ou non une chaîne hamiltonienne, il faut procéder par essai-erreur.

slide23

Exemple #1 :

F

A

E

B

G

D

C

La chaîne ABCDEFG est une chaîne hamiltonienne.

slide24

Exemple #2 :

B

A

C

D

E

Ce graphe ne contient pas de chaîne hamiltonienne.

slide25

B) Cycle HAMILTONIEN

Cycle qui passe une seule fois par tous les sommets du graphe.

F

A

Pour savoir si un graphe contient ou non un cycle hamiltonien, il faut procéder par essai-erreur.

Exemple #1 :

E

B

D

C

Le cycle EFADCBE est un cycle hamiltonien.

slide26

F

A

E

B

D

C

B) Cycle HAMILTONIEN

Cycle qui passe une seule fois par tous les sommets du graphe.

Pour savoir si un graphe contient ou non un cycle hamiltonien, il faut procéder par essai-erreur.

Exemple #2 :

Ce graphe ne contient aucun cycle hamiltonien.

slide27

Mathématiques CST- GRAPHES : Composantes et types -

Nombre CHROMATIQUE

C’est le plus petit nombre de couleurs qu’il est possible d’utiliser pour colorier les sommets d’un graphe sans que deux sommets adjacents soient de même couleur.

On utilise le nombre chromatique avec des graphes dont les arêtes illustrent une situation d’incompatibilité ou de conflit.

MÉTHODE:

1.Placer les sommets en ordre décroissant de degré.

2.Attribuer une 1re couleur au sommet de plus grand degré.

3.Attribuer cette même 1re couleur au sommet suivant s’il ne lui est pas relié, sinon utiliser une 2e couleur.

4. Répéter l’étape 3 jusqu’à ce que tous les sommets soient coloriés.

slide28

Trouver le nombre chromatique du graphe suivant :

Exemple #1 :

A

Sommets

(en ordre décroissant de degré) :

A (3)

A (3)

E (3)

E (3)

B

B (2)

B (2)

F

F (2)

F (2)

C (1)

C (1)

C

E

D (1)

D (1)

Réponse :

Le nombre chromatique du graphe est 3.

D

slide29

Exemple #2 :

Sébastien veut envoyer un message à tous ses amis par Facebook. Cependant, certains de ses amis sont en conflits entre eux et se bloquent l’accès, donc ils ne peuvent voir le message envoyé à l’autre personne. Le graphe ci-dessous illustre les conflits entre les amis de Sébastien.

Combien de messages différents doit-il écrire pour rejoindre tous ses amis ?

F

A

Sommets

(en ordre décroissant de degré) :

D (4)

D (4)

F (3)

F (3)

E

B

A (2)

A (2)

C (2)

C (2)

E (2)

E (2)

B (1)

B (1)

D

C

slide30

Sébastien veux envoyer un message à tous ses amis par Facebook. Cependant, certains de ses amis sont en conflits entre eux et se bloquent l’accès, donc il ne peuvent voir le message envoyé à l’autre personne. Le graphe ci-dessous illustre les conflits entre les amis de Sébastien.

Combien de messages différents doit-il écrire pour rejoindre tous ses amis ?

Exemple #2 :

F

A

Le nombre chromatique du graphe est 3.

E

B

Réponse :

3 messages.

D

C