Движение

1. Движение

2. Отображение плоскости на себя • Каждой точке плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости , причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. Тогда говорят ,что дано отображение плоскости на себя . • Осевая симметрия представляет собой отображение плоскости на себя. • Центральная симметрия также представляет собой отображение плоскости на себя.

3. Понятие движения • Осевая симметрия обладает важным свойством - это отображение плоскости на себя , которое сохраняет расстояние между точками . • Движение плоскости – это отображение плоскости на себя , сохраняющее расстояния. • Центральная симметрия плоскости также является отображение плоскости на себя

4. ТЕОРЕМА №1 • При движении отрезок отображается на отрезок.

5. ТЕОРЕМА №1 • Дано:отрезок MN. • Доказать:1.MN отображается при заданном движение M1N1;2.P отображается в P1;

6. Доказательство • I.1)MP+PN=MN(из условия) • 2)т.к. при движение расстояние сохраняется =>M1N1=MN, M1P1=MP и N1P1=NP (1) • =>M1P1 +P1N1=M1N1=>P1 ПРИНАДЛЕЖИТ M1N1=>точки MN отображается в отрезке M1N1 • II.Пусть P1произвольная точка M1N1, а точка P при заданном движении отображается в P1 • Из соотношения равенства (1) и M1N1= M1P1 +P1N1=>MP+PN=MN=>PпринадлежитMN.

7. Следствие • Из теоремы №1 следует, что при движении каждая сторона треугольника отображается на равный ей отрезок => треугольник отображается на треугольник с равными сторонами, т.е.на равный треугольник при движении. Из теоремы №1следует, что при движении: • 1)прямая отображается на прямую; • 2)луч- на луч; • 3)угол- на равный ему угол.

8. Наложения и движения • Фигура Ф равна фигуре Ф1 , если фигуру Ф можно совместить с фигурой Ф1 .Под наложением фигуры Ф на фигуру Ф1 мы понимаем некоторое отображение фигуры Ф на фигуру Ф1.При этом не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоскости отображается в определенную точку плоскости , т. е. наложение – это отображение плоскости на себя.

9. Наложения – это такие отображения плоскости на себя, которые обладают , свойствами выраженными в аксиомах. Они позволяют доказать все те свойства наложений , которые мы себе представляем наглядно и которыми пользуемся при решении задач

10. Теорема №2 • При наложение различных точки отображаются в различные точки.

11. Доказательство • Предположим, что это не так, т.е. при некотором положении какие-то точки A и B отображаются, в Ф2=Ф1,т.е.при некотором наложении Ф2 отображается в Ф1.Но это невозможно, т.к. наложение-это отображение, а при любом отображении, С становится в соответствие только одна точка плоскости =>при наложении отрезок отображается на равный ему отрезок. Пусть при наложении концы A и В отрезка АВ отображаются в А1 и В1. Тогда ,АВ отображается на А1 В1 => АВ=А1В1. Т.к равные отрезки имеют равные длины, то наложение является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние, т.е. любое наложение является движением плоскости.

12. Теорема №3 • Любое движение является наложением.

13. Теорема №3 • Дано:g-произвольное движение треугольника ABC отображается в треугольник A1 B1 C1 • f- наложение, при котором точки A,B,C отображаются в A1 B1 C1 . • Доказать:g совпадает c f.

14. Доказательство • Предположим, что g не совпадает с f=> на плоскости найдется хотя бы 1-ая точка M, которая при движении g отображается в M1, а при наложении f- в M2. Т.к. при отображениях f и g сохраняется расстояние, то AM=A1M1, AM=A1M2 ,т.е. точка A1равноудалена от M1 и M2=>A1,B1и C1 лежат на серединном перпендикуляре к M1 M2.Но это невозможно, т.к. вершины треугольника A1B1C1 не лежат на одной прямой.Таким образом g совпадает f,т.е. движение g является наложением.

15. Следствие • При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру.

16. Параллельный перенос • Пусть а – данный вектор. Параллельным переносом на вектор а называется отображение плоскости на себя , при котором каждая точка М отображается в такую точку М1,что вектор ММ1 равен вектору а

17. Теорема №4 • Параллельный перенос является движение, т.е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния.

18. Теорема №4 • Дано: При параллельном переносе на а ,M и N отображаются в M1 и N1. • Доказать:MN=M1N1.

19. Доказательство • Т.к. MM1= а, NN1=a=> MM1=NN1 =>MM1||NN1 и MM1=NN1 => MM1NN1-параллелограмм=>MN=M1N1,т.е. расстояние между M и N= расстоянию между M1и N1. • Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояние между точками и поэтому представляет собой движение.

20. Поворот • Поворотом плоскости вокруг точки О на угол а называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М1,что ОМ=ОМ1 и угол МОМ1 равен а. При этом точка О остается на месте , т.е. отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении –по часовой стрелке или против часовой стрелки.

21. Теорема №5 • Поворот является движением, т.е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние.

22. Теорема №5 • Дано: О- центр поворота d- угол поворота против часовой стрелки • Доказать: MN=M1N1

23. Доказательство • Допустим, что при этом повороте M и N отображаются в M1и N1. • Треугольник OMN=OM1N1 (OM=OM1,ON=ON1, угол MON=углу M1ON1).Из этого равенства следует, что MN=M1N1,т.е. расстояние между M и N= расстоянию между M1и N1. • Поворот сохраняет расстояние между точками и поэтому представляет собой движение.

24. Задачи Дано: Угол АОВ и угол А1О1В1. Доказать, что при движении угол отображается на равный ему угол.

25. РЕШЕНИЕ • Пусть при данном движении угол АОВ отображается на угол А1О1В1, причем точки А.О.в отображаются соответственно в точки А1,О1,В1. так как при движении сохраняются расстояния, то ОА=О1А1, ОВ= О1В1. Если угол АОВ неразвернутый, то треугольники АОВ и А1О1В1 равны по трем сторонам, и, следовательно, угол АОВ= углу А1О1в1. Если угол АОВ развернутый, то и угол А1О1В1 развернутый, поэтому они равны.

26. Задача № 2 Дано : АВ=А1В1 , АС=А1С1,ВС=В1С1. Док-ть: что существует движение , при котором точки А, В и С отображаются в точке А1, В1 и С1, притом только одно.

27. РЕШЕНИЕ • Треугольники АВС и А1В1С1 равны по трем сторонам. Следовательно, существует наложение, т.е движение, при котором точки А,В и С отображаются соответственно в точки А1, В1 и С1.Это движение является единственным движением, при котором точки А,В и С отображаются в точки А1В1и С1.

28. Задача №3. Начертите треугольник АВС, вектор ММ1, который не параллелен ни одной из сторон треугольника, и вектор а, параллельный стороне АС. Постройте треугольник А1В1С1, который получается из треугольника АВС параллельным переносом : а) на вектор ММ1; б) на вектор а.

29. Дано:

30. Решение

31. б) Решение