不等式的应用

不等式的应用

[学习内容] 一、求最值： 1、若a,b∈R+且ab=p（p为常数）则（当且仅当a=b时取等号） 2、若a+b=S(a,b∈R+,则（当且仅当a=b时取等号）

二、关于恒成立，求参数范围问题 1、若f(x)≥a对x∈D恒成立，只须f(x)min(x∈D)≥a即可 2、若f(x)≤a对x∈D对恒成立，只须f(x)min(x∈D)≤a即可三、应用问题

[学习要求] 1、掌握应用不等式知识求最值问题 2、初步学会不等式知识的综合应用 [学习指导] 1、本讲重点：求最值问题，求参数范围问题 2、本讲难点：不等式的综合应用 3、剖析：本讲的难度较高，必须有扎实的基础知识，才能灵活运用，提高综合能力

[典型例题解析] 例1：求下列函数的最值 ⑴ 的最小值 ⑵ 的最小值 ⑶ 的最大值 ⑷ 的最小值 ⑸ 的最小值

⑹ 的最小值 ⑺ 的最小值 ⑻ 的最大值 ⑼ 的最小值 ⑽ 的最大值 ⑾ 的最小值

解：⑴ （当且仅当，即x=1时取等号）当c≥1时，x=1时，ymin=2 当0<x<1时，在(0,c]上递减 ∴当x=c时， ⑵ 当且仅当，即时取等号

①若当时， ②若在[m,n]上递减 ∴x=n时， ③若时，在上递增 ∴x=m时， ⑶ 当且仅当，即时，

⑷ 当且仅当，即时， ⑸ 当且仅当，即时， ⑹ 当且仅当，即x=0时，ymin=1

⑺ 令在t∈[2,+∞)递增 ∴当t=2时， ⑻ 当且仅当x2=4r2-x2，即时，ymax=2r2 ⑼ 当且仅当，即x=2时，

⑽ 当且仅当，即时， ⑾ 当且仅当，即时，

例2：已知x>0,y>0,lgx+lgy=1，求 的最小值解：由已知xy=10且x>0,y>0 当且仅当即时取等号 ∴当x=2,y=5时，有最小值2

例3：已知a,b是正数且a+b=1， 求的最小值解：（法一）当且仅当，即时，ymin=9

（法二） 当且仅当时取等号当时，ymin=9

例5：若正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围 解：（方法一）（当且仅当a=b时取等号）令，则，又

（方法二） ，又当且仅当，即a=3时，取等号∴ab≥9

例9：已知关于x的方程x2-2(a+2)x+a2-1=0的两根都大于2，求实数a的取值范围？例9：已知关于x的方程x2-2(a+2)x+a2-1=0的两根都大于2，求实数a的取值范围？若一根大于2，一根小于2呢？解：（方法一）设f(x)=x2-2(a+2)x+a2-1=0 对称轴x=a+2 若两根都大于2，则 ∴a>5

(方法二)设两根分别为x1,x2，则x1>2,x2>2 ∴x1-2>0,x2-2>0 即 ∴a>5

（方法三） 只须若一根大于2，一根小于2 （方法一）f(2)<0 （方法二）（方法三）

例10：方程9x+(3+a)·3x+4=0有解，求a的取值范围 解：（方法一）令3x=t>0，则t2+(3+a)·t+4=0在(0,+∞)有解，设f(t)=t2+(3+a)t+4 对称轴 ⑴在(0,+∞)上有两根，则 ⑵在(0,+∞)上有一根，则f(0)<0,4<0不可能综上：a≤-7

（方法二） 当且仅当时，即t=2时取等号，故a≤-7

例11：关于的方程 有负数解，求k的取值范围解：原方程或

例12：若关于x的方程lg(x-1)-lg(x-5)=1有实数解，试确定a的取值范围例12：若关于x的方程lg(x-1)-lg(x-5)=1有实数解，试确定a的取值范围解：原方程由⑵得：(a-10)x=49，当a≠10

例13：一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，求这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？例13：一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，求这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形的宽为xm，则长为(l-2x)m，则当且仅当l-2x=2x，即时，答：这个矩形的长为 ,宽为时，面积最大为

例14：某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x台 (x∈N*)且每批需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问能否恰当按排每批进货的数量，使资金够用？

解：设每批购入电视机x台，全年费用为y元，保管费与每批电视机总价值的比例系数为k，则 ，当x=400时， y=43600代入上式得 ∴(x-120)2≤0 ∴x=120 答：每批进货120台，资金够用。

谢谢

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