§1 . 5 行列式的性质

1. §1.5 行列式的性质 性质1 性质2 、性质3、性质4 性质5、性质6 补充例题 首页 上页 返回 下页 结束 铃

2. a11 a21 … an1 a12 a22 … an2 … … … … a1n a2n … ann D=  则 DT= b11 b21 … bn1 b12 b22 … bn2 … … … … b1n b2n … bnn DT=  • 行列式的转置 • 将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行列式 记为DT 即 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann  显然 如果 则bij=aji(i, j=1, 2, , n)  下页

3. a11 a21 … an1 a12 a22 … an2 … … … … a1n a2n … ann D=  则 DT= • 行列式的转置 • 将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行列式 记为DT 即 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann  • 性质1 • 行列式D与它的转置行列式DT相等 >>> 由此性质可知 行列式中的行与列具有同等的地位 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 反之亦然 下页

4. 性质2 • 互换行列式的两行 行列式变号 >>> • 推论 • 如果行列式有两行(列)完全相同 则此行列式等于零 这是因为 把这两行互换 有DD 故D0 下页

5. 性质2 • 互换行列式的两行 行列式变号 • 推论 • 如果行列式有两行(列)完全相同 则此行列式等于零 • 性质3 • 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k等于用数k乘此行列式 >>> • 推论 • 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 • 性质4 • 行列式中如果有两行(列)元素成比例 则行列式等于零 下页

6. 性质5若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和 则行列式等于两个行列式之和 即 • 性质6把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去 行列式不变 即 下页

7. 符号规定 在计算行列式时, 可以使用如下记号以便检查: 交换ij两行记作rirj交换ij两列记作cicj 第i行(或列)提出公因子k记作rik(或cik) 以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上 记作rikrj (cikcj) 下页

8. 例1计算  1 1 3 3 1 1 2 2 5 5 4 4 1 1 3 3 1 1 2 2 0 0 1 1 1 3 1 2 5 5 3 3 1 1 3 3 c1c2 1 5 3 4 0 2 1 1 5 1 3 3 1 3 1 2 1 3 1 2 r2r3 0 8 4 6 0 2 1 1 0 2 1 1 0 16 2 7 1 1 3 3 1 1 2 2 0 0 2 2 1 1 1 1 0 0 8 10 0 8 10 0 0 0 10 15 0 0 5/2 0 解 r2r1 0 8 4 6 r45r1 0 16 2 7 r34r2 40 r48r2 下页

9. 6 3 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 例2计算  1 6 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 c16 0 2 0 0 6 6 0 0 2 0 0 0 0 2 c1c2c3c4 解 r2r1 r3r1 r4r1 6848 下页

10. 例3计算  a b c d ab abc 0 a D 2ab 3a2bc 0 a 3ab 6a3bc 0 a a a b b c c d d 0 0 a a ab ab abc abc 0 0 0 0 a a 2ab 2ab 0 0 0 0 a a 3ab a r4r3 r3r2 解 r2r1 r4r3 r3r2 r4r3 a4 下页

11. 例4 证明DD1D2其中 对D2作运算cikcj把D2化为下三角形行列式 设为 于是 对D的前k行作运算rikrj再对后n列作运算cikcj把D化为下三角形行列式 对D1作运算rikrj把D1化为下三角形行列式 设为 证 故Dp11 pkk q11 qnnD1D2 下页

12. 例5 计算2n阶行列式 其中未写出的元素为0 根据例4的结果 有 D2nD2D2(n1) (adbc)D2(n1) 以此作递推公式 即得 D2n(adbc)2D2(n2)  (adbc)n1D2 (adbc)n 把D2n中的第2n行依次与2n1行、、第2行对调(作2n2次相邻对换)再把第2n列依次与2n1列、、第2列对调 得 解 结束