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第6章 树和二叉树

第6章 树和二叉树. 6.1 树的概念与定义  6.2 二叉树 6.3 二叉树的遍历与线索化 6.4 树、森林和二叉树的关系 6.5 哈夫曼树及其应用. 图6.1 树的图示方法. 6.1 树的概念与定义. 树是 n（n≥0） 个结点的有限集合 T。 当 n=0 时，称为空树；当 n>0 时， 该集合满足如下条件：  (1) 其中必有一个称为根（ root） 的特定结点，它没有直接前驱，但有零个或多个直接后继。 

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第6章 树和二叉树

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  1. 第6章 树和二叉树 6.1 树的概念与定义 6.2 二叉树 6.3 二叉树的遍历与线索化 6.4 树、森林和二叉树的关系 6.5 哈夫曼树及其应用

  2. 图6.1 树的图示方法

  3. 6.1 树的概念与定义 树是n（n≥0）个结点的有限集合T。当n=0时，称为空树；当n>0时， 该集合满足如下条件：  (1) 其中必有一个称为根（root）的特定结点，它没有直接前驱，但有零个或多个直接后继。  (2) 其余n-1个结点可以划分成m（m≥0）个互不相交的有限集T1，T2，T3，…，Tm，其中Ti又是一棵树，称为根root的子树。 每棵子树的根结点有且仅有一个直接前驱，但有零个或多个直接后继。

  4. 树的相关概念 结点、 结点的度、 叶子、 分支结点、 孩子、兄弟、 祖先、子孙、结点的层次、堂兄弟、树的度、树的高度（深度）、有序树、森林等

  5. A B C D E F G H I J 例1、对于下图所示的树，回答以下问题。 根： 叶子： 内部结点： A—J的度分别是： 树的度是： A的孩子： B的孩子： B的双亲： I的双亲： A C、E、G、H、I、J B、D、F 3、2、0、2、0、2、0、0、0、0 3 B、C、D E、F 树T A F

  6. A B C D E F G H I J 例1、对于下图所示的树，回答以下问题。 互为兄弟的结点： F和G互为： A的子孙： B的子孙： I的祖先： H的祖先： B、C、D互为兄弟 E、F互为兄弟 G、H互为兄弟 I、J互为兄弟 堂兄弟 B--J E、F、I、J A、B、F 树T A、D

  7. A B C D E F G H I J 例1、对于下图所示的树，回答以下问题。 层为1的结点： 层为2的结点： 层为3的结点： 层为4的结点： 树的深度： A B、C、D E、F、G、H I、J 4 树T

  8. ADT Tree{ 数据对象D：一个集合，该集合中的所有元素具有相同的特性。 数据关系R： 若D为空集，则为空树。 若D中仅含有一个数据元素，则R为空集，否则R={H}，H是如下的二元关系： (1) 在D中存在唯一的称为根的数据元素root， 它在关系H下没有前驱。 (2) 除root以外， D中每个结点在关系H下都有且仅有一个前驱。

  9. 基本操作：  (1) InitTree（&T）： 将T初始化为一棵空树。  (2) DestoryTree（&T）： 销毁树T。  (3) CreateTree（&T）： 创建树T。  (4) TreeEmpty（T）： 若T为空， 则返回TRUE， 否则返回FALSE。  (5) Root（T）： 返回树Tree的根。  (6) Parent（T， cur_e）： 树T存在， cur_e是T中的某个结点。 若cur_e 为非根结点，则返回它的双亲， 否则返回“空”。 (7) LeftChild（T， cur_e ）： 树T存在， cur_e是T中的某个结点。若cur_e为非叶子结点，则返回它的第一个孩子结点， 否则返回“空”。

  10. RightSibling（T，cur_e）： 树T存在，cur_e是T中的某个结点。若cur_e 有右兄弟，则返回它的右兄弟， 否则返回“空”. • InsertChild（&T， &p，i, c）：树T存在，p指向T中某个结点，1≤i≤d+1，d为p所指向结点的度,非空树c与T不相交。插入c为T中p所指向结点的第i棵子树。  (10) DeleteChild（&T，&p，i）： 树T存在， p指向T中某个结点， 1≤i≤d，d为p所指向结点的度。 删除T中p所指向结点的第i棵子树。 (11) TraverseTree（T，Visit（））： 树T存在，Visit（）是对结点操作的应用函数。按照某种次序对树T的每个结点调用Visit（）函数访问一次且最多一次。若Visit（）失败， 则操作失败。}

  11. 6.2 二 叉 树 • 6.2.1 二叉树的定义与基本操作 定义：我们把满足以下两个条件的树形结构叫做二叉树（Binary Tree）：  （1） 每个结点的度都不大于2；  （2） 每个结点的孩子结点次序不能任意颠倒。 

  12. 二叉树的抽象数据类型 • ADT BinaryTree{数据对象D：D是具有相同特性的数据元素的集合数据关系R：若D=Φ，则R=φ，称二叉树为空二叉树，否则有 有root,左子树DL,右子树Dr基本操作：

  13. 二叉树的五种基本形态 图6.2给出了二叉树的五种基本形态。

  14. 6.2.2 二叉树的性质 • 性质1: 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i≥1)。 证明： 用数学归纳法。  归纳基础：当i=1时，整个二叉树只有一根结点，此时2i-1=20=1，结论成立。 归纳假设：假设i=k时结论成立，即第k层上结点总数最多为2k-1个。 现证明当i=k+1时， 结论成立：  因为二叉树中每个结点的度最大为2，则第k+1层的结点总数最多为第k层上结点最大数的2倍，即2×2k-1=2(k+1)-1，故结论成立。

  15. 性质2: 深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k≥1）。 证明：因为深度为k的二叉树，其结点总数的最大值是将二叉树每层上结点的最大值相加，所以深度为k的二叉树的结点总数至多为 故结论成立。

  16. 性质3: 对任意一棵二叉树T，若终端结点数为n0，而其度数为2的结点数为n2，则n0=n2+1。 证明：设二叉树中结点总数为n， n1为二叉树中度为1的结点总数。因为二叉树中所有结点的度小于等于2，所以有 n=n0+n1+n2 （1） 设二叉树中分支数目为B， 因为除根结点外， 每个结点均对应一个进入它的分支，所以有n=B+1

  17. 又因为二叉树中的分支都是由度为1和度为2的结点发出， 所以分支数目为 B=n1+2n2 整理上述两式可得到 n=B+1=n1+2n2+1 （2） 将式（1）代入上式，得出n0+n1+n2=n1+2n2+1，整理后得n0=n2+1，故结论成立。

  18. 满二叉树： 深度为k且有2k-1个结点的二叉树称为满二叉树。 深度为k，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。 图6.3 满二叉树与完全二叉树

  19. 性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为 证明：假设n个结点的完全二叉树的深度为k，根据性质2可知，k-1层满二叉树的结点总数为 n1=2k-1-1 k层满二叉树的结点总数为 n2=2k-1 显然有n1<n≤n2，进一步可以推出n1+1≤n<n2+1。 将n1=2k-1-1和n2=2k-1代入上式，可得2k-1≤n<2k， 即k-1≤log2n<k。  因为k是整数，所以k-1= ，k= , 故结论成立。 

  20. 性质5: 如果对一颗有n个结点的完全二叉树（其深度为 ）的结点按层序（从第1层到第 层，每层从左到右），则对任一结点i(1≤ i≤ n)有：  （1）如果i=1，则结点I是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲PARENT(i)是结点 。  （2） 如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子LCHILD(i)是结点2i。  （3） 如果2i＋1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子RCHILD(i)是结点2i+1。 

  21. 可以用归纳法证明其中的（2）和（3）：  当i=1时，由完全二叉树的定义知，满足性质5:中的（2）和（3）。 1 2 3 … 4

  22. 当i>1时：情况① 第j层第1个结点，i=2j-1 i … 第j+1层第1个结点，编号为 2j=2(2j-1)=2i 第j层 … 第j+1层 2i 2i+1

  23. 当i>1时：情况② i … i+1 … … 2i 2i+1 2i+2 2i+3 …

  24. … i i+1 … 2i 2i+1 … 2i+2 2i+3 故（2）和（3）得证。

  25. 由（2）和（3）我们可以很容易证明（1）。证毕。

  26. 6.2.3 二叉树的存储结构 二叉树的结构是非线性的， 每一结点最多可有两个后继。  二叉树的存储结构有两种： 顺序存储结构和链式存储结构。 1. 顺序存储结构 存储方式： 用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左至右存储完全二叉树上的结点元素，即将完全二叉树上编号为i的结点元素存储在一维数组中下标为i-1的分量中。 表示方式：

  27. H A B C D G E F J I K L • #define MAX_TREE_SIZE 100 // 二叉树的最大结点数typedef TElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; // 0号单元存储根结点SqBiTree bt; 完全二叉树 图6.4 二叉树与顺序存储结构

  28. 对于一般二叉树，则应将其每个结点与完全二叉树上的结点相对照，存储在一维数组的相应分量中。对于一般二叉树，则应将其每个结点与完全二叉树上的结点相对照，存储在一维数组的相应分量中。 图6.5 单支二叉树与其顺序存储结构

  29. 显然，这种顺序存储结构仅适用于完全二叉树。因为，在最坏的情况下，一个深度为 k 且只有 k 个结点的单支树（树中不存在度为 2 的结点）却需要长度为2k-1的一维数组。

  30. 2. 链式存储结构 1）二叉链表的定义 对于任意的二叉树来说，每个结点只有两个孩子，一个双亲结点。我们可以设计每个结点至少包括三个域：数据域、 左孩子指针域和右孩子指针域： 其中，lchild域指向该结点的左孩子，data域记录该结点的信息，rchild域指向该结点的右孩子。

  31. 用C语言可以这样声明二叉树的二叉链表结点的结构： • typedef struct BiTNode • { • TElemType data;  //结点数据 • struct BiTNode *lchild; //左孩子指针 • struct BiTNode *rchild; //右孩子指针 • }BiTNode, *BiTree;

  32. 图6.6 二叉树和二叉链表

  33. 二叉链表中有几个空链域？ 若一个二叉树含有n个结点，则它的二叉链表中必含有2n个指针域， 其中必有n＋1个空的链域。此结论证明如下： 证明：分支数目B=n-1，即非空的链域有n-1个，故空链域有2n-(n-1)=n+1个。 

  34. 表示方式：typedef struct TriTNode {TElemType data;struct TriTNode *lchild, *rchild; // 左右孩子指针struct TriTNode *parent; // 双亲指针} TriTNode, *TriTree; 2）三叉链表 有时，为了便于找到父结点，可以增加一个parent域， parent域指向该结点的双亲结点。 该结点结构如下：

  35. 采用哪种存储结构 • 考虑： 1）二叉树的形态 2）进行何种操作

  36. 练习题: 1、按照二叉树的定义，具有3个结点的二叉树有种。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 答案： C 2、深度为5的二叉树至多有个结点。 A. 16 B.32 C.31 D.10 答案： C 3、对一个满二叉树，m个树叶，n个结点，深度为h，则。 A.n=h+m B.h+m=2n C.m=h-1 D.n=2h-1 答案： D

  37. 4、高度为h的完全二叉树至少有多少个结点？至多有多少个结点？4、高度为h的完全二叉树至少有多少个结点？至多有多少个结点？ 解： 至少有：2h-1，至多有：2h-1

  38. A B C E D G F H I J K L M N 5、假设在树中，结点x是结点y的双亲时，用(x,y)来表示树边。已知一棵树边的集合为：{(I,M),(I,N),(B,E),(E,I),(B,D),(A,B),(G,J),(G,K),(C,G),(C,F),(H,L),(C,H),(A,C)}，用树形表示法画出此树。 解：该树为：

  39. 6、一棵度为2的树与一棵二叉树有何区别？ 解： 区别（1）度为2的树至少有一个结点有二个分支，二叉树的每个结点的分支数都可以小于2； （2）度为2的树两个分支没有左右之分；二叉树的两个分支，有左右之分，且左右不能交换。

  40. 具有3个结点的树 3个结点的二叉树 7、试分别画出具有3个结点的树和3个结点的二叉树的所有不同形态。 解：

  41. A A B C B C D E F G D E F A A B C B C D E D 8、深度为3的完全二叉树有哪几种形式？

  42. 6.3 二叉树的遍历与线索化 6.3.1遍历二叉树 二叉树的遍历是指按照某种顺序访问二叉树中的每个结点，使每个结点被访问一次且仅被访问一次。 • 遍历是二叉树中经常要用到的一种操作。因为在实际应用问题中，常常需要按一定顺序对二叉树中的每个结点逐个进行访问，查找具有某一特点的结点，然后对这些满足条件的结点进行处理。 • 通过一次完整的遍历，可使二叉树中结点信息由非线性排列变为某种意义上的线性序列。也就是说，遍历操作使非线性结构线性化。

  43. 我们用L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点、 遍历右子树， 那么对二叉树的遍历顺序就可以有六种方式：  • (1) 访问根，遍历左子树，遍历右子树（记做DLR）。  • (2) 访问根，遍历右子树，遍历左子树（记做DRL）。  • (3) 遍历左子树，访问根，遍历右子树（记做LDR）。  • (4) 遍历左子树，遍历右子树，访问根（记做LRD）。  • (5) 遍历右子树，访问根，遍历左子树（记做RDL）。  • (6) 遍历右子树，遍历左子树，访问根（记做RLD）。

  44. 注意：先序、中序、后序遍历是递归定义的， 即在其子树中亦按上述规律进行遍历。 下面就分别介绍三种遍历方法的递归定义。  1. 先序遍历（DLR）操作过程：  若二叉树为空， 则空操作， 否则依次执行如下3个操作：  (1) 访问根结点；  (2) 按先序遍历左子树；  (3) 按先序遍历右子树。

  45. 2 .中序遍历（LDR）操作过程：  若二叉树为空， 则空操作， 否则依次执行如下3个操作： (1) 按中序遍历左子树；  (2) 访问根结点；  (3) 按中序遍历右子树。  3. 后序遍历（LRD）操作过程：  若二叉树为空， 则空操作， 否则依次执行如下3个操作： (1) 按后序遍历左子树；  (2) 按后序遍历右子树；  (3) 访问根结点。

  46. 对于如图所示的二叉树， • 先序遍历： A、 B、 D、 F、 G、 C、 E、 H 。 • 中序遍历： B、 F、 D、 G、 A、 C、 E、 H 。  • 后序遍历： F、 G、 D、 B、 H、 E、 C、 A 。

  47. 最早提出遍历问题是对存储在计算机中的表达式求值。例如：（a+b*c）-d/e。该表达式用二叉树表示如下图所示。当我们对此二叉树进行先序、中序、后序遍历时，便可获得表达式的前缀、 中缀、 后缀书写形式：  • 前缀： -+a*bc/de  • 中缀： a+b*c-d/e  • 后缀： abc*+de/-  • 其中中缀形式是算术表达式的通常形式，只是没有括号。 前缀表达式称为波兰表达式。算术表达式的后缀表达式被称作逆波兰表达式。 在计算机内， 使用后缀表达式易于求值。

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