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第 1 节 三角函数的相关概念

第 1 节 三角函数的相关概念. 第四章 三角函数. 要点 · 疑点 · 考点. 1. 角的概念的推广 所有与 α 角终边相同的角的集合 S={ β | β ＝ α + k ·360° ， k ∈Z}. 2. 弧度制 任一个已知角 α 的弧度数的绝对值 |α| ＝ l / r ( l 是弧长， r 是半径 ) ， 1° ＝ π/180 弧度， 1rad=(180/π)°≈57.30° ＝ 57°18′ 弧长公式 l =| α | r ，扇形面积公式 S ＝ 1/2 lr. 3. 任意角三角函数的定义

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第 1 节 三角函数的相关概念

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  1. 第1节 三角函数的相关概念 第四章 三角函数

  2. 要点·疑点·考点 1.角的概念的推广 所有与α角终边相同的角的集合S={β|β＝α+k·360°，k∈Z} 2.弧度制 任一个已知角α的弧度数的绝对值|α|＝l/r ( l是弧长，r是半径)，1°＝π/180弧度，1rad=(180/π)°≈57.30°＝57°18′ 弧长公式l=|α|r，扇形面积公式S＝1/2lr 3.任意角三角函数的定义 设α是一任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，P与原点距离是r，则sinα=y/r，cosα=x/r ，tanα=y/x， cotα=x/y，secα=r/x，cscα=r/y.

  3. 要点·疑点·考点 4.同角三角函数的基本关系式 ①倒数关系：sinαcscα＝1，cosαsecα＝1 ， tanαcotα ＝1 ②商数关系：tanα=sinαcosα，cotα＝cosαsinα ③平方关系：sin2α+cos2α＝1，1+tan2α=sec2α，1+cot2α =csc2α 5.三角函数值的符号 sinα与cscα，一、二正，三、四负，cosα与secα，一、四正，二、三负，tanα与cotα,一、三正，二、四负

  4. 3.已知集合A={第一象限的角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，下列四个命题：①A=B=C； ②AC; ③CA； ④AC=B. 其中正确命题个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)4 课 前 热 身 1.已知α∈[0，2π)，命题P：点P(sinα-cosα，tanα)在第一象限.命题q:α∈[π/2，π].则命题P是命题┒q的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 A -5/13 2.已知角α的终边过点P(-5，-12)，则cosα= _______ ， tan α =_______. 12/5 A

  5. 4.已知2α终边在x轴上方，则α是( ) (A)第一象限角 (B)第一、二象限角 (C)第一、三象限角 (D)第一、四象限角 C 5.在(0，2π)内，使sinα·cosα＜0，sinα＋cosα＞0，同时成立的α的取值范围是( ) (A)(π/2，3π/4) (B)(3π/4，π) (C)(π/2，3π/4)∪(7π/4，2π) (D)(3π/4，π)∪(3π/２，7π/4) C

  6. 能力·思维·方法 1.若α是第三象限的角，问α/2是哪个象限的角?2α是哪个象限的角? 【解法回顾】 各个象限的半角范围可以用下图记忆，图 中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第一、二、 三、四象限角的半角范围；再根据限 制条件，解的范围又进一步缩小.  

  7. 3．化简 2．已知sinα=m (|m|≤1) ，求tanα. 【解题回顾】此类例题的结果可分为以下三种情况. (1)已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有一解. (2)已知一个角的某三角函数值，且不知角所在象限，有两解. (3)已知角α的三角函数值是用字母表示时，要分象限讨论.α分象限讨论的依据是已知三角函数值具有平方关系的那个三角函数值符号，一般有四解. 【解题回顾】在各象限中，各三角函数的符号特征是去绝对值的依据.另外，本题之所以没有讨论角的终边落在坐标轴上的情况，是因为此时所给式子无意义，否则同样要讨论

  8. 4．设α为第四象限角，其终边上的一个点是P(x， )， 且cosα＝ ，求sinα和tanα. 【解题回顾】容易出错的地方是得到x2＝3后，不考虑P点所在的象限，分x取值的正负两种情况去讨论，一般地，在解此类问题时，可以优先注意角α所在的象限，对最终结果作一个合理性的预测

  9. 延伸·拓展 5.已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R. ①若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积. ②若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值?并求出这一最大值? 【解题回顾】扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧度制两种给出的方式，但其中用弧度制给出的形式不仅易记，而且好用.在使用时，先要将问题中涉及到的角度换算为弧度.

  10. 误解分析 1.答案不惟一是三角函数习题的显著特点之一，因此在解题时，一定要适时讨论，讨论不全必然招致漏解. 2.角的范围容易忽视，从而三角函数值也易出错.

  11. 第2节 三角变换与求值

  12. 2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 要点·疑点·考点 1.诱导公式 α+k·360°(k∈Z)，-α，180°±α，360°-α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. n·90°±α(n∈Z)诱导公式满足十字诀“奇变偶不变，符号看象限”

  13. 4.半角的正弦、余弦、正切公式 2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

  14. 2.若α是锐角， ，则cosα的值等于( ) (A) (B) (C) (D) 3.已知 ，则 取值范围是( ) (A)(2kπ+π，2kπ+3/2π) k∈Z (B)(2kπ+3/2π，2kπ+2π) k∈Z (C)[2kπ+π，2kπ+3/2π] k∈Z (D)[2kπ+3/2π，2kπ+2π] k∈Z 课 前 热 身 1.已知x∈(-π/2，0)，cosx=4/5，则tan2x=( ) (A)7/24 (B)-7/24 (C)24/7 (D)-24/7 D A C

  15. 4.已知tanA·tanB=tanA+tanB+1,则cos(A+B)的值是( ) (A) (B)   (C) (D) 5．设 是方程 的两个不相等的实根，则α+β等于( ) (A) (B)   (C) (D) C B

  16. 能力·思维·方法 1.设cos(α-β)= -4/5，cos(α+β)=12/13，α-β∈(π /2，π)，α+β∈(3π/2，2π)，求cos2α、cos2β的值. 【解题回顾】解条件求值问题，要仔细观察条件与求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向求式转化，要么将求式进行变形向已知式转化，总之，设法消除已知式与求式之间的种种差异是解这类问题的关键本题中，求式中的角“2α”与条件中出现的两个“整体角”：“α+β”、及“α-β”恰有关系(α+β)+(α-β)=2α,(α+β)-(α-β)=2β，因此将求式中的角转化成了条件中的角(整体角)，使问题迎刃而解

  17. 2.求值： 【解题回顾】本题中，关健在于将1+3·tan10°，通过“切化 弦”及“辅助角公式”使其得到化简．一般地， 而 可以化为一个角的一个三角函数.另外，对于形如1±cosα、1±sinα的式子的化简同学们也应熟练掌握.

  18. 3.已知 【解题回顾】可以考虑利用半角公式，在已知条件下先求tanθ、或sinθ、cosθ，然后代入计算，读者不妨一试. 4.已知tan(α-β)=12,tan β=-17,且α、β∈(0，π).求2α-β的值. 【解题分析】已知值求角，要先求出该角的某一三角函数值，再由条件确定出角的范围， 最后利用单调性确定角的具体值. 【解题回顾】确定角的范围一般有三种方式：(1)利用已知求解；(2)利用函数值的正负； (3)利用值的大小.

  19. 　　　　　　相等?若存在，求x的值；若不存在，请说明　　　　　　相等?若存在，求x的值；若不存在，请说明 理由. 【解题回顾】活用公式也是一种能力要求，不同角的三角函数关系式使用起来与同角的三角函数关系式最大的不同点是必须根据题目的题设条件与结论去确定所应用的公式，而选定公式的能力靠观察角度关系、熟悉公式特征来培养；特别地，要学会运用公式的不同变式来解题，如cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α可变形2cos2α=1+ cos2α , 2sin2α=1-cos2α等 延伸·拓展

  20. 误解分析 1.在利用诱导公式求三角函数的值时，一定要注意符号 2.如何巧妙地灵活地运用两角和与差、倍角、半角公式，是三角变换的关键 3.三角变换一般有①化切、割为弦，②降次，③变角，④化单一函数，⑤妙用1，⑥分子分母同乘除，⑦和积互化等技巧，方法不当就会很繁，只能通过总结积累解题经验，选择出最佳方法.

  21. 第3节 三角函数的图象

  22. 要点·疑点·考点 1.三角函数线 右面四个图中，规定了方向的MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线.

  23. 2.三角函数的图象 (1)y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx的图象(略) (2)y=Asin(ωx+φ)的图象及作法 (3)三角函数的图象变换 ①振幅变换：y=sinx→y=Asinx 将y=sinx的图象上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)； ②相位变换：y=Asinx→y=Asin(x+φ) 将y=Asinx的图象上所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位； ③周期变换：y=Asin(x+φ)→y=Asin(ωx+φ) 将y=Asin(x+φ)图象上各点的横坐标变为原来的 1/ω倍(纵坐标不变).

  24. 3.图象的对称性 函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)的图象具有轴对称和中心对称.具体如下： (1)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线x=xk(其中ωxk+φ=kπ+π/2，k∈Z)成轴对称图形. (2)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xj ,0)(其中ωxj+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形.

  25. 课 前 热 身 1.给出四个函数: (A)y=cos(2x+π/6)(B)y=sin(2x+π/6) (C)y=sin(x/2+π/6) (D)y=tan(x+π/6) 则同时具有以下两个性质的函数是( ) ①最小正周期是π ②图象关于点(π/6，0)对称. 2.已知f(x)=sin(x+π/2)，g(x)=cos(x-π/2)，则下列结论中正确的是( ) (A)函数y=f(x)·g(x)的周期为2π (B)函数y=f(x)·g(x)的最大值为1 (C)将f(x)的图象向左平移π/2单位后得g(x)的图象 (D)将f(x)的图象向右平移π/2单位后得g(x)的图象 A D

  26. 3.将函数y=f(x)sinx的图象向右平移π/4个单位后再作关于x轴对称的曲线，得到函数y=1-2sin2x，则f(x)是( ) (A)cosx (B)2cosx (C)sinx (D)2sinx B 4.函数y=|tgx|·cosx(0≤x＜3π/2，且x≠π/2) 的图象是( C )

  27. 5.关于函数f(x)=２sin(3x-3π/4），有下列命题： ①其最小正周期是2π/3； ②其图象可由y=2sin3x向左平移π/4个单位得到； ③其表达式可改写为y=2cos(3x-π/4)； ④在x∈[π/12，5π/12]上为增函数. 其中正确的命题的序号是_________ ①④

  28. 能力·思维·方法 1.先将函数y=f(x)的图象右移π/8个单位，然后再把图象上每一点的横坐标扩大为原来的两倍，所得的图象恰好与函数y=3sin(x+π/6)的图象相同.求f(x)的解析式 【解题回顾】此题为逆向求解对函数y=Asin(ωx+ φ)的图象作变换时应该注意：横坐标的扩大与压缩只与ω有关，与其他参量无关；图象的左右平移应先把ω提到括号外，然后根据加减号向相应方向移动

  29. 2.设函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-π/6对称，求a的值2.设函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-π/6对称，求a的值 【解题回顾】此二种方法都应用了三角函数图象的知识解一，抓住的是正弦曲线在与对称轴交点处取得函数最大或最小值的特点解二，充分应用了图形对称以及待定系数法的数学方法，显示了数形结合的灵活性.

  30. 3.已知函数 (1)当y取得最大值时，求自变量x的集合； (2)该函数图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 【解题回顾】当A＞0，ω＞0时，函数y=Asin(ωx+ φ)的图象可用“五点法”作出，也可用下列图象变换方法作出，先把y=sinx的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|的单位，再把各点横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的1/ω倍(纵坐标不变)，再把各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变)；而函数y=Acos(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的图象均可仿上变换由y=cosx和y=tanx作出.

  31. 4.如下图，函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)的图像上相邻的最高点与最低点的坐标分别为(5π/12，3)和(11π/12，-3)．求该函数4.如下图，函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)的图像上相邻的最高点与最低点的坐标分别为(5π/12，3)和(11π/12，-3)．求该函数 的解析式 【解题回顾】这类问题的求解难点是φ的确定，除以上方法外，常用移轴方法：做平移，移轴公式为x=x′+π/6，y=y′，则易知函数在新坐标系中的方程是y′=3sin2x′，而x′=x-π/6，故所求函数y=3sin[2(x-π/6)]

  32. 延伸·拓展 5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(3π/4，0)对称，且在区间[0，π/2]上是单调函数.求φ和ω的值. 误解分析 1.在能力·思维·方法4中，由于φ没有给出范围，所以极易求出不合题意的φ值，解题时要结合“零点”观察 2.由y=sinx作y=sin(2x+π/3)图象，如果先把横坐标缩短为原来的1/2倍，得y=sin2x后再平移，应向左平移π/6，切勿左移π/3.

  33. 第4节 三角函数的单调性、奇偶性、周期性

  34. 要点·疑点·考点 1.单调性 (1)y=sinx的单调增区间是[2kπ-π/2，2kπ+π/2](k∈Z)，减区间是[2kπ+π/2，2kπ+3π/2](k∈Z) (2)y=cosx的单调增区间是[2kπ+π，2kπ+2π](k∈Z)，减区间是[2kπ，2kπ+π](k∈Z) (3)y=tanx的单调增区间是(kπ-π/2，kπ+π/2)(k∈Z) 2.奇偶性 y=sinx,y=cosx,y=tanx在各自定义域上分别是奇函数、偶函数、奇函数.

  35. 3.周期性 (1)定义 对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，则y=f(x)叫周期函数，T叫这个函数的周期 (2)所有周期中的最小正数叫最小正周期 (3)y＝sinx,y=cosx的最小正周期T=2π； y=tanx,y=cotx的最小正周期T=π (4) y=Asin(ωx+φ)+k的周期为T=2π/ω(ω＞0) y=Atan(ωx+φ)+k的周期为T=π/ω(ω＞0)

  36. 课 前 热 身 1.下列函数中，在区间(0,π/2)上为增函数且以π为周期的是( ) (A)y=sin(x/2) (B)y=sin2x (C)y=-tanx (D)y=-cos2x 2.将函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)的图像向左平移2个单位，图像关于原点对称，那么一定有( ) (A)f(x+2)是奇函数 (B)f(x+2)是偶函数 (C)f(x-2)是奇函数 (D)f(x-2)是偶函数 3.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4，当f(2001)=5时，f(2002)=( ) (A)1 (B)3 (C)5 (D)7 D A B

  37. D 4.函数y=2sin2x+sin2x是( ) (A)以2π为周期的奇函数 (B)以2π为周期的非奇非偶函数 (C)以π为周期的奇函数 (D)以π为周期的非奇非偶函数 5.下列命题中正确的是( ) (A)若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ (B)函数y=sinx·cotx的单调递增区间是(2kπ-π/2，2kπ+ π/2)，k∈Z (C)函数y=(1-cos2x)/sin2x的最小正周期是2π (D)函数y=sinxcos2φ-cosxsin2φ的图象关于y轴对称，则 φ=kπ/2+π/4，k∈Z D

  38. 1.判断下列函数的奇偶性： 能力·思维·方法 【解题回顾】判断函数的奇偶性时，有些学生往往只注意：f(-x)=-f(x)，或f(-x)=f(x).而不考虑该函数定义域是否关于原点对称，这是造成解题错误的重要原因.

  39. 2.判断下列函数是否为周期函数；若是，判断其是否存在最小正周期，若存在，求出它的最小正周期： 【解题回顾】若三角函数y=f(x)的最小正周期为T，则f(ωx+φ)的最小正周期就是T|ω|；另外，周期函数的图像必然呈现一种“周而复始”的规律特征，反之亦然，所以判断函数的周期性的一个有效方法是作图

  40. 3.已知函数 (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的单调区间； (3)求f(x)图象的对称轴，对称中心 【解题回顾】将函数y=f(x)化成y=Asin(ωx+φ)的形式(即单一形式)，才能研究其图象及性质.

  41. 4.已知函数f(x)=log(1/2)(sinx-cosx)， (1)求它的定义域和值域； (2)求它的单调区间； (3)判定它的奇偶性； (4)判定它的周期性，若是周期函数，求出它的最小正周期 【解题回顾】函数的单调性，必须在它的定义域内讨论复合函数的增减性，可按增减为减、增增为增、减减为增的法则判断．

  42. 延伸·拓展 5.设f(x)是(-∞，+∞)上的函数，且f(x+2)=-f(x)对任意x∈R成立．若x∈[-1，1]时，f(x)=x3； ①求x∈[1，5]时，f(x)的解析式； ②求f(-5)的值 【解题回顾】若要求求出x∈R时，f(x)的解析式，又该怎样做?

  43. 误解分析 1.判断三角函数的奇偶性，若不先关注定义域是否关于原点对称，常常会得出错误的结论 2.对于形如y=2sin(π/3-2x)的单调区间，常因为没有注意到x的系数为负，从而得出相反的结论 3.对于函数y=Asin(ωx+φ)的周期，如果说是2π/ω，则没有考虑ω的正负

  44. 第5节 三角函数的值域和最值

  45. 4. asinx+bcosx型函数 (其中φ由 确定，φ角所在象限是由点P(a,b)所在象限确定) 要点·疑点·考点 1.正弦函数 y=sinx定义域是R，值域是[-1,1]，在x=2kπ-π/2(k∈Z)时取最小值-1，在x=2kπ+π/2(k∈Z)时，取最大值1 . 2.余弦函数 y=cosx定义域是R，值域是[-1，1]，在x=2kπ(k∈Z)时，取最大值1，在x=2kπ+π(k∈Z)时，取最小值-1 3.正切函数 y=tanx定义域是(kπ-π/2，kπ+π/2)(k∈Z)，值域是R，无最值.

  46. 1.若sinx≥1/2，则x的范围是____________________________；若√3+2cosx＜0，则x的范围是；1.若sinx≥1/2，则x的范围是____________________________；若√3+2cosx＜0，则x的范围是； 若tanx≤1,则x的范围是________________________；若sin2x＞cos2x，则x的范围是__________________________ 2.函数y=√3sinx+cosx,x∈[-π/6，π6]的值域是( ) (A)[-√3，3] (B)[-2，2] (C)[0，2] (D)[0，√3] 3.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为( ) (A)1+√2 (B)√2-1 (C)2 (D)2 课 前 热 身 2kπ+π/6≤x≤2kπ+5π/6，k∈Z 2kπ+5π/6<x<2kπ+7π/6，k∈Z kπ-π/2<x≤kπ+π/4，k∈Z kπ+π/4<x<kπ+3π/4，k∈Z D A

  47. 4.设 ，则t的取值 范围是( ) (A) (B) (C) (D) 5.函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω＞0)在区间[a,b]上是增函数，且f(a)=-M，f(b)=M，则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在[a,b]上( ) (A)是增函数 (B)可以取得最大值M (C)是减函数 (D)可以取得最小值-M B B

  48. 1．已知△ABC中， ,求使 取最大值时∠C的大小.   能力·思维·方法 【解题回顾】形如y=acos2x+bcosxsinx+csin2x+d(a、b、c、 d为常数)的式子，都能仿照上例变形为形如y=Acos(2x+φ) +B的式子，从而有关问题可在变形式的基础上求解另外， 求最值时不能忽视对定义域的思考

  49. 2.试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值.又若x∈[0，π/2]呢? 【解题回顾】此为sinx+cosx与sinx·cosx型.(注意与上例形式的不一样)，一般地，含有sinx+cosx,sinx-cosx，sinx·cosx的三角函数都可以采用换元法转化为t的二次函数去解.但必须注意换元的取值范围.

  50. 3.求函数 的值域 【解题回顾】此为 型三角函数(分子、分母的 三角函数同角同名)这类函数，一般用拆分法及三角函数 的有界性去解.思考如何求 的值域呢?

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