高 等 数 学

1. 高 等 数 学

2. 导数思想最早由法国 第二章简介 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 微积分学的创始人: 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz 导数 描述函数变化快慢 微分学 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)

3. 2.1.1 引例 2.1.2 导数的定义 2.1.3 导数的几何意义 2.1.4 函数的可导性与连续性的关系 2.1 导数的概念

4. 学习要求： • 理解导数的概念以及导数的几何意义。 • 会求曲线在给定点处的切线与法线方程。 • 知道函数的可导与连续之间的关系。

5. 熟练掌握利用导数定义求导数的方法 掌握导数的几何意义 理解可导性与连续性之间的关系 学习重点：

6. 2.1.1 引例 1、变速直线运动物体的瞬时速度问题 设运动物体的运动方程为 s = s(t), 则在 t与 t0 之间平均速度 t0 时刻的（瞬时）速度

7. 2、切线问题 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.

8. ◆变化率问题 设某个变量 Q 随时间 t 的变化而变化，时刻 t 取值 Q (t), 从时刻 t 经过 △t 时间， 量 Q的改变量为 量 Q的平均变化率为

9. 如果极限 存在, 2.1.2 导数的定义 导数定义 设函数y=f (x) 在U(x0) 有定义, 则称函数 f (x) 在点x0 处可导, 此极限值 称为f (x)在点x0 处的导数. 记为 注意 “导数为”时不可导，即导数不存在。

10. ◆导数定义的不同形式 差商 导数是函数变化率的精确描述，从数量方面刻画了变化率本质 解答

11. 例题 设 ，求 所以 解

12. 区间上可导的定义 若f(x)在开区间（a, b）内处处可导，则称 f(x)在区间（a, b）内可导。

13. ◆导函数的概念 　　若函数 y = f (x)在开区间（a, b）内可导，这时，对于（a, b）内的每一点 x, 都对应着一个确定的导数值，这样构成了一个新的函数，这个函数称为函数 y = f (x)在区间（a, b）内的导函数，简称导数，记作： 或

14. 例 已知

15. 函数在点x0处可导 左导数和右导数都存在，并且相等。 和 函数f (x)在开区间（a, b） 内可导，且 存在，则称f (x)在闭区间[a, b]内可导。 ◆左右导数 • 左导数 • 右导数

16. 例 已知 解 因为 所以 从而

17. 求导步骤：

18. 例1 解

19. 例2 解 同理可求得

20. 例3 解 一般地

21. 例如

22. 例4求对数函数 的导数。 解 所以 特别

23. y T M o x 的切线方程为 法线方程为 2.1.3 导数的几何意义 法线是过切点且与切线垂直的直线

24. 例5求双曲线 在点 处的切线的斜率，并写出曲 线在该点处的切线方程和法线方程。 所以，所求切线方程为 即 所求法线的斜率为 所求法线方程为 即 解 根据导数的几何意义，所求切线的斜率为

25. 证明 设函数 在点 可导 则 存在 于是 所以 即函数 在点 处连续 2.1.4 函数的可导性与连续性的关系 • 函数 f (x) 在某点可导，则在该点连续。

26. 解 y O x 例6讨论函数 f (x)= |x|在点 x=0 的连续性和可导性。 故函数 f (x)= |x|在点 x=0 连续 连续是可导的必要非充分条件 故函数 f (x)= |x|在点 x=0 不可导 • 函数 f (x) 在某点连续，却不一定在该点可导。

27. 0 连续但不可导函数举例 ★ y y=f(x) Ox y y=|x| Ox

28. 小 结： 1. 导数的实质: 增量比的极限; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 导数的物理意义: 变化率； 5. 函数可导与连续的关系：可导一定连续，但连续不一定可导; 6. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.

29. 作 业： P40 习题2.1 8 9 10 思考题：