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2. 陪集 cosets

2. 陪集 cosets. 定義：設 n 階群 G 的一個子群 S 具有元素 e, a 1 , a 2 , a 3 , … a m (m≦n) ， b 是 G 的一個元素，但 b 不屬於 S ，當 b 遍承 S 的所有元素時，所得到的 m 個元素 be=b, ba 2 , ba 3 , … ba m 形成的集合稱為子群 S 的一個 左陪集 ，並記作 bS ，即有 同樣可定義 S 的 右陪集 為 由於陪集不含有單位元素，所以陪集不是子群。 若陪集含有單位元素 ba j ，則由 ba j =e 可得 b= a j -1 ，於是必有 b S ，與原假設不屬於 S 矛盾.

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2. 陪集 cosets

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  1. 2.陪集cosets 定義：設n階群G的一個子群S具有元素e, a1, a2, a3,… am(m≦n)，b是G的一個元素，但b不屬於S，當b遍承S的所有元素時，所得到的m個元素be=b, ba2, ba3, … bam形成的集合稱為子群S的一個左陪集，並記作 bS，即有 同樣可定義S的右陪集為 由於陪集不含有單位元素，所以陪集不是子群。 若陪集含有單位元素baj，則由baj=e可得b= aj-1，於是必有b S，與原假設不屬於S矛盾 Ex11. The distinct (left) cosets of the Z3 in the group of integers Z are: where

  2. 定理：在有限群G中，子群S的兩個左陪集所含的元素，定理：在有限群G中，子群S的兩個左陪集所含的元素， 或者全同，或者不同 Proof

  3. bS aS cS S kS ‧‧‧

  4. Lagrange's theorem (group theory) 若 s 階群 S 是 g 階群 G 的任一子群，則s都整除g 為子群S全部陪集，子群S為s階，則每個陪集都有s個元素，又G的每個元素必須在子群S或S的 個不相交陪集僅出現一次，故必有 . 稱整數 為G中子群S的指數,還可得到一結論: 一個有限群G的任一元素 的階v都整除G的階g.這是因為G的一個v階元素 ( )可生成G的v階子群： 例. G為4-群 ,任取G子群S為 , 則S左陪集是 可知4-群的子群 只有一個陪集 ,其左分解為

  5. ~ from Wikipedia Joseph Louis, comte de Lagrange Born January 25, 1736(1736-01-25), Turin, Italy Died April 10, 1813 (aged 77),Paris, France Residence Italy, France, Prussia Nationality Italian, French Field Mathematics, Mathematical physics Institutions École Polytechnique Academic advisor Leonhard Euler Notable students Joseph Fourier,Giovanni Plana, Simeon Poisson Known for Analytical mechanics, Celestial mechanics Mathematical analysis Number theory Religion Roman Catholic Note he did not have a doctoral advisor but academic genealogy authorities link his intellectual heritage to Leonhard Euler, who played the equivalent role. Lagrangian mechanics Algebra Number Theory Miscellaneous Astronomy Mécanique analytique

  6. Ex12：A set H≠ø is a subgroup of a group G iff Proof (1)充分性 H 是群G的子群 (2)必要性 H是群G中的非空集合，若 由上式 再由上式 證得H是群G的子群 (封閉性) (單位元素存在) (逆元素存在) (封閉性)

  7. Ex13. 設G是個群，集合 是G的一個子群，此群稱為群G的中心 考慮單位元素e, 故 ，C非空集合 又 若 C為G的子群得證

  8. 共軛類和不變子群 1.共軛a conjugate of a G 定義：設a和b是群G的兩個元素，如果G中有一個元素x使得 則稱b與a共軛，並把這個運算叫做b通過a的相似轉換。 • 相似轉換滿足 • 自反性： • 對稱性： • 傳遞性： 又xy G，故a與c共軛 2.共軛類a conjugate of H G 定義：群G中所以相互共軛的元素組成一個等價類，稱為群G的共軛類，或簡稱為類，用符號來表示與a共軛的元素組成的類 。 在一個阿貝爾群中，每個群元素自成一類。 所以必有a=b，同理，任意群的單位元也自成一類

  9. 3.共軛子群(conjugacy class) 定義：設H是群G的一個子群，g為G的一個固定元素，所有ghg-1的集合 也是G的一個子群，稱為在群G中H的共軛子群或相似子群。 若 證明 之封閉性。此外 由前述定理得 成群。 4.不變子群(normal subgroup, invariant ) 定義：H為群G的子群，而g為G的任意一個元素，若恆有 成立，則稱H為G的不變子群或正規子群或自軛子群，記做 若H是群G的不變子群，g為G的任一元素，則g所屬的左陪集與右陪集相同 注意上述並不意味g可以和H的每一個元素交換，而僅僅說gH和Hg這兩個集合一樣

  10. 定理4： 群G的一個子群H是一個不變子群的充分必要條件 是：若H含有元素h，則H必包含h所屬的共軛類 Proof (1)必要性 ：這是不變子群定義的直接結果。 (2)充分性 ：假定此條件成立

  11. 定理5: (接續定理1:同態基本性質part 2) show that if ψ:G→G' is a group homomorphism, then the following holds (3) (4) (3) (4) Suppose H is normal in G

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