第 3 章 线性方程组

1. 第 3 章 线性方程组 定义:所有未知量的次数都是一次的方程组， 称为线性方程组。 我们在中学时，曾学过二元一次方程组 它的解有且只有三种情况：唯一解，无穷多解，无解。 而在许多实际问题中，经常要遇到未知量个数超过 三个或方程个数与未知量个数不等的线性方程组，其是 否有解？在有解的情况下，是有唯一解，还是有无穷多 解？如何求解？这些都是本章要讨论的问题。

2. §3.1 n 元线性方程组 定义3.1 含有 n 个未知量、m 个方程的线性方程组

3. 定义：使方程组各等式都成立的未知量的一组 取值称为该方程组的一个解。 显然，齐次线性方程组 问题：齐次线性方程组在什么情况下有非 0 解 （未知量取值不全为 0 的解）？如何求非零解？

9. §3.2 高斯消元法 一、行简化阶梯形矩阵 定义3.2 若阶梯形矩阵进一步满足： （1）各个非零行的首非零元素都是1； （2）所有首非零元所在列的其余元素都是 0。 则称该矩阵为行简化阶梯形矩阵。

11. 可以证明，任意矩阵都可以用初等行变换化成行可以证明，任意矩阵都可以用初等行变换化成行 简化阶梯形矩阵，具体做法是： （1）用初等行变换将任意矩阵化成阶梯形矩阵； （2）从阶梯形矩阵的最后一个非0 行的首非 0 元开始， 用初等行变换将其化为 1，并将其所在列的其余 元素化为 0，依次类推，就得到行简化阶梯形矩 阵。

15. 结论： 1. 设 A 为可逆矩阵，则 A 的行简化阶梯形矩阵一定是 单位矩阵。 2. 设(Ab)是线性方程组 AX = b 的增广矩阵，则用初等 行变换将(Ab)化成行简化阶梯形矩阵(A1b1)，实际上 是用初等行变换将线性方程组 AX = b 化成阶梯形方 程组 A1X = b1 。 3. 初等行变换不改变线性方程组的解。即 AX = b 与 A1X = b1 是同解方程组。

16. 二、高斯消元法解线性方程组 AX = b 的步骤： 1. 写出 AX=b的增广矩阵（Ab）； 2. 用初等行变换将 (Ab) 化成行简化阶梯形矩阵 (A1b1)； 3. 从 (A1b1)中即可“读出”方程组的解。

21. 例3.解线性方程组

22. 例4.解线性方程组

23. 这个行简化阶梯形矩阵所对应的线性方程组含有这个行简化阶梯形矩阵所对应的线性方程组含有 三个方程、四个未知数，且不含有“矛盾”方程，因此 它有无穷多个解。我们将各行首非 0 元所在的列对 应的未知量称为主元(或基本未知量)，而将其余未知 量称为自由元(或自由未知量)，用自由元来表示主元 的解的表达式称为方程组的一般解。因此原方程组的 一般解为：

24. 例5. 求线性方程组AX=b的解，其中

26. §3.3 线性方程组解的判定定理 从以上的讨论过程中，我们看到线性方程组AX=b 是否有解，就是看通过初等行变换化成的阶梯形方程组 是否含有 “矛盾” 方程 “O=d”(d≠0),若含有“矛盾”方程， 则无解，否则有解。于是得到

27. 例1．判定下列方程组是否有解？若有解，说明解的个数。例1．判定下列方程组是否有解？若有解，说明解的个数。

30. 例2．当a,b为何值时，线性方程组

31. 例3．当入为何值时，线性方程组有解？并求出它的解。例3．当入为何值时，线性方程组有解？并求出它的解。