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簡介與使用說明. 針對九年一貫七年級幾何教材所整理的 授課內容 , 有別於各出版社的解說過程,希望能引導、儘可能給予學生更合乎數學推論的真正「實測操作」。 『 數學的學習注重循序累進的邏輯結構 』 , 這正是「 操作幾何 」努力的方向,. 使用說明: 這是 Power Point 2002 簡報檔, 動畫表現還可接受 , 按滑鼠左鍵或右鍵 便能持續進行, 有些補充說明或教學心得可參考 「備忘稿」 。 再提供適時的 GSP 圖檔 強化或輔助操作說明。 【 連結 GSP 使用說明頁 】 「 操作幾何e化講義 」的第一單元,編號: Geo_01. 認識「幾何」.

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slide1
簡介與使用說明

針對九年一貫七年級幾何教材所整理的授課內容,有別於各出版社的解說過程,希望能引導、儘可能給予學生更合乎數學推論的真正「實測操作」。

『數學的學習注重循序累進的邏輯結構』,這正是「操作幾何」努力的方向,

使用說明:這是 Power Point 2002 簡報檔,動畫表現還可接受,按滑鼠左鍵或右鍵便能持續進行,有些補充說明或教學心得可參考「備忘稿」。

再提供適時的GSP圖檔強化或輔助操作說明。【連結GSP使用說明頁】

「操作幾何e化講義」的第一單元,編號:Geo_01

slide2
認識「幾何」

「幾何」的字義:

「幾何學(Geometry)」的原名,來自測量,是「測地術」的意思。但它發展到後來,已遠遠超出「測地術」這一原始意義,成為以現實物體的形狀、大小和互相位置關係為研究對象的一門數學理論。

這個名字是明朝科學家徐光啟翻譯的,取自曹操《短歌行》詩中「對酒當歌,人生幾何」的字句。

幾何是較有系統的推理訓練教材。學習過程中,請同學多點耐心,用心思考。

slide3
什麼是「操作幾何」?

以「驗證」三角形的內角和為例:若不做任何解釋,而將三個角剪下來拼湊成好像是平角,就說內角和是180度?實在說,與「測量角度再加總」有何兩樣?總不能因為結論是內角和180度,就要每個人都量出或拼出相同的結果吧?(任何誤差都可以忽略?)但是,若在拼湊的同時,引進「平移、旋轉」的操作,就能很確定三個角可拼成平角,很理直氣壯的得到結論。

七年級的幾何學習是以操作為主,能瞭解圖形性質即可,並不要求會寫過程。然而「操作過程」也得有個合理的說明解釋,所以我將一系列課程稱為「操作幾何」。這是一個不同的嘗試,有興趣繼續「看下去」嗎?說不定你的想法超好的,屆時請趕快E-mail給我喔,先謝謝囉。

slide4
三步曲

本單元由下列三部分所組成◎ 基本的圖形記法與位置關係: 識圖、閱圖的最最最基礎篇。◎ 平移 旋轉 點對稱 線對稱: 這是「操作工具」,不是應該經由「操作」來觀察圖 形變化,進而討論性質的嗎? 還沒引進「推理證明」之前,這是我目前所找到最能 「直觀」,且大家都有「操作經驗」的說明工具。◎ 兩直線的位置關係: 常常引用到,特別強調先說明清楚。

slide5
簡要說明

國中階段只討論平面上的簡單幾何圖形部分。

平面:如同桌面,只是平面可以延伸。所謂簡單或基本幾何圖形泛指下列各項平面圖形名稱。

先認識下列與基本圖形有關的符號用法及名詞意義,但圓的部分暫不做介紹。

1. 點、線段、端點、直線、射線的記法與意義

2. 角的記法與分類

3. 線段與角度的大小比較

4. 三角形、四邊形的記法與邊、角位置關係

◎ 要清楚符號意義與用法,可自己多畫畫圖對照。

slide6

E

A

D

B

C

「點」的記法與意義

表示「位置」的意思,與點的大小無關,但為了讓人確實知道位置,有時會特別塗黑標示。

位置如同地名,要有名字。通常以大寫的英文字母命名,寫在該點四周任意適當位置皆可。如圖A、B、C、D、E所示,都可明確表示出位置。此時,讀作「點A」、「A點」、…。

注意事項:

在同一圖形上,不同的點要使用不同的名稱。但因為點可重合(視為同一個點),所以可認為同一個點可有不同的名稱。

slide7

A

B

又通過不同兩點,可用直尺作出唯一的一條直線。

此時可以符號 (讀作直線AB)表示由A、B兩點所作出的直線,當然 與 表示同一條直線。

AB

BA

AB

「直線」的記法與意義

利用直尺邊緣畫出的圖形即是直線(不用畫箭頭)。

直線也有名字,通常以英文字母 L、M、N 為直線命名,寫在直線兩側任一方皆可,讀作直線L、…。

L

L

在幾何圖形上,直線可任意延長且沒有粗細的分別。

slide8

線段是直線的一部份,不能延長,故在兩側有「端點」。直線上從 A 點到 B 點的部分,即是線段,記作  或  。而A、B兩點即是線段AB的端點(右圖不必特別塗黑)。

A

B

A

B

又線段符號除了表示在圖形上的位置之外,也可用來表示長度大小(例如: =5公分),因此線段是可以比較大小,也可以列式計算的。(例如: + > )。

常用疊合法比較線段的大小,若兩線段重合,則等長。反之,若等長,則兩線段會重合。

A

因為也常用 =a (以代表數表示線段的長度),所以線段也可直接用小寫英文字母來表示。

b

c

BC

BA

AB

AB

AB

AB

C

B

a

CA

「線段」與「端點」
slide9

射線有符號,如圖的射線記作 (箭頭一律向右)。

顯然 與 表示不同的圖形。

A

B

AB

AB

BA

-2

0

0

3

「射線」與「半線」

直線可向兩端延長,線段被端點所限,不能延長。若允許一方有端點,另一方可延長,則稱之為「射線」。

若不含端點,則稱之為「半線」(供參考)。

要在數線上圖示大小的範圍時,常會畫到射線與半線。

例如:x>-2 、y≦3 的數線圖形

slide10

型如兩線段(射線)共用一端點的圖形即為角,有∠BAC(∠CAB)、∠A、∠1等不同的記法。型如兩線段(射線)共用一端點的圖形即為角,有∠BAC(∠CAB)、∠A、∠1等不同的記法。

A點稱為∠A的頂點  與  稱為∠A的邊。

B

1

A

C

AB

AC

「角」的記法

又角的符號除了表示在圖形上的位置之外,也可用來表示角度大小,所以角的符號也是可以列式計算的。(例如:∠1>∠2、∠A=30°、∠1+∠2=90°)。

除了使用量角器外,幾何上是用疊合法比較兩個角的大小。若兩個角的頂點與兩邊都各自重合時,則兩角相等;反之,若兩角相等,則必能重合。

slide11

2

1

B

A

C

「角」的分類

若一圓以半徑將之等量分割為360部份(或說將半圓等分成180等分,例如:量角器),則每兩相鄰的半徑所夾的角為1度。

通常依度數大小有以下分類名稱:周角(360°)>平角(180°)>鈍角>直角(90°)>銳角>零角(0°)

平角表示有兩邊連成一條直線,或者說直線上的角為平角。所以,若兩個角的度數和=180°,則將頂點與其中一邊重合,另外兩邊會連成一直線。

slide12

1. 若是確定     ,則將兩線段端點A與C疊合時,B點會落在 之間。(    、    道理相同)

2. 反之,在疊合時,若能確定兩線段端點A與C疊合時,B點會落在 之間,則     。

CD

CD

AB < CD

AB < CD

AB >CD

AB =CD

線段與角度的大小比較

與平時的測量大小是有差別的,此處的比較要有確定的「已知條件」,才能「根據已知條件」得出比較結果。

還是以「疊合」的觀念比較大小。

另外,角的疊合比較、圖形的全等比較與線段大小比較的道理是相同的,不能只憑「測量」的感覺相等,就認為會「相等」。(比較補充說明頁)

slide13

A

1

如右圖的三角形各個位置稱呼有三個頂點:A、B、C。三個邊: 、 、 (互為鄰邊)。三個內角:∠BAC、∠B、∠C(互為鄰角)。 又例如:  的對角為∠C;∠C的對邊為每個內角各有兩個相鄰的外角。(外角指一邊與另一邊的延長線所形成的角)。∠BAC與∠1是相鄰內、外角;∠B、∠C是∠1不相鄰的內角,稱為∠1的內對角。

C

B

AB

BC

CA

AB

AB

三角形的記法與邊、角位置關係

不在同一直線的A、B、C三點可作出三角形,記作△ABC。當然△ACB、△BCA、…等都表示同一個三角形。

slide14

如右圖的四邊形各個位置稱呼有四個頂點:A、B、C、D,故四邊形記做□ABCD。 必須依各頂點的順序(順時針或逆時針皆可)四個邊:  、  、  、  。 有共頂點的是互為鄰邊(  與  、  與  ) ,否則是互為對邊(  與  、  與  )。四個內角:∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA有共一邊的是互為鄰角(∠DAB與∠ABC), 否則是互為對角(∠DAB與∠BCD)。每個內角各有兩個相鄰的外角(∠BAD與∠1是相鄰內、外角),但沒有三角形的內對角位置關係。兩條對角線(不相鄰頂點的連線):  、  。

1

A

D

C

B

CD

AB

BC

DA

AC BD

AB CD

AB AD

AB BC

AD BC

四邊形的記法與邊、角位置關係
slide15
簡要說明

這些是小時候玩拼圖或畫圖時,就在使用的方法,借重它們做為「操作幾何」的基本工具之一部分。很可惜的,這麼好的工具,各出版社在第二年的教科書竟然只保留了線對稱。

何況沿生的全等觀念,對以後的推理幾何的學習與思考,是絕對有幫助的。

平移、旋轉、鏡射(翻轉)與圖形全等密不可分。即經由平移、旋轉、鏡射所產生的新圖形會與原圖形全等。而若兩圖形全等,則可平移、旋轉、鏡射(翻轉)使兩圖形重合。

另外,日常生活所見到的美麗多樣圖案(欣賞)也常是平移、旋轉、鏡射的合成。

slide16
先字義說明,有個基本認識

◎ 平移:圖形沿相同方向移動同樣距離。

◎ 旋轉:圖形繞著某一個定點(旋轉中心)轉動一個角度。

◎ 點對稱:若圖形以某一點為中心旋轉180°後,會與原 圖形重合,即為「點對稱圖形」。

◎ 鏡射(線對稱):將圖形對著一條直線翻轉(對摺)過 去。原圖形與其鏡射圖即是一個線對稱圖形。

全等:兩圖形的大小與形狀一模一樣,則稱兩圖形全等。

◎ 對應點、對應邊、對應角

針對平移、旋轉、鏡射所產生的新圖形與原圖形,互相對應的點稱為對應點,互相對應的邊稱為對應邊,互相對應的角稱為對應角。

slide17

所以若  的端點A沿著直線L方向平移到新位置D,則另一端點B同樣維持與A點相同的方向和移動相同距離到達C點。當然, 上的每一個點都同樣維持與A、B相同的方向和移動相同距離,所以平移之後的新線段 與原線段 是會等長的,而且 與 會平行(因為不會有交點)。

所以平移也就是平行移動的意思。

L

C

D

AB

AB

DC

AB

A

B

AB DC

平移的意義–(1)

圖形沿相同方向移動同樣距離。

若是只看起點與終點位置,可視為是沿著直線方向移動。

slide18
平移的意義–(2)

再以三角形為例,

試想:平移到新位置之後與原圖形位置能得到什麼結果?

問題:新圖形的形狀、大小與原圖形比較有何改變?

答:做圖形的平移時,是將整個三角形平行移動,並沒有改變圖形原來的形狀、大小,因此所產生的新圖形與原圖形是會「全等」的。

因為全等,所以對應角相等、對應邊相等且會平行。

slide19
旋轉的意義

圖形繞著某一個固定點(旋轉中心)轉動一個角度。

若以線段上某一定點為旋轉中心,將線段轉動一個角度,則可看出新舊線段會相交於一點。

仍以三角形為例,試想:

將三角形以某一頂點為旋轉中心,順時針旋轉某一角度到新位置之後,與原圖形位置比較,能得到什麼結果?

答:做圖形的旋轉時,是將整個三角形旋轉,並沒有改變圖形原來的形狀、大小,因此所產生的新圖形與原圖形是會「全等」的。

因為全等,所以對應角相等、對應邊相等。另外,各對應邊當然旋轉相同的方向與角度。

slide20
點對稱的意義

若圖形以某一點為中心旋轉180°後,會與原圖形重合,即為「點對稱圖形」。可認為是旋轉的特例。其旋轉的中心點,稱為「對稱中心」。

如右圖,是整個圖為「點對稱」圖形。

A

B

若以線段上某一定點為「旋轉中心」,將線段旋轉180°,則可看出新舊線段會連成一直線。

若以線段外某一定點為「旋轉中心」,將線段旋轉180°,則可看出新舊線段會平行。

點對稱圖形中的對應點(邊),特別稱為「對稱點(邊)」。

其對稱中心正好是對稱點所連接線段的中點。

slide21
線對稱的意義

A

B

將圖形對著一條直線翻轉(對摺)過去。原圖形與其鏡射圖即是一個線對稱圖形。

如右圖,是整個圖為「線對稱」圖形。

亦即對摺後,可以重合,就是「線對稱」。

例如:正方形、圓形、「中」字、剪紙圖案、…。

該條對摺線稱為「對稱軸」。

一個圖形可能會有多條對稱軸存在。【要會畫出對稱軸】

線對稱圖形中重合的對應點(邊),特別稱為「對稱點(邊)」。

slide22
對稱點與對稱軸

線段的中垂線:通過線段中點且與線段垂直的直線。 又稱為垂直平分線。

將對稱點連接成線段,再將此線段對摺時,兩側會重合,所摺出的直線是為對稱軸。此對稱軸可檢驗出:(1) 與線段垂直。(因為等分平角)(2) 將線段平分。表示線段的對稱軸與線段的中垂線是同一直線。且在操作過程知道「恰可捏出一條對稱軸」,又將線段對摺也是現階段作「線段的中垂線」的方法之一。

結論:對稱軸是對稱點所連接線段的垂直平分線。或說,對稱軸會垂直平分對稱點所連接線段。

slide23
如何找對稱點、畫鏡射圖

利用對稱軸會垂直平分對稱點所連接線段的性質,就可找到某一點的對稱點。

方法:作出通過該點與對稱軸垂直的直線,再取出等線段長 ,就是對稱點所在的位置。

問題:如何作垂直線與取出等線段長?

要畫鏡射圖,只要找到所有的對稱點連結即可。

slide24
連接全等與拼湊

連接全等(依序連接各對應點可得全等形)

圖形全等的判斷比較方法之一。因為平移、旋轉或對摺後的對應點重合,則所連接的對應邊當然也重合,由對應邊產生的圖形當然也重合全等。

拼湊(點對稱與線對稱)

兩全等形能拼出點對稱與線對稱圖形。

例如:兩個全等的三角形可拼出平行四邊形或鳶形。 兩個等底的等腰三角形可拼出鳶形。

也常利用線對稱來「平分」線段、角度、…

slide25

順序連接 A1-B2-A3-A1與 B1-A2-B3-B1(是對稱圖形)。

又如 ,且交點在對稱軸上。(對應線段會相等)

B1

A1

B2

A2

B3

A3

A1B2=B1A2

連連看、拼拼看

這是「連接全等」與「拼湊」的舉例。依有規則的對稱繪圖或拼圖所得的圖形也會是對稱圖形,或所得的對應線段會相等。

利用對稱拼圖拼出對稱圖形 →

slide26
簡要說明

由「平移、旋轉」觀察體會,在平面上兩直線的「平行」、「重合」、「相交於一點」三種位置關係。

雖然「平行」、「重合」、「相交於一點」三種位置關係,在「平移、旋轉」已概略說明,但是兩直線的位置關係在幾何圖形性質的解釋上時常用得到。(例如:兩直線垂直或對頂角)所以,特別就相關內容再詳細強調說明。

slide27
重合

兩直線合而為一,處處是交點。

依據問題情況,有時視為兩條重合直線,有時視為合而為一的一條直線。若提到兩相異直線,則重合情況便被排除在外。

判斷兩直線重合的方法:

(1) 因為通過相異兩點恰可作出一條直線,所以,若兩條 直線有兩個以上的交點,就表示兩直線是重合的。

(2) 以直線(線段)上某一固定點為「旋轉中心」,旋轉180度後,原直線(線段)與新直線(線段)是重疊的 兩直線(線段)。(平角概念)

slide28

L1

L2

平行線的直觀意義與符號

平行線是指在平面上不會有交點的兩條(以上)直線,即「不相交的兩直線」。

例如:火車鐵軌、…

使用符號「//」表示平行。

如圖,若兩直線L1與L2互相平行,記作 L1//L2。

slide29
判斷平行線的方法 - (1)

(1) 將重疊的兩線段或直線之一「平移」開,因為兩直線 沒有交點,所以產生平行線。

(2) 將重疊的兩線段或直線之一,以線外某固定點為旋轉 中心,旋轉180度後,會產生平行線。

若不特別強調旋轉中心的位置,旋轉180度泛指: 「平移後再旋轉180度」、「旋轉180度後再平移」、 「邊平移邊旋轉180度」。

※亦即「平移」(可依移動的角度判斷)或說「沒有旋轉」 (旋轉180度是例外),會產生平行線。

※兩重合直線可由「平移」而平行;兩平行直線可由「平移」而重合。

slide30
判斷平行線的方法 - (2)

(3) 距離處處相等(兩平行線沒有交點)。

距離就是兩平行線之「寬度」的意思,

如圖所示的紅色線段,會與平行線垂直,稱為兩平行線的距離。可由「平移」意義思考,得兩平行線的距離處處相等。

反之,若有兩條直線的距離處處相等,則必定不相交,是為平行線。

slide31

L

N

M

判斷平行線的方法 - (3)

(4) 具有「遞移律」。

即若 L//M、M//N,則 L//N (L//M//N)。

想法:三直線都可由平移而重合,再由平移而平行。

(5) 過直線外一點恰可作出一條平行線。 即「直線外等距離的相異兩點所連接的直線是平行線」。 想法:作不出相異的第二條平行線, 因為違反了遞移律。

slide32
平行線的截線概念

一直在使用「平移」或「沒有旋轉」來說明兩直線的重合與平行關係,但是要如何確定是將直線「平移」呢?

引進「截線」概念,根據直線與截線的夾角度數,以便清楚判斷直線的移動沒有旋轉,便是平移,就是平行。

截線也是幫助畫平行線的輔助工具。

截線

平行的直觀意義不方便以後的幾何推理證明,故在八九年級會引進垂直截線定義,屆時就有更多平行線的性質。

slide33
相交於一點

將兩重合或平行直線其中之一「旋轉」(180度除外),即是相交於一點的兩直線。

平面上,不平行的相異兩直線恰有一個交點。

簡單回顧:

以兩直線的交點情形,來討論平面上兩直線的位置關係。

(1) 沒有交點:平行。

(2) 一個交點:相交於一點。

(3) 兩個交點:重合,事實上是無限多個交點。

slide34

若兩直線的交角為90度,則稱兩直線互相垂直。亦即「垂直」表示兩直線交角為90度。若兩直線的交角為90度,則稱兩直線互相垂直。亦即「垂直」表示兩直線交角為90度。

使用符號「⊥」表示垂直。

如圖,若兩直線 L 與 M、 與 互相垂直,記作 L⊥M、 ⊥ 。

又相交的交點稱為「垂足」。

L

M

B

A

C

D

AC BD

AC BD

垂直與直角

垂直沒有「遞移律」。(畫圖檢驗即知)

過直線上(外)一點恰可作出一條垂直線。

想法:作不出相異的第二條垂直線, 因為比較後知「夾角不等於90度」。

slide35

3

2

1

4

對頂角

兩相異直線 相交於一點,不相鄰的角,稱為對頂角。

如圖,∠1 與∠2、∠3 與∠4,互稱為對頂角。

對頂角會相等,

即∠1 =∠2、∠3 =∠4,

如何驗證? (等量公理)

∠1 +∠3=∠2 +∠3 =180°(平角)

slide36
謝謝瀏覽 歡迎建議與指教

◎ 採用直觀操作(非測量)去理解幾何性質。就目前各 家版本的「豐富內容」,某些解釋也不得不借重「等 量公理」的概念(但還是很直觀的等量加減)。◎ 「直觀操作」與「推理證明」兩者可以相輔相成,在 八九年級時可引導將「操作」轉換成「推理證明」的 敘述。所以,本簡報檔也適用於九年級預習或複習。◎ 雖然九四學年度改版時七年級的幾何「消失了」,但 還是將自己被激發出來的的一些教學淺見提供予大家 分享,歡迎建議與指教,集思廣益下,會找到更好的 解說方式,也會有更理想的內容增減取捨安排。◎ 開放式的 PPT檔 可視您的需要自行加以增減修正, 謝謝您的瀏覽與指教。

結束

slide37
GSP使用說明頁

(1) 右上角的「GSP」是放置在「投影片母片」,所以隨時 可以點選,按「最小化」立刻可回到 Power Point 。 「超連結」設定:Geo_01.gsp。 需用GSP程式開啟(V4.0版)。

(2) 可在 www.keypress.com/sketchpad/evaluation下載DEMO檔(有使用期限、不能存檔),但不影響圖檔的執行。

(3) gsp圖檔需與ppt檔放置同資料夾。若無法執行, 那請您先執行(安裝)GSP主程式或做「檔案關聯」。

(4) GSP圖檔內容請看「Geo_01.gsp」目錄頁。

slide38
「比較」補充說明頁

以三角形為例,所謂確定的「已知條件」,指兩個三角形的三個邊與三個角分別對應相等,則由疊合比較,兩個三角形會重合,此時稱兩個三角形全等。

當然要比較「三個邊與三個角」太繁了些,所以才會有全等性質的產生。利用「推理」來幫忙做全等的判斷。

所以個人認為:幾何的大小比較觀念,應是很重要的「邏輯推理」必經過程。因為實在太容易與「測量、量量看」的日常生活上的比較混淆。

國中幾何課程仍然採用「測量、量量看」的比較,來解釋性質是有待商榷溝通的。