森林管理问题

1. 森林管理问题 森林管理问题

2. 森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。

3. 如：优化模型 • 题目要求做什么？ • 给出什么条件？ 重要关系的描述 ，数据及其说明 • 寻找条件与问题的联系。 1.确定设计变量和目标变量； 2.确定目标函数的表达式； 3.寻找约束条件。 关于审题 如果已判断该题是某类问题， 按此类问题的要求寻找线索建模。

4. 森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。

5. 1 建模分析 目标函数：被砍伐树木的经济价值。 决策变量：被砍伐的树木的数量。 约束条件：持续收获，总数不变。

6. 2 模型假设 假设1 按高度将树木分为n类： 第一类，高度为 幼苗，其经济价值 第 k 类，高度为 每棵树木的经济价值 第 n 类，高度为 每棵树木的经济价值 为第 t 年开始时森林中各类树木的数量。 记

7. 假设2 每年砍伐一次，为了维持每年都有稳定的收获，只能砍伐部分树木，留下的树木和补种的幼苗，其高度状态应与初始状态相同。 设 分别是第1，2，…，n类树木 在采伐时砍伐的棵数。 设森林中树木的总数是 s ，即 假设3 根据土地面积和每棵树木所需空间预先确定的数。

8. 假设4 每一棵幼苗从种植以后都能生长到收获，且在一 年的生长期内树木最多只能生长一个高度级，即 第k类的树木可能进入k+1类，也可能留在k类。 是经一年的生长期后，从第k类的树木中进入k+1类的比例，则 设 是在一个生长期内留在第k类中的树木的比例。

9. 3 建模 先看没有砍伐时树木生长规律 变形，矩阵形式

10. 定义高度状态向量和生长矩阵： 则没有砍伐时树木生长方程为

11. 再考虑有砍伐和补种时的情形 根据问题的要求，要维持持续收获，即 生长期末的状态减去收获采伐的量再加上补 种的幼苗数应等于生长期开始的量

12. 各式相加后，得

13. 再记 则

15. 所收获树木的价值 问题

16. 4 模型求解 利用线性规划的理论和方法，得如下结论： 砍伐某一类树木而不砍伐其他类 的树木时，可获得最大收益。 利用这一结论，设被砍伐的树木为第 k 类，则 根据所建模型，

17. 根据所建模型， 得

18. 结果表明： 森林从幼苗开始长到第 k 年为止开始收获，此时树木高度分布为初始分布。 从第 k 年开始后每年砍伐一次，均砍伐第k类高度的树木。 因此，森林中没有高于或等于 k 类高度的树木。 问题：从幼苗开始长到哪一年收获为最佳？

19. 由

20. 当森林中各参数给定时，分别计算 fk的值，再 比 较选出最大的即可。同时可计算出相应的砍伐量。

21. 5 算例 已知森林具有6 年的生长期，其参数如下。求 出最优采伐策略。 解得 故全部收获第3类树木，可获得最大收益为14.7s。

22. 6 进一步思考 1 持续养鱼问题 2 企业持续发展问题 3 经济（社会）持续发展问题