§1.5 极限运算法则

1. §1.5 极限运算法则 • 无穷小的性质 • 极限的四则运算法则 首页 上页 返回 下页 结束 铃

2. 无穷小的性质 • 定理1有限个无穷小的和也是无穷小 证明 仅就两个xx0时的无穷小情形证明 设及是当xx0时的两个无穷小 则0 10 当0|xx0|1时 有|| 20 当0|xx0|2时 有|| 取min{12} 则当0|xx0|时 有 ||||||2 这说明也是当xx0时的无穷小 举例: 当x0时x与sin x都是无穷小 所以xsin x也是当x0时的无穷小 下页

3. 无穷小的性质 • 定理1有限个无穷小的和也是无穷小 • 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 设函数u在x0的某一去心邻域{x|0|xx0|1}内有界 即M0使当0|xx0|1时 有|u|M 证明 又设是当xx0时的无穷小 即0存在20使当0|xx0|2时 有|| 取min{12}则当0|xx0|时有 |u||u|||M 这说明u也是当xx0时的无穷小 下页

4. 无穷小的性质 • 定理1有限个无穷小的和也是无穷小 • 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 • 推论1常数与无穷小的乘积是无穷小 • 推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小 举例: 首页

5. 极限的四则运算法则 • 定理3 • 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B那么 (1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB>>> (2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB • 推论1如果lim f(x)存在 而c为常数 则 • lim[cf(x)]=climf(x) • 推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则 • lim[f(x)]n=[limf(x)]n  下页

6. 定理4设有数列{xn}和{yn}如果 那么 • 数列极限的四则运算法则 • 不等式 • 定理5如果j(x)y(x)而limj(x)=a limy(x)=b那么ab 下页

7. 例2 例1 • 求极限举例 解 • 讨论 • 提示 >>> 解 提问 下页

8. 例3 例4 解 解 因为 根据无穷大与无穷小的关系得 提问 下页

9. 讨论 • 提示 当Q(x0)P(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0)  下页

10. 例5 例6 解 先用x3去除分子及分母 然后取极限 解: 先用x3去除分子及分母 然后取极限 下页

11. 例7 所以 解 • 讨论 • 提示 下页

12. 例8 解 当x时 分子及分母的极限都不存在 故关于商的极限的运算法则不能应用 是无穷小与有界函数的乘积 下页

13. 设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0)且在x0的某去心邻域内g(x)u0则 • 定理6(复合函数的极限运算法则) >>> • 说明 把定理中g(x)u0(xx0)换成g(x)(xx0或x) 而把f(u)A(uu0)换成f(u)A(u)可类似结果 下页

14. 设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0)且在x0的某去心邻域内g(x)u0则 例9 • 定理6(复合函数的极限运算法则) 解 结束