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INSTITUCIÓN EDUCATIVA “MANUEL E. MENDOZA” El Carmen de Bolívar - Colombia Prof. Lic. JORGE FERRER S. Ferrermiprofe.worpress.com. TRIGONOMETRÍA. ÁNGULOS Y SISTEMAS DE MEDICIÓN. Concepto de ángulo. Es la región del plano situada entre dos semirrectas que tienen un origen común.

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INSTITUCIÓN EDUCATIVA “MANUEL E. MENDOZA”El Carmen de Bolívar - ColombiaProf. Lic. JORGE FERRER S.Ferrermiprofe.worpress.com
concepto de ngulo
Concepto de ángulo
  • Es la región del plano situada entre dos semirrectas que tienen un origen común.
  • Las dos semirrectas se llaman LADOS y el origen común se llama VERTICE.
  • Un ángulo se genera (origina) por la rotación de uno de sus lados.

B

O

C

slide5

B

Lado final

Vértice

A

C

Lado inicial

formas de nombrar un ngulo
Formas de nombrar un ángulo
  • Utilizando tres letras mayúsculas:

una en un punto de cada lado y la otra en el vértice

Leemos “ ángulo A“

Se escribe < BAC

C

A

B

escribiendo una letra griega entre los lados
Escribiendo una letra griega entre los lados

β

Leemos: ángulo beta

Escribimos : < β

* Consultar las letras griegas con sus respectivos nombres

colocando una letra may scula en el v rtice
Colocando una letra mayúscula en el vértice

C

se escribe : < A ángulo A

se lee: “ángulo A” ángulo B

ángulo C

A

A

B

ngulos trigonom tricos
Ángulos trigonométricos

Ángulos positivos:

son aquellos que se generan haciendo la rotación del lado inicial, en sentido contrario a la rotación de las manecillas de un reloj.

Lado final

45º

Lado inicial

ngulos negativos
Ángulos negativos:

son aquellos que se generan haciendo la rotación del lado inicial, en el sentido de la rotación de las manecillas de un reloj.

Lado inicial

- 45º

Lado final

ngulos en posici n normal
Ángulos en Posición Normal

Un ángulo está en posición normal si su vértice coincide con el origen del plano cartesiano y el lado inicial con el semieje positivo de las x.

pueden ser
Pueden ser:
  • Ángulos del primer (I) cuadrante
  • Ángulos del segundo (II) cuadrante
  • Ángulos del tercer (III) cuadrante
  • Ángulos del cuarto (IV) cuadrante

II

I

III

IV

slide13

y

II

I

(x , y) (- , +)

(x , y) (+ , +)

x

IV

III

(x , y) (- , -)

(x , y) (+ , -)

ngulos del primer cuadrante
Ángulos del Primer Cuadrante

Un ángulo θ es del primer (I) cuadrante si es mayor que 0º y menor que 90º, es decir, 0º < θ < 90º

I cuadrante

Ej. Θ = 60º

60º

ngulos del segundo cuadrante
Ángulos del segundo Cuadrante

Un ángulo θ es del segundo (II) cuadrante si es mayor que 90º y menor que 180º, es decir, 90º < θ < 180º

130º

II cuadrante

Ej. Θ = 130º

ngulos del tercer cuadrante
Ángulos del tercer Cuadrante

Un ángulo θ es del tercer (III) cuadrante si es mayor que 180º y menor que 270º, es decir, 180º < θ < 270º

III cuadrante

Ej. Θ = 240º

240º

ngulos del cuarto cuadrante
Ángulos del cuarto Cuadrante

Un ángulo θ es del cuarto (IV) cuadrante si es mayor que 270º y menor que 360º, es decir, 270º < θ < 360º

IV cuadrante

Ej. Θ = 300º

300º

x

ngulo giro o completo
Ángulo Giro o Completo

Es aquel que se genera cuando el lado inicial hace una rotación de una vuelta o un solo giro. Su valor es de 360º.

Θ = 360º

Θ

x

ngulos complementarios
Ángulos Complementarios

Dos ángulos A y B son complementarios, si la suma de ellos es igual a 90º.

Es decir, Si A y B son complementarios,

A + B = 90º

Ej: 30º y 60º ; 20º y 70º

ngulos suplementarios
Ángulos Suplementarios

Dos ángulos A y B son suplementarios, si la suma de ellos es igual a 180º.

Es decir, Si A y B son suplementarios,

A + B = 180º

Ej: 120º y 60º ; 30º y 150º

ngulos coterminales
Ángulos Coterminales

Dos ángulos son coterminales si sus lados iniciales y terminales coinciden respectivamente.

120º y - 240º

100º y 460º

ngulo central
Ángulo Central

Es aquel cuyo vértice es el centro de un círculo y los lados cortan a la circunferencia en uno, o, en dos puntos

C

y

x

< BAC con arco ByC

< BAC con arco BxC

A

B

sistemas de medidas de ngulos
SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS
  • Sistema Sexagesimal
  • Sistema Cíclico
  • Sistema Centesimal
sistema sexagesimal
Sistema Sexagesimal

Es aquel en el que las unidades varían de 60 en 60 unidades.

Unidades :

Su unidad principal es el GRADO (º), que se define como la trescientos sesenta ava parte del ángulo giro.

1º = (1/360) del ángulo giro

observemos
OBSERVEMOS:

1 vuelta completa Ξ 1 ángulo giro = 360º

1 vuelta completa = 360º

1/2 Vuelta = 180º

1/4 de vuelta = 90º

3/4 de vuelta = 270º

90º

180º

360º

270º

otras unidades
OTRAS UNIDADES

El minuto (´) y el segundo (´´)

1º = 60´

1´ = 60´´

Medida de una Circunferencia = 360º

actividades
ACTIVIDADES
  • Expresar en grados, minutos y segundos

los siguientes ángulos:

  • 40,28º
  • 5259´´
  • 325,4´
  • 356´ 125´´

E. 36° 158´ 305´´

sistema c clico
Sistema Cíclico

Llamado también Sistema Circular; porque la medida de los ángulos se hace con referencia al círculo.

La unidad de medida utilizada en éste sistema es el Radián.

radi n
Radián

Es la medida del ángulo central que subtiende un arco de longitud igual al radio de la circunferencia.

Si AB = r, entonces,

< O = 1 radián

B

r

r

0

r

A

medida en radianes de una circunferencia
Medida en radianes de una Circunferencia

Longitud de la circunferencia

mC = --------------------------------------------

radio

2πr

mC = ------------ = 2 π

r

mC = 2 π rad

equivalencia entre el sistema sexagesimal y el c clico
Equivalencia entre el sistema sexagesimal y el cíclico

360° = 2 π rad

Equivale a decir,

180° = π rad

de grados a radianes
De Grados a Radianes
  • Expresar en radianes un ángulo de

30°.

Solución:

Formamos una regla de tres simple, así : 180° π rad

30° x

slide34

Luego, 1 3 0° ( π rad) 3 π x = ----------------------- = ----- rad 1 8 0° 18 6π Por lo tanto, 30° = ------- rad.6

slide35

Conclusión:Para expresar de grados a Radianes, multiplicamos la cantidad de grados , por el factor de conversión,π ------- y simplificar, si es posible. 180°

usemos este factor de conversi n
Usemos este factor de conversión

2. Expresar en radianes, un ángulo de

150°.

Solución: π

150° = 1 5 0° ------- rad

1 8 0°

15 π 5 π

150° = -------- rad = ------- rad.

18 6

ahora vamos a practicar
Ahora, vamos a practicar

Expresar en radianes los siguientes ángulos

  • 45°
  • 60°
  • 120°
  • 210°
  • 330°
de radianes a grados
De Radianes a Grados
  • Expresar en grados un ángulo de

5 π

---------- rad.

4

Solución: Planteamos una regla de tres, similar a la anterior :

180° π rad

x 5 π / 4

slide39

Entonces, 5 π 180° -------- 4 X = --------------------------- πCancelamos los π , y simplificamos a 180° con el 4 , nos queda,

slide40

45° 90° 5 π 180° -------- 4 2 1 X = ------------------------ = 45° x 5 = 225°πPor lo tanto, 5 π / 4 rad = 225°.

slide41

Conclusión: Para expresar de radianes a grados, multiplicamos la cantidad de radianes, por el factor de conversión,180° -------- , y simplificar, si es π posible.

usemos este factor de conversi n1
Usemos este factor de Conversión

2. Expresar en grados un ángulo de

2 π

------ rad.

3

Solución: 60°

2 π 180°

2 π / 3 rad = --------- ------- = 2x60° =120°

3 π

1

ahora vamos a practicar1
Ahora, vamos a practicar

Expresar en grados los siguientes ángulos

  • π/3 rad
  • 4 π / 3 rad
  • 5 π /12 rad
  • 3 π / 2 rad
  • π / 4 rad