§ 11 -1 应力状态的概念 § 11 -2 平面应力状态分析 —— 解析法 § 11 -3 平面应力状态分析 —— 图解法（应力圆）

第十一章应力状态分析强度理论 §11-1 应力状态的概念 §11-2 平面应力状态分析——解析法 §11-3 平面应力状态分析——图解法（应力圆） §11-4 空间应力的应力状态分析——一点的最大应力 §11-5 广义胡克定律 §11-6 强度理论概念 §11 -7 四个经典强度理论莫尔强度理论

1.轴向拉压： z A 2.圆轴扭转：最大切应力在截面最外缘； 3.梁弯曲：最大正应力在截面上、下边缘；最大切应力在截面中性轴上。 §11-1 应力状态的概念一、应力状态的概念：

问题1：同一点处不同方位截面上的应力不相同；问题1：同一点处不同方位截面上的应力不相同；轴向拉伸杆件横截面应力：斜截面应力：

z 问题2B点处应力（既有正应力又有切应力）该如何校核？梁弯曲的强度条件：

圆轴扭转试验 问题3 铸铁、低碳钢的扭转（拉、压）试验现象是怎样产生的？因此有必要研究——一点的应力状态。一点应力状态：指构件内任一点处所有不同方位截面上的应力情况。研究应力状态的目的：确定危险截面危险点处不同方位截面上的应力变化规律，确定在那个方向正应力最大，那个方向切应力最大，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。

B F Ｍ二、点的应力状态的研究方法：单元分析法：在所要研究点处取一微小的正六面体——单元体 1、截取单元体，使其各面上的应力为已知；在单元体各面上标上应力——应力单元体 2、因为单元体极其微小，可认为各截面上应力均匀分布； 3、因为单元体极其微小，可忽略单元体二平行平面之间应力的微小变化，认为二平行平面上应力大小相等； 4、在此基础上采用截面法，即可确定任何斜截面上的应力；单元体的应力状态就代表了该点处的应力状态。

如何截取单元体 围绕 A点取应力状态单元体：

b b c b c 纵向水平面 b c 纵向铅垂面横截面

FP 5 5 S 截面 l/2 l/2 4 4 3 3 2 2 1 1 取单元体示例 S截面

t 5 5 2 3 1 3 4 4 3 3 2 2 1 1 S 截面

微体abcd

微体A

10 10 30 30 50 单位：MPa 三、主应力和主平面应力状态的分类（1）、主平面与主应力：主平面：切应力为零的平面。主应力：主平面上的正应力。过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力主应力排列规定：按代数值由大到小。

（2)、应力状态的分类 a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力都等于零的应力状态。 b、二向应力状态：有两个主应力不等于零，另一个主应力等于零的应力状态。 c、三向应力状态：三个主应力都不等于零的应力状态。平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。空间应力状态：三向应力状态简单应力状态：单向应力状态。复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。纯剪切应力状态：单元体上只存在切应力无正应力。注：应力状态的分类，是根据主应力不等于零的个数来确定。

y z x y x 空间应力状态平面应力状态

y y x x 单向应力状态纯剪应力状态

§11－2 平面应力的应力状态分析 — 解析法 -- 逆时针转为正。等价一、斜截面上的应力计算空间问题简化为平面问题

单元体各面面积 设：斜截面面积为ｄA，由分离体平衡得：

由切应力互等定理和三角变换，可得： ——单元体任意斜截面上的应力计算式符号规定：1 )“”正负号同“”； 2)“t a”正负号同“t”； 3)“a”为x 轴正向与斜面的外法线间的夹角，逆时针为正，顺时针为负。注意：用公式计算时代入相应的正负号。

1)、 2)、的极值主应力以及主平面方位讨论：可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。主平面的方位 ——主应力的大小

——xy 面内的最大切应力 3)、切应力t a 的极值及所在截面由 ——最大切应力所在的位置

——最大切应力 所在的位置 ——主平面的位置将与画在原单元体上。

例：如图所示单元体，求图示 斜截面的应力及主应力、主平面。解：1、求斜截面的应力 60 50 40 300 （单位：MPa）

2、求主应力、主平面 主平面位置：（单位：MPa）主应力：

§11 -3 平面应力的应力状态分析 — 图解法 一、应力圆：对上述方程消参数（2），得：这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆半径：圆心：

R C 应力圆：应力圆上任一点的横、纵坐标分别对应该点某一截面上正应力和切应力

R (sx ,txy) D’ y D (sy ,tyx) c D’ x D 二.应力圆的画法

3、找点 , . 4、连交s 轴于 C 点，以C为圆心，CD 为半径画圆——应力圆。 C D t s D’ o 绘制步骤： 1、取直角坐标系—— 2、取比例尺（严格按比例做图）。

C D D’ 三、证明： t s o 证得圆心位置：证得半径为：

以D为基点，转2a 的圆心 角至E点——，转向与单元体面转过的方向相同。 D 四、图解法的应用 t 1、求斜截面上应力 s o C 2、主应力 3、主平面位置以D为基点，转到 A1点，其圆心角为 2a0，逆时针时a0为“＋”；顺时针时 a0为“－”。（a0——主平面的位置)。

D 2 1 4、切应力的极值及所在位置 t 以D为基点，转到G1点，其圆心角为2a 1。 s o C 由应力圆可证明—— 最大正应力与最大剪应力所在平面相差450 a0

t 2α0 2α E D s B2 A2 A1 o B1 F D/ 证明：（ 2α角的关系）证毕

τ F σ O 例：求 1）图示单元体a = 300斜截面上的应力2）主应力、主平面（单位：MPa）。解：1、按比例画此单元体对应的应力圆 E D’ 60 2、量出所求的物理量

b e B sx 2×45º A t E D 2×45º s o sx d a c

e 2×45º D c b a (0,t ) B A t t s3＝t s3＝t (0,-t ) d s1＝t s1＝t E t 2×45º s o B E 主应力单元体

梁的主应力及其主应力迹线 F x 1 q 3 4 2 x x x 5 y xy xy xy 1 2 o x 3 4 5

梁的主应力及其主应力迹线 t t t t t F 3 1 2 3 3  x s s s s s 1 a a a a a q a a a a a 3 2 4 3 x x 5  x y xy xy xy 1 2 o x o o o o o 3 1 1 4 1 5 5 4

主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包洛线——曲线上每一点的切线都指示着该点的主拉应力方位（或主压应力方位）。实线表示主拉应力迹线；虚线表示主压应力迹线。

y n 1 2 4 3 i 1 3 c b d 3 a 1 x 2 截面 4 截面 i 截面 1 截面 n 截面 3 截面主应力迹线的画法：

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