Основні методи розв
Download
1 / 30

- PowerPoint PPT Presentation


  • 609 Views
  • Uploaded on

Основні методи розв ’ язування тригонометричних рівнянь.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about '' - prue


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
3385472

Основні методи розв’язування тригонометричних рівнянь


3385472

Мультимедійний підручник розкриває поняття тригонометричного рівняння та всі основні способи розв’язання тригонометричних рівнянь. Він допоможе вчителям математики при викладанні теми тригонометричні рівняння і нерівності ” в 10класі , а також учням 10-го класу підготуватися і до ДПА та ЗНО з математики .Данний матеріал повністю відповідає діючій програмі з математики

(академічний рівень)


3385472

Роботу виконали : розкриває поняття тригонометричного рівняння та всі основні способи розв

Панченко Марина та Педан Поліна учениці10 класу ліцею

природничо-наукового навчання

м. Жовтих Вод.

Керівник проекту:

Шкаран Ніна Іванівна- вчитель

математики вищої категорії


3385472
Означення тригонометричних рівнянь.

Рівняння, які містять змінну під знаком тригонометричної функції, називається тригонометричним.

Як правило, розв’язування тригонометричного рівняння зводиться до розв’язування рівняння виду

sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a,

які називають найпростішими тригонометричними рівняннями.


3385472
Розв рівнянь.’язування найпростіших тригонометричних рівнянь.


3385472
I. рівнянь.Рівняння, алгебраїчні відносно однієї з тригонометричних функцій.

Приклад 1. Розв’язати рівняння

cos2x+3sinx=2

Розв’язання:

Враховуючи, що cos2x=1-2sin2 x,

дістаємо 1-2sin2x+3sinx-2=0,тобто

2sin2x-3sinx+1=0. Нехай sinx=t, тоді рівняння

2t2 -3t +1=0 маємо розв’язки t=1 та t=|1/2.

Отже,sinx=1, або sinx=1/2. Звідси, x=


3385472
Рівняння,які зводяться до алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функції

Приклад 2. Розв’язати рівняння

Відповідь:


3385472

Приклад 3. алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїРозв'яжіть рівняння

2sin²x-7sinx+3=0

Розв'язання

Нехай sinx=t, де |t|≤1, тоді одержемо:

2t²-7t+3=0

t1=3 – не задовольняє умову |t|≤1;

t2=½.

Отже, t2=½ маємо sinx=½, то

х=(-1)ⁿ arcsin½+Пn, nЄZ;

х=(-1)ⁿ П/6 +Пn, nЄZ.

Відповідь:(-1)ⁿ П/6 +Пn, nЄZ


3385472

Приклад 4. алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїРозв'язати рівняння

cos²x+3sinx=2

Розв'язання:

1- 2sin²x+3sinx-2=0;

2sin²x-3sinx+1=0;

Нехай sinx=t, де |t|≤1, тоді

2t²-3t+1=0;

t1=1 або t2=½

Отже, sinx=1 або sinx=½.

Звідси x=П/2 +2Пn, nЄZабо x=(-1)ⁿ П/6+Пn, nЄZ.

Відповідь:П/2 +2Пn, nЄZ;

(-1)ⁿ П/6+Пn, nЄZ.


3385472

Приклад алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функції 5. Розв'яжіть рівняння

cos2x-5sinx-3=0;

Розв'язання

1-2sin²x-5sinx-3=0;

2sin²x+5sinx+2=0;

Нехай sinx=t, де |t|≤1, тоді

2t²+5t+2=0;

t1=-2 – не задовольняє умову |t|≤1;

t2=-½


3385472

II. алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїРозв'язування тригонометричних рівнянь за допомогою формул і розкладанням на множники

Приклад 6. Розв'яжіть рівняння

2sinxcos2x-1+2cos2x-sinx=0;

Розв'язання:

Згрупуємо додатки в лівій частині рівняння:

(2sinxcos2x-sinx)+(2cos2x-1)=0;

sinx(2co2x-1)+(2cos2x-1)=0;

(2cos2x-1)(sinx-1)=0;

2cos2x-1=0; cos2x=½; 2x=±П/3+2Пn, nЄZ; x=±П/6+Пn, nЄZ

sinx=-1; x=-П/2+2Пk,kЄZ; x=-П/2+2Пk, kЄZ; x=-П/2+2Пk, kЄZ;

Відповідь: ±П/6+Пn, nЄZ;

-П/2+2Пk, kЄZ.


3385472

Приклад 7. алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїРозв'яжіть рівняння

2cosxcos2x=cosx;

Розв'язання:

cosx(2cos2x-1)=0;

cosx=0; x= П/2+Пn, nЄZ; x= П/2+Пn, nЄZ;

2cos2x-1=0; cos2x=½; x=±П/6+Пk, kЄZ.

Відповідь: П/2+Пn, nЄZ; ±П/6+Пk, kЄZ.


3385472

Приклад 8. алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїРозв'яжіть рівняння

cos²x+cos²2x+cos²3x+cos²4x=2;

Розв'язання:

Скористаємося формулами пониження степеня:

4+ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x=0;

(cos2x+cos8x)+(cos4x+cos6x)=0;

2cos5xcos3x+2cos5xcosx=0;

2cos5x(cos3x+cosx)=0;

2cos5x2cos2xcosx=0;

cos5x=0, x= П/10+ Пn/5, nЄZ;

cos2x=0, x= П/4+ Пk/2, kЄZ;

cosx=0 , x= П/2+ Пm, mЄZ;

Відповідь: П/10+ Пn/5, nЄZ; П/4+ Пk/2, kЄZ; П/2+ Пm, mЄZ.


3385472

Приклад 9. алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїРозв'язати рівняння

cos7x+sin5x=0;

Розв'язання

Замінимо дане рівняння рівносильним

cos7x+cos(П/2-5x)=0 ірозкладемо ліву частину на множники:

2cos(П/4+x)cos(П/4-6x)=0;

Рівняння cos(П/4+x)=0 або cos(П/4-6x)=0 мають розв'язки

x= П/4+Пn і x= П/8+ Пk/6, n, k Є Z, множини яких не перетинаються.

Відповідь: П/4+Пn іП/8+ Пk/6, n, k Є Z


3385472

Приклад 10. алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїРозв'яжіть рівняння

tgx+=3

Розв'язання

Оскільки =1+tg²x, то дане рівняння можна

записати так:

tgx+(1+tg²x)=3;

Звідси tg²x+tgx-2=0.

Нехай tgx=t, тоді

t²+t-2=0;(t+2)(t-1)=0;t=-2 або t=1.

Отримуємо, що дане рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь

tgx=1 => x= П/4+Пn, nЄZ

tgx=-2 => x= -arctg2+ Пn, nЄZ

Відповідь: П/4+Пn; -arctg2+ Пn, nЄZ


Iii sinx cosx
III. алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїРівняння, однорідні відносно sinx та cosx


3385472

Приклад 11. алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїРозв'яжіть рівняння

7sin²x-8sinxcosx-15cos²x=0;

Розв'язання:

При cosx=0 рівняння не має коренів, тому розділимо обидві його частини на cos²x≠0.

Одержимо 7tg²x-8tgx-15=0;

tgx=-1; => x=-П/4+Пn, nЄZ

tgx=15/7; => x=-arctg15/7+ Пn, nЄZ

Відповідь:-П/4+Пn; -arctg15/7+ Пn, nЄZ


3385472

Приклад 12. алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїРозв'яжіть рівняння

3sin²x+sin2x=2;

Розв'язання:

Це рівняння не є однорідним. Проте його можна легко звести до однорідного:

3sin²x+2sinxcosx=2(sin²x+cos²x);

sin²x+2sinxcosx-2cos²x=0;

tg²+2tgx-2=0;

tgx=(-1±√3).

Відповідь: x= arctg(-1±√3)+ Пn, nЄZ.


3385472

Приклад алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функції13. Розв'яжіть рівняння:

2sinx-3cosx=2;

Розв'язання :

Скористаємося формулами подвійного аргументу та основною тригонометричною тотожністю:

4sinx/2cosx/2 – 3(cos²x/2 - sin²x/2)= 2(cos²x/2+sin²x/2);

sin²x/2+4sinx/2cosx/2-5cos2x/2=0.

Поділимо обидві частини останнього рівняння на cos²x/2 і зробимо заміну tgx/2=t. Отримуємо:

t²+4t-5=0;

t1=1; => x=П/2+ 2Пn;

t2=-5; => x=-2arctg5+2Пn, nЄZ.

Відповідь: П/2+ 2Пn; -2arctg5+2Пn, nЄZ.


Asinx bcosx c ab 0
Рівняння виду алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїasinx+bcosx=c (ab≠0)


3385472

Приклад 1 алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функції4.Розв’зати рівняння:

І спосіб: Введемо допоможний кут:

ІІ спосіб: Застосуємо універсальну підстановку( b≠-c,втрати розв’язків не буде )

Відповідь:


V sinx cosx t
V. алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїРівняння,що розв’язуються за допомогою заміни sinx cosx=t

Приклад15. Розв’язати рівняння:

Розв’язання:

отже,це рівняння не

має розв’язків.

Відповідь:


3385472

Прикалад 1 алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функції6. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання:

Відповідь:


Vi sinx i cosx
VI алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функції.Розв’язування рівнянь із врахуванням обмеження функцій sinx i cosx

Приклад 17. Розв’язати рівняння:

Розв’язання:


3385472

Приклад 1 алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функції8. Розв’язати рівняння

Розв’язання:


3385472

Приклад 1 алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функції9.Розв’язання рівняння:

Розв'язання:Зведемо рівняння до вигляду

Проте sin π х≤1, а (х-1/2)²+1≥1,тому рівність можлива лише за умови:

sinπx=1, π х=

х=

Відповідь:


3385472
VII алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функції. Тригонометричні рівняння з параметрами

Приклад 20. Розв’язати рівняння:

Розв’язання:

Відповідь:


3385472

Приклад 2 алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функції1. Розв’язати рівняння:

Розв’язання:Нехай sinx=t,|t|≤1, t²+2(a-1)t-4a=0, D/4=(a-1)²+4a=

= a ²-2a+1+4a = (a+1)²≥0;

t=-a+1+a+1=2 – не задовільняє умову |t|≤1

t=-a+1-a-1 = -2a; |-2a| ≤1; 2|a| ≤1; |a| ≤1/2sinx=-2a;

Відповідь: при ає[-½;½],


ad