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弹性压杆的临界荷载

弹性压杆的临界荷载. 重 点：稳定方程的建立 边界条件的提出 等效为单个压杆 难 点：稳定方程的建立 边界条件的提出 刚度系数的确定. 一、基本假设. 二 、材料力学中的结果. 三、简单刚架 等效为 单 压杆稳定 的简化分析方法. 四、弹性压杆的稳定方程的建立， 临界荷载的求法. 本节内容提要. P l j. P. P. P. K M. K M. K M. 弹性杆的受压计算. 无限刚性杆的受压计算. 3. 屈曲变形微小，. 弹性压杆的临界荷载.

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弹性压杆的临界荷载

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Presentation Transcript

  1. 弹性压杆的临界荷载 重 点：稳定方程的建立 边界条件的提出 等效为单个压杆 难 点：稳定方程的建立 边界条件的提出 刚度系数的确定

  2. 一、基本假设 二、材料力学中的结果 三、简单刚架等效为单压杆稳定的简化分析方法 四、弹性压杆的稳定方程的建立， 临界荷载的求法 本节内容提要

  3. Pl j P P P KM KM KM 弹性杆的受压计算 无限刚性杆的受压计算 3. 屈曲变形微小， 弹性压杆的临界荷载 一、基本假设 1. 理想的中心受压直杆 2. 材料在弹性范围内，服从虎克定律

  4. 欧拉公式： μ为长度系数，μL为相当长度。 μ=2.0 μ=0.7 μ=0.5 μ=1.0 二、材料力学中的结果

  5. x M(x) Pl j y x L/2 δ x L/2 y Pl j y 已知， 推导欧拉公式 下端铰为什么没有水平约束力？

  6. x Pl j 方程的解： L/2 δ （n=1，2，3，...，）n=1时得： L/2 y x y A、B为待定系数，与边界条件有关。 代入方程，得：

  7. P 例1 P P P EI EI EI 等效为单个压杆 正对称失稳时的半结构 三、简单刚架等效为压杆稳定的简化分析方法

  8. P P 反对称失稳时的半结构 等效为单个压杆 P P 例2 P B P B EI EI EI A A

  9. P P P EI1=∞ KN KN EI 或 KN 例3

  10. P 例4 P P P P P 等效压杆 正对称失稳时的半结构

  11. P P P P 例4 P P P KM KM 反对称失稳时的半结构 或

  12. P P P P P KM KM KM KM 反对称失稳 例5

  13. P P P P P KM KM KM KM 正对称失稳

  14. P P M（x） y δ B y θ x A KM A y A KM P 四、弹性压杆的稳定方程，临界荷载 例题1 上端无转角但可侧移，弹簧铰刚度KM，杆的刚度为EI，杆长L，求临界荷载。 解：①建立图示坐标系，设A端转角为θ，x处的挠度y，B端的侧移为δ ②取x截面以下为研究对象，∑Mx=0 ，M（x） + KMθ=Py

  15. 以 代入方程中 P ③ 方程通解： δ y θ x ⅰ）当x=0时，y=0，得： A y ⅱ）当x=0时， ，得：Bk=θ ⅲ）当x=L时， ，得： M（x） + KMθ=Py ④ 边界条件：

  16. ⑤求解稳定方程 边界条件中的A、B、θ有非零解，其系数行列式D=0

  17. P B A KM 讨论： ①当KM=∞时，原来结构的稳定问题就是：下端固定，上端可滑动 取n=1得： 此时压杆的长度系数为1

  18. ②当KM=0时，原来结构的稳定问题就是：下端铰支，上端可滑动②当KM=0时，原来结构的稳定问题就是：下端铰支，上端可滑动 取n=1得临界荷载 此时压杆的长度系数为2

  19. P P δ M（x） C H/2 y ∞ B y x x H EI θ y HA A P 取整体为研究对象，求得A处的水平约束力Pδ/H 再取x截面以下为研究对象，如图。 例题2 求图示结构体系的稳定方程，求出临界荷载。 解：设C处的水平位移δ，A处的转角θ，画出失稳模态

  20. P δ M（x） y y x x θ y HA P 边界条件： 取x截面为力矩中心

  21. H=5m，kH=0.895*5=4.475 tankH=kH，=0.7

  22. 例题3 P P P HC C EI1=∞ H δ δ B M（x） H EI y x y A 取BC为研究对象∑MB’=0，Pδ=HCH 得 解：做出失稳模态

  23. P P HC δ M（x） y y x y M（x） 取x坐标以上为研究对象，∑Mx=0，得：

  24. 方程的特解： 方程的通解：

  25. P P 1 KN B L/2 KN EI L/2 A L/2 L 等效单个压杆 刚度法求KN P=1 L L/2 L/2 柔度法求KN 例题4 解：1）等效压杆如图所示 KN可由刚度法求得 KN也可由柔度法求得

  26. P M（x） y B H δ y x KNδ A y P 2）建立稳定方程 设B处的侧移为δ，弹簧的约束力H=KNδ（向左） ， A支座的水平约束力KNδ（向右） 取x截面以下为研究对象，∑Mx=0，得：

  27. P 边界条件 KN 等效单个压杆 稳定方程 3）方程的解

  28. P P θ2 δ K2 H M2 K3 EI,L y x K1 M1 θ1 失稳模态 例题5 具有三个弹簧约束的等直压杆的稳定方程。 解：失稳模态如图。上端水平位移δ，转角θ2；下端转角θ1 M1=K1θ1，M2=K2θ2，H= K3δ

  29. P δ H P M2 θ2 δ H M2 M(x) y y X截面以上隔离体 A x M1 θ1 失稳模态 取整体为研究对象，∑MA=0 取x截面上端为研究对象，∑Mx=0

  30. 令 ---------(1) 由y=0，得： 由，得 ---------(2) 边界条件： ①当x=0，

  31. 由 ，得： ----------(3) 由 （逆时针转角），得： --------------(4) ②当x=L时 (1),(2),(3),(4) 是关于A、B、δ、θ2的齐次方程组 稳定方程

  32. P B A KM 讨论 ① K2=∞，K3=0时，θ2=0，原结构问题变为 这便是例题1

  33. P ----(1) ----(2) EI , L ----(3) ----(4) 以δ=H/K3代入（1）、（2）式中，再联合（3）得 ②若K1=∞，K3=∞（此时δ=0），K2=0，则压杆变为：

  34. 关于A,B,H的齐次方程组，其系数行列式=0

  35. P P 设下端的弯矩为M H y P EI , L x H M Mx 或，直接求临界荷载 取x截面以上为研究对象

  36. 边界条件： P H y x M

  37. P EI , L ③若K1=∞，K2=0，则压杆变为：

  38. P P P Mx EI , L x y 边界条件： 或，直接求临界荷载

  39. P EA=∞ P K3 300 EI , L 300 算例： C30混凝土柱受压，L=8,10,12米 K3=118.6, 60.75, 35.2 kN/m

  40. L=12m L=8m L=10m C30混凝土柱，300*300，L=8,10,12米 P8 =1559kN, =1.41 P10=1002kN, =1.41 P12=674kN, =1.43 300*300抗压设计值1287kN 抗压标准值：1801kN

  41. 规范中轴心受压柱的正截面承载力，一般要求 以8、10米长，300*300截面柱为例，假定配置4根22钢筋

  42. P P δ K3 δ K3δ y M(x) x K3δ 失稳模态 P 取下部分为研究对象， ④若K1=0，K2=0，压杆变为：

  43. x=L，y=δ得： ---------------(2) -------------(1) 边界条件：x=0，y=0 得：A=0 再由整体平衡：Pδ=K3δL ---------------（3）

  44. 由 P-K3L=0 ，得： 称为侧倾失稳 P P K3 K3 侧倾失稳 挠曲失稳 称为挠曲失稳 由 sinkL=0 ， 得：

  45. P EI , L K1 ⑤若K2=0，K3=∞（此时δ=0），压杆变为：

  46. P P P H y Mx EI , L x H K1 y H K1 P P 边界条件： 或，直接求临界荷载

  47. P EI ,L K1 ⑥若K2=0，K3=0，压杆变为

  48. P P y EI ,L Mx x K1 K1 P 边界条件： 或，直接求临界荷载

  49. P P M(x) y EI, L y H K1 θ θ K1 K1 P ⑦若K2=∞，K3=∞ ，压杆变为

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