不可直接分離變數型

1. 不可直接分離變數型 y' = f (y/x) y' = f (ax+by) (a1x+b1y+c1)dx+(a2x+b2y+c2)dy=0 y．f(xy)dx+x．g(xy)dy=0 以上四種類型皆難以直接分離變數， 必須藉由適當之「變數變換」始可作 變數分離。 d6

2. 不可直接分離變數型之一 y y' = f(----) x y 變數變換：令u≡---- x d6

3. yy【例】解 y' = ---- - (----)2xx --------------------------------------------------------- y Sol.令 u≡----，即 y = ux且dy = udx + xdu， x 則原式為 udx + xdu = (u-u2)dx， 重新合併成 xdu + u2dx = 0， dudx 同除 xu2作變數分離：----- + -----= 0， u2x 1 積分得 - ---- + ln|x|= C， u x 即 - ---- + ln|x|= C。 y

4. 【例】解 xdy + (xey/x-y)dx = 0 --------------------------------------------------------- y Sol.令 u≡----，即 y = ux且dy = udx + xdu， x 則原式為 x(udx+xdu)+(xeu-ux)dx = 0， 重新合併成 xdu + eudx = 0， dx 同除 xeu作變數分離：e-udu + -----= 0， x 積分得 -e-u + ln|x|= C， 即 -e-y/x + ln|x|= C。 d6

5. 【練習】試解 (y2-x2)dx-2xydy = 0 ----------------------------------------------------------------- y y Sol.原式同除 x2，得 [(----)2-1]dx –2(----)dy = 0； x x y 令 u≡----，即 y = ux且dy = udx + xdu， x 則原式為 (u2-1)dx –2u(udx + xdu) = 0， 即 2xudu + (u2+1)dx = 0， 2u 1 同除 x(u2+1) 成 --------du + ----dx = 0； u2+1 x 積分得 ln(u2+1)+ ln|x|= c或 x(u2+1) = c1， 即 y2+x2 = c1x。

6. 不可直接分離變數型之二  y' = f (ax+by) 變數變換：令 u≡ax+by d6

7. 【例】解 y' = x + y --------------------------------------------------------- Sol.原式為y' = f(ax+by)型，故令u≡x+y， 即 y = u-x且 dy = du-dx， 則原式為du-dx = udx或du=(u+1)dx， 各項同除 (u+1) 後積分如下： 1 ∫------- du =∫dx + C， u+1 得 ln|u+1| = x+C， 即 ln|x+y+1| = x+C。

8. 【例】解 y' = tan2(x + y) --------------------------------------------------------- Sol.原式為y' = f(ax+by)型，故令u≡x+y， 即 y = u-x且 dy = du-dx， 則原式為du-dx = tan2udx， 重組成 cos2udu = dx後積分如下： ∫cos2udu =∫dx + C， 得 2u+sin2u = 4x+C1， 即 2(x+y)+sin2(x+y) = 4x+C1。 d6

9. 【練習】解 y' = (y-4x)2 --------------------------------------------------------- Sol.原式為y'=f(ax+by)型，故令u≡y-4x， 即 y = u+4x且 dy = du+4dx， 則原式為du+4dx = u2dx或du=(u2-4)dx 各項同除 (u2-4) 後積分如下： 1 |u-2| ∫------- du =∫dx+C，得 ln-------- =4x+C u2-4 |u+2| |y-4x-2| 即 ln-------------- = 4x+C。 |y-4x+2|