§1 ． 7 极限存在准则 两个重要极限

1. §1．7 极限存在准则 两个重要极限 一、准则I 准则I 、准则I 二、第一个重要极限 第一个重要极限 三、准则II 单调数列、准则II 四、第二个重要极限 第二个重要极限 五、求极限小结

2. 一、准则 I 准则 I： 如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件： (1) ynxnzn(n=1，2，3，…)， 证明 由极限的定义，e >0， N>0，当n>N时，有|yn-a|<e及|zn-a|<e， 即 a-e<yn<a+e，a-e<zn<a+e， 又因ynxnzn，所以当n>N时，有 a-e<ynxnzn<a+e， 即|xn-a|<e．

3. 一、准则 I 准则 I： 如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件： (1) ynxnzn(n=1，2，3，…)， 准则 I： 如果函数g(x)、f(x)及h(x)满足下列条件：

4. D B 1 ) x O A C 二、第一个重要极限 第一个重要极限： 证明 如图， AOB的面积<扇形AOB的面积<AOD， 因此 即 sin x<x<tan x． 于是

5. 二、第一个重要极限 第一个重要极限： 因为，令u=a(x)，则u0，于是

6. 解 =1．

7. 三、准则 II 单调数列： 如果数列{xn}满足条件 x 1x 2x 3 …xnxn+1 … 就称数列{xn}是单调增加的； 如果数列{xn}满足条件 x 1x 2x 3 …xnxn+1 … 就称数列{xn}是单调减少的． 单调增加和单调减少数列统称为单调数列． 准则 II： 单调有界数列必有极限．

8. 注：在第三节中曾证明：收敛的数列一定有界．但那时也注：在第三节中曾证明：收敛的数列一定有界．但那时也 曾指出：有界的数列不一定收敛．现在准则II表明：如果数列 不仅有界，并且是单调的，那么这数列的极限必定存在，也就 是这数列一定收敛．

9. 四、第二个重要极限 可以证明数列{xn}是单调增加并且有界． 根据准则II，数列{xn}必有极限． 这个极限我们用e来表示．即 e 是个无理数，它的值是e=2.718281828459045 ···． 还可证明

10. 第二个重要极限： 注：

11. 解 令t=-x，则x时，t．于是

12. 五、求极限小结