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從學力檢測談補救教學 - 以幾何為例. 臺北市國小數學科兼任輔導員 南湖國小 曾婉菁. 何謂幾何 1/2. Geometry( 幾何學 ) 一詞的拉丁文是 geometein ， geo 是土地的意思， metein 則是測量的意思，原意就是土地測量，研究物體形狀、大小、位置以及他們相互關係的學科，包括點、直線、圓、曲線、平面與立體，以前也稱之為 【 形 學 】 。. 何謂 幾何 2/2.
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從學力檢測談補救教學-以幾何為例 臺北市國小數學科兼任輔導員 南湖國小 曾婉菁
何謂幾何1/2 • Geometry(幾何學)一詞的拉丁文是geometein，geo是土地的意思，metein則是測量的意思，原意就是土地測量，研究物體形狀、大小、位置以及他們相互關係的學科，包括點、直線、圓、曲線、平面與立體，以前也稱之為【形學】。
何謂幾何2/2 • 一般在歷史上，我們將幾何學的起源歸功於古埃及人與尼羅河的長期互動，例如:古希臘歷史學家希羅多得(Herodotus，約485–430B.C.)在其書中的說法，認為尼羅河的氾濫，帶來了肥沃的土壤，但同時也淹沒了河畔的土地，為了解決疆界劃分的問題，需要每次重新丈量土地，負責測量土地的操繩師(rope-strechers)於是可以累積豐富的幾何知識，例如:他們已打結或做上記號的方式做出等間距，再作為測量的標準。 圖片取自http://vovo2000.com/m/?t=334121
關於幾何，正綱這麼說… • 人是視覺的動物，為了生存，人類天賦的「形」或「幾何」直覺，遠比一般人所想像要豐富堅實。典型的視覺影像處理─如直線、圖形的邊緣、平行與垂直、對稱、全等操作、放大縮小、圖形識別等，對人類大腦輕而易舉，卻是電腦處理的重大挑戰。因此，幾何不但是數學教育中的重要課題，而且也是較易學習、較有趣的教學單元。
小學的幾何教學 • 小學的幾何教學，可以參考幾何歷史發展的軌跡與學童認知發展階段，儘量讓學童發揮、拓展其幾何直覺，在操作中，認識各種簡單幾何形體與其性質，再慢慢加入簡單的推理性質與彼此之間的關係，為以後銜接國中幾何的教學，打下良好的基礎。
Van Hiele夫婦的幾何思考發展理論3/3 高年級約在第一~第二層次過渡時期
國小的幾何教學要點 • A.一年級到三年級：較強調幾何形體的認識、探索與操作，學生對幾何形體中的幾何要素，也許能指認，但尚不清楚其結構意義。 • B.四年級到六年級：由於數與量的發展逐漸成熟，學生開始結合「數」與「形」兩大主題，學習運用幾何形體的構成要素(如角、邊、面)及其數量性質(如角度、邊長、面積)來描述特殊幾何形體的特徵與性質。
九年一貫正式綱要數學學習領域-各階段幾何之教學目標九年一貫正式綱要數學學習領域-各階段幾何之教學目標
六年級學生在學力測驗幾何考查的內容 • 理解平面圖形上的線對稱性質 • 辨認平面圖形上的線對稱關係 • 三角形的內角和為180°的概念 • 認識三角形與四邊形的性質 • 三角形任意兩邊和大於第三邊的性質 • 認識圓心角 • 認識扇形 • 認識正方體與長方體的構成要素、簡單平面圖形 • 面的垂直與平行 • 報讀量角器上的角度 • 認識角柱體與角椎體的構成要素 • 理解垂直的意義 • 全等圖形的對應邊
99試題舉例-等腰三角形的三個角的關係 • 一個等腰三角形的頂角為82°，問一個底角是幾度？ • ①82°(13.45%) • ②54° (4.99%) • ③8°(4.43%) • ④46°(76.92%) 學生誤以為頂角與一個底角的角度大小相同 知道180°-82°是二個底角的和，但減法的計算過程忘了退位 以為一個底角和一個頂角的和是90°，這類學生可能不知道一個三角形的內角和是180°，也不知道等腰三角形中頂角與底角的意義
100試題舉例-等腰三角形的三個角的關係 • 一個等腰三角形的頂角為82°，問一個底角是幾度？ • ①82°(14.69%) • ②54° (5.13%) • ③8°(4.84%) • ④46°(75.12%)
99試題舉例-柱體與錐體的構成要素 • 關於六角錐與六角柱的敘述，哪一個是正確的？ • ①六角錐有6 個面(11.61%) • ②六角錐的側面是長方形(8.88%) • ③六角柱的側面是六邊形(4.43%) 學生不理解錐體面的總個數是所有的側面再加上一個底面 學生不理解所有角錐的側面都是等腰三角形 學生不理解角柱的側面和底面的意義，誤把側面當成底面。
101試題舉例關於六角錐與六角柱的敘述，哪一個是正確的？101試題舉例關於六角錐與六角柱的敘述，哪一個是正確的？ • 六角柱有12 個頂點(70.13%) • 六角錐的側面是長方形(8.29%) • 六角錐有6 個面(12.05%) • 六角柱的側面是六邊形(9%)
99 年和101年度錯誤類型的回答情形如下表，發現學生錯誤類型比例有一致性，可見這概念是學生學習上的盲點。
99試題舉例-三角形任意兩邊和大於第三邊 • 用10 公分、10 公分、20 公分的三根竹棒，拼成一個三角形，下列敘述何者正確？ • ①可以拼成等腰三角形(33.59%) • ②可以拼成鈍角三角形(6.27%) • ③可以拼成直角三角形(4.64%) 不理解三角形任二邊和要大於第三邊的原理，看到有二個10 公分即認為可以拼成等腰三角形 ②③類的學生可能錯誤的原因是：完全不理解三角形任二邊和要大於第三邊的原理。
100試題舉例-三角形任意兩邊和大於第三邊 • 小明想要用三支吸管圍成一個三角形，她已經有30 公分和24 公分的兩支吸管，另外一支吸管的長度可能是幾公分？ • ①78(10.63%) • ②54(10.03%) • ③6(9.52%) 不理解任選兩邊和小於第三邊時，無法組成三角形 不理解任選兩邊和等於第三邊時，無法組成三角形 不理解任選兩邊差等於第三邊時，無法組成三角形
面的垂直與平行-以正方體為例 http://www.paps.kh.edu.tw/whm/math/flash/cexp.htm
101試題舉例-理解平面圖形上的線對稱性質 • 將一個正三角形沿著對稱軸對摺，對摺後是什麼圖形？ • ①正三角形(7.39%) • ②等腰三角形(14.56%) • ③直角三角形(54.69%) • ④等腰直角三角形(21.84%) 未理解對稱軸的性質，以為正三角形剪開仍是正三角形 看起來好像接近等腰三角形，未注意剪開後三角形的角度不相等 知道正三角形的對稱軸會與底邊垂直，但是未注意剪開後三角形的角度不相等
101試題舉例-三角形的內角和為180°的概念 • 三角形三個角分別是角A、角B、角C，剪下三角形中的角A 和角B 拼成一個如下圖(圖略)的大角，如果角C＝36°，則拼出的大角為幾度？ • ①36° (4.25%) • ②126° (11.62%) • ③144° (75.58%) • ④154° (8.02%) 未了解題意，直接選擇角C 的角度 未了解題意，以為90°+36°=126° 答對策略可能是：三角形的三個角剪下後，拼貼在一起，會等於平角，所以角A 加角B=180°-角C=180°-36° =144°。 學生算180°-36°時，計算錯誤
99年建構反應題- 「畫一個135 度的角。 (可以使用量角器來幫助你作答)」 • 類別:評閱標準 • 2-A:正確畫出135°，誤差值±2°。 • 1-A :畫出一個平角分成135°和45°兩個角，但沒標出 哪一個角是135°。 • 0-B :畫成45°。 • 0-C :畫成130°。 • 0-D:畫成140°。 • 0-X :畫成其他度數。
教學建議 • 從旋轉角引入量角器的使用 • 熟練量角器的操作
五年級學生在幾何向度考查的內容 • 矩形的構成要素 • 平面圖形全等的意義 • 旋轉角的意義 • 角的大小比較 • 平行和垂直的意義 • 常見四邊形的性質 • 圓的性質 • 透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形的問題。
102試題舉例-旋轉角的意義 • 時針從6 點鐘走到9 點鐘共轉了幾度？ • ①15° (5.51%) • ②30° (5.27%) • ③45° (12.92%) • ④90° (75.96%) 從刻度6 到刻度9 是15 分鐘，所以是15 度 受「6 點鐘」影響，認為刻度6 是30 分鐘，是30 度 受「9 點鐘」影響，刻度9 是45 分鐘，是45 度
102試題舉例-四邊形 的性質 • 下列哪一個選項的敘述是錯誤的？ • ①平行四邊形的性質只有兩雙對邊互相平行(58.78%) • ②半徑的2 倍長是直徑(70.97%) • ③半徑不一定都會通過圓心(5%) • ④直徑是圓周上任意兩點的連線 (5.97%) 對於半徑和直徑的定義是混淆的 學生認為只有直徑才會通過圓心 學生認為圓周上的任意兩個點的連線都稱為直徑，缺乏釐清弧、直徑的差別
102試題舉例-角的大小比較 • 有一個四邊形（如下圖），哪一個角最大？ ①58.23% ②3.85%，學生以為角度90 度的直角最大 ③19.92%，學生受角的迷思概念影響，認為角的兩個邊，長度愈長，角度愈大 ④16.48%，理由同 ③
