Download
1 / 19
190 likes | 396 Views
Wykład 1. ALGEBRA ZBIORÓW. Zbiór. Przykłady: zbiór studentów 1go roku PJWSTK zbiór książek w bibliotece zbiór liczb naturalnych (ozn. N) zbiór liczb rzeczywistych (ozn. R) zbiór słów nad alfabetem A (ozn. A*).
E N D
Wykład 1 ALGEBRA ZBIORÓW Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001
Zbiór • Przykłady: • zbiór studentów 1go roku PJWSTK • zbiór książek w bibliotece • zbiór liczb naturalnych (ozn. N) • zbiór liczb rzeczywistych (ozn. R) • zbiór słów nad alfabetem A (ozn. A*) Zamiast mówić, że 5 jest liczbą naturalną, mówimy, że 5 należy do zbioru liczb naturalnych i piszemy 5N. Symbol nazywamy relacją należenia. Jeśli element nie należy do zbioru, np. -2.5 nie jest liczbą naturalną, tzn. -2.5 nie należy do zbioru N, tzn. -2.5 N. Dział matematyki, którego zadaniem jest badanie ogólnych własności zbiorów nazywamy Teorią Mnogości. Za jego twórcę uważa się George Cantora. Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001
Definiowanie zbiorów A = {a,b,c,d,e,f,g} • przez wymienienie ich elementów • przez podanie własności, które muszą spełniać elementy • przez podanie sposobu wyliczania elementów Zbiór A nie jest pusty, bo należy do niego element a. A, bo aA. Jeśli jakiś obiekt nie należy do zbioru, to używamy symbolu , np. h A. Nie ma takiego obiektu, który należałby do zbioru pustego! B = {x : xN oraz x<6} C = {x2 + 1 : xN} Jeśli zbiór nie posiada żadnych elementów, to powiemy że jest pusty. Zbiór pusty oznaczamy przez . Przykład Jeśli A= {0,1}, to 000 A*, 010101 A*. Do zbioru A* zalicza się też ciąg pusty ozn. Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001
Równość zbiorów Definicja Powiemy, że dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy gdy mają dokładnie te same elementy. A = B wttw dla dowolnego x, jeżeli x A, to x B i odwrotnie jeżeli x B, to x A . Przykład A = {5,50,500,5000} = {5* 10x: xN i x<4} A = {5000,5,50,500} AB wttw istnieje taki element zbioru A, który nie należy do B lub istnieje taki element zbioru B, który nie należy do A. Uwaga : Jeżeli A = B i B= C , to A = C. Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001
Relacja zawierania inkluzja Definicja Powiemy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B, ozn. A B wttw dla dowolnego obiektu x, jeśli x A, to x B. Jeśli A=B, to również AB. O zbiorze A mówimy, że jest podzbiorem zbioru B, a o B mówimy, że jest nadzbiorem A. Jeśli AB i A B, to mówimy, że A jest właściwym podzbiorem zbioru B, ozn. A B. Zbiór B zawiera zbiór A B A jest zawarty w zbiorze B A Przykłady: N R, Q R, Z R {d, a} {a,b,c,d,e,f} Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001
Relacja zawierania Jeżeli zbiór A nie zawiera się w zbiorze B, tzn. nie jest prawdą, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B, to musi istnieć taki obiekt (element), który należy do zboru A i jednocześnie nie należy do zbioru B. A A B B A B wttw istnieje takie x, że xA i x B. A B Przykład. Zbiór liczb podzielnych przez 2 nie jest podzbiorem zbioru liczb podzielnych przez 5, bo np. 4 jest podzielne przez 2 a nie jest podzielne przez 5. Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001
Własności inkluzji • Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C : • A • A A • Jeśli A B oraz B C, to A C. • Jeśli A B oraz B A, to A = B. • Jeśli A B, to non A B lub non B A. Uwaga Jeśli xA, to { x} A. Zbiór, który składa się z wszystkich podzbiorów pewnego zbioru A nazywa się zbiorem potęgowym. Ozn. P(A) Przykład P() = {} Niech A={1,2,3}. Wtedy P(A) = {, {1},{2}, {3}, {1,2},{2,3},{1,3}, {1,2,3}} Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001
Suma zbiorów Definicja Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementami są wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B. Sumę zbiorów A i B oznaczamy przez A B . x A B wttw x A lub x B A B Uwaga Kiedy x A B? x A B wttw x A i x B Przykład. A={3k: k N}, B= {2k : k N}. A B = {n: n jest liczbą,, która dzieli się przez 2 lub przez 3. Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001
Własności sumy • Twierdzenie • Dla dowolnych zbiorów A,B,C : • A = A • A A = A • A B = B A • (A B) C = A (B C) przemienność łączność Uwaga Powyższe równości można udowodnić wykazując, że jeżeli element należy do lewej strony równości, to należy do prawej strony i odwrotnie. Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001
Inkluzja a suma • Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A, B, C: • A A B oraz B A B • Jeśli A C i B C , to A B C • Jeśli A B i C D , to A C B D • A B wttw A B = B Dowód (4). Niech A B oraz x A B . Wtedy x należy albo do A lub do B. Na mocy założenia , jeśli x A, to x B. Zatem x B .Ponieważ powyższe rozumowanie jest poprawne dla dowolnego x więc udowodniliśmy, że jeśli A B to A B= B. Odwrotnie, załóżmy, że A B = B. Jeżeli x A wtedy x A B, a ponieważ zbiory A B i B są równe więc x B. Czyli A B. Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001
Iloczyn zbiorów Definicja Iloczynem(przecięciem) zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementami są te elementy zbioru A , które są równocześnie elementami zbioru B. x A B wttw x A i x B Kiedy element nie należy do iloczynu? B A x A B wttw x A lub x B Przykład. A={2i : i<16} B={3i : i<11} A B={0,6,12,18,24,30}= {6i : i < 6} Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001
Własności iloczynu • Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C : • A = • A A = A • A B = B A • (A B) C = A (B C) przemienność łączność Diagramy Eulera-Venna A B A B = C C Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001
Iloczyn a suma Prawa absorbcji • Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C : • A (A B) = A (A B) B = B • A (B C) = (A B) (A C) • A (B C) = (A B) (A C) Prawa rozdzielnosci Przykład dowodu (3): (A B) (A C) A (B C) A B A B = C C Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001
Różnica symetryczna Róznicą symetryczną zbiorów A, B nazywamy zbiór A B taki, że x A lub x B ale x nie należy do obu zbiorów równocześnie. Przykład A= {2i : i<6} B= {3i : i<6} A B = {2, 3,4,8,9,10,15} A B = {0,2,3,4,6,8,9,10,12,15} Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001
Różnica zbiorów Definicja Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór , którego elementami są te obiekty zbioru A, które nie są równocześnie elementami zbioru B.Różnicę zbiorów oznaczamy przez A\B. x A\B wttw x A i x B Przykład A= {1,2,3,4,5,6} B={ 2i+1: i<5} wtedy A\B = {2,4,6} B\A = {7,9} A B Uwaga x A B wttw x A\B lub x B\A. x A\ B wttw x A lub x B . Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001
Własności różnicy Dowód (3) • Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B,C : • A\B A • A B wttw A\B = • Jeśli A B, to C\B C\A • Jeśli A \(B C)= (A\B)\C. B C A B C A Dowód (4): x A \(B C) wttw x A i x (B C) wttw x A i xB i xC wttw x A\B i xC wttw x (A \B)\C. A\(B C) = (A\B) (A\C) A\(B C) = (A\B) (A\C) Prawa de Morgana C\B C\A Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001
Dopełnienie zbioru W zastosowaniach algebry zbiorów bardzo często ograniczamy się do podzbiorów pewnego ustalonego zbioru. Nazywać go będziemy uniwersum, lub przestrzenią. Definicja Dopełnieniem(Uzupełnieniem) zbioru A w przestrzeni U nazywamy zbiór -A, którego elementami są wszystkie elementy przestrzeni U nie należące do zbioru A, tzn. dla dowolnego x U i dowolnego podzbioru A przestrzeni U: x- A wttw x A Oczywiście mamy U\A = -A U Przykład Niech uniwersum U=N oraz A={2i: i N}. Wtedy -A jest zbiorem wszystkich liczb nieparzystych. A Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001
Własności dopełnień • Twierdzenie Dla dowolnych zbiorów A,B pewnego uniwersum U : • -= U -U= • -(-A ) = A • Jeśli A B, to - B -A. Prawa de Morgana -(A B) = -A -B -(A B) = -A -B Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001
Działania nieskończone(tego nie było trzeba zrobić później) Definicja Niech będzie rodzina zbiorów A= {Ai : i I}. Sumą nieskończonej rodziny zbiorów nazywamy zbiór Ai taki, że x Ai wttw istnieje takie i I, że x Ai . Iloczynem (lub przecięciem) nieskończonej rodziny zbiorów nazywamy zbiór Ai taki, że x Ai wttw dla wszystkich i I, x Ai Przykład. 1.Niech dla i N, Ai = zbiór ciągów długości i o elementach z pewnego zbioru S. Wtedy zbiór Ai = S*. 2. Ai = {x R : x<i} dla i N Ai = R Ai = {x R : x<0} + 0 x Grazyna Mirkowska Matematyka Dyskretna PJWSTK 2001
