3.1.4 空间向量的坐标表示

1. 3.1.4空间向量的坐标表示

2. 提 问: 我们知道,在平面直角坐标系中,平面上任 意一点的位置都有唯一的坐标来表示. 那空间中任意一点的位置怎样用坐标来 表示?

3. z 墙 4 墙 3 地面 1 O y 1 5 4 x 一、空间直角坐标系 下图是一个房间的示意图,我们来探讨表示电灯位置的方法. (4,5,3)

4. z o y x 从空间某一个定点０引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系０－xyz． 点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和Zox平面．

5. z y x 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 说明: ☆我们一般建立的坐标系 都是右手直角坐标系. o

6. z 1350 y 1350 x 空间直角坐标系的画法: 1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴． 2.y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的单位长度的一半． o

7. z o b y x a c Ａ 有了空间直角坐标系，那空间中的 任意一点Ａ怎样来表示它的坐标呢？ 　　经过A点作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于三点，三点在相应的坐标轴上的坐标a,b,c组成的有序实数对（a,b,c)叫做点Ａ的坐标 (a,b,c) 记为：Ａ（a,b,c)

8. z Ｐ （５,４,６） 从原点出发沿x轴 o y 正方向移动５个单位 ６ 沿与y轴平行的方向 ５ x Ｐ１ 向右移动４个单位 ４ Ｐ2 沿与z轴平行的方向 向上移动６个单位 例１ 在空间直角坐标系中，作出点（５,４,６）. 分析： Ｏ Ｐ1 Ｐ1 Ｐ2 Ｐ2 Ｐ

9. z A` D` B` C` A D O y B C x 例２．如图，已知长方体ABCD-A`B`C`D`的边长为 AB=12,AD=8,AA`=5.以这个长方体的顶点Ａ为坐标 原点，射线AB,AD,AA`分别为x轴、y轴和z轴的正半 轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标．

10. 在空间直角坐标系中,x轴上的点、xoy坐标平面内的点的坐标各有什么特点？在空间直角坐标系中,x轴上的点、xoy坐标平面内的点的坐标各有什么特点？ １．x轴上的点横 坐标就是与x轴交 点的坐标，纵坐标 和竖坐标都是０． ２．xoy坐标平面 内的点的竖坐标为 ０，横坐标与纵坐 标分别是点向两轴 作垂线交点的坐标．

11. 单位正交基底： 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且大小都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 来表示. 因此我们可以类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系

12. 空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底 以点O为原点，分别以 的正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O —xyz . x轴、y轴、z 轴，都叫做叫做坐标轴,点O 叫做原点，向量 都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面. z 对空间任一向量 ,由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ,使 k i j y O x

13. 在空间直角坐标系O – xyz中，对空间任一点A, 对应一个向量 ,于是存在唯一的有序实数组 x, y, z,使 (如图). z A(x,y,z) k y i O j x 我们说,点A的坐标为(x,y,z),记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标. 显然, 向量 的坐标，就是点A在此空间直角坐标系中的坐标(x,y,z). 也就是说,以O为起点的有向线段 (向量)的坐标可以和点的坐标建立起一一对应的关系,从而互相转化.

14. 设 空间向量运算的坐标规律: , 则

15. 练习1:已知 求 解:

16. AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 ,y2-y1 ,z2-z1) 如果知道有向线段的起点和终点的坐标, 那么有向线段表示的向量坐标怎样求? 结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标。

17. 小结： 1、空间向量的坐标运算； 2、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键： 首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。