TEMA 5: DIFERENCIACIÓN

1. TEMA 5: DIFERENCIACIÓN La derivada y su interpretación geométrica y económica Propiedades de la derivada La regla de la cadena Teoremas de Rolle y del Valor Medio Regla de l’Hôpital Derivadas sucesivas Polinomio de Taylor Extremos relativos Concavidad y Convexidad

2. La derivada y su interpretación geométrica y económica • Definición. Dada una función f : D     y un punto a  D, se dice que f es derivable en el punto a si existe En este caso dicho límite se denota por f’(a) y se dice que es la derivada de f en a. La derivada de f en a se puede expresar de distintas formas:

3. f(x) f(a) f(a+h) f(a+h)-f(a) h a a+h INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA y=f(a)+m(x-a) f’(a)=m= pendiente de la recta tangente a f(x) enP(a,f(a)) es igual a la tg, siendo el ángulo formado por la recta tangente con el eje OX.

4. TASAS DE CAMBIO Y SU INTERPRETACIÓN ECONÓMICA Sea la función y = f(x), y supongamos que x toma los valores a and a+h. Entonces, el cambio en el valor de la función (incremento de f) es f(a) = f(a+h) – f(a) La tasa de cambio media de f en el intervalo entre a y a+h es La tasa de cambio instantánea de f en a es f’(a) La tasa de cambio proporcional de f en a is f’(a)/f(a). Esta tasa es conocida también como tasa de cambio relativa.

5. Derivadas

6. Algebra de DerivadasDadas dos funciones f , g:Dderivables en D, se verifica que 1. f+g es derivable en D y (f+g)’(x)= f’(x)+g’(x)2. f.g es derivable en D y (f.g)’(x)= f’(x).g(x)+f(x).g’(x)3. (f/g) es derivable en D, si g(x)0, xD y (f/g)’(x)=(f’(x).g(x)-f(x).g’(x))/(g(x)2)4. f(x) es derivable en D y (f(x))’= f’(x)5. Regla de la cadena: Si f(x) es derivable en a y g(x) es derivable en f(a), (gof)(x) es derivable en a y se verifica(gof)’(a)=g’(f(a)).f’(a)

7. Ejemplos de funciones compuestas derivables Si u = u(x) es una función de x, entonces f(x)=u f’(x)=u’; f(x)=a.u f’(x)=a.u’f(x)=un f’(x)= n.un-1u’f(x)=eu f’(x)= euu’; f(x)=au f’(x)=u’.au.ln af(x)=logau f’(x)= (u’/u)logaef(x)= sen u f’(x)=u’cos uf(x) = cos u f’(x) = -u’.sen u f(x)= tag u f’(x)= u’(1+tag2u)=u’/(cos2u) f(x)=arctg u f’(x)=u’/(1+u2)

8. INTERPRETACIÓN ECONÓMICA •  Si C(x) es el coste de producir x unidades, C’(x) es el coste marginal (en x) • Si R(x) es el ingreso por vender x unidades, R’(x) es el ingreso marginal (en x) • Si (x) es el beneficio por producir (y vender) x unidades, ’(x) es el beneficio marginal. • Enn general en Economía, Marginal = Derivada. • La propensión marginal al consumo es la derivada de la función consumo con respecto a la renta. • El producto marginal (o productividad) del trabajo es la derivada de la función de produción con respecto al trabajo. • A veces se aproxima C’(x)  C(x+1)-C(x) • La elasticidad de f con respecto a x es

9. FUNCIONES MONÓTONAS. CARACTERIZACIÓN • Dada una función f: D derivable en D, se verifica que: • f’(x) 0 en D si y solo si f es creciente en D. • f’(x) 0 en D si y solo si f es decreciente en D. • f’(x) =0 en D si y solo si f es constante en D. • f’(x) >0 en D si y solo si f es estrictamente creciente en D. • f’(x) <0 en D si y solo si f es estrictamente decreciente en D. • Proposición. • Dada una función f: D derivable en aD, entonces f es continua en a.

10. Teorema de Rolle Dada una función f: [a,b]   derivable en (a,b) y continua en los extremos a y b, se verifica que Si f(a) = f(b), entonces existe un punto interior c, por los menos, en el que f’(c) = 0. Teorema del Valor Medio Dada una función f: [a,b]   derivable en (a,b) y continua en los extremos a y b, se verifica que existe un punto c(a,b) tal que f(b) - f(a) = f’(c).(b-a) Teorema del valor medio generalizado Dadas dos funciones f, g: [a,b]   derivables en (a,b), continuas en los extremos a y b, y tales que no existe ningún punto x del interior del intervalo en el que f’(x) y g’(x) sean ambas infinitas, se verifica que existe algún punto c interior al intervalo donde g’(c)[f(b) - f(a)] = f’(c).[g(b)-g(a)] Si g(x)= x, se obtiene el Teorema anterior

11. APROXIMACIÓN LINEAL Y DIFERENCIAL Sea una función f(x) derivable en x=a. La tangente a la gráfica en el punto (a,f(a)) tiene por ecuación y=f(a)+f’(a)(x-a) Si aproximamos la gráfica de f por su recta tangente en x=a, estamos haciendo una aproximación lineal en f de modo que f(x) f(a)+f’(a)(x-a) (x próximo a a) f(x) f(a) x

12. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN Sea una función derivable y=f(x), y denotemos por dx un incremento arbitrario de la variable x. Llamaremos diferencial de f a la expresión f’(x)dx, y la denotamos por dy (or df) df(x)= dy= f’(x)dx ≈f(x+dx)-f(x) Idea intuitiva: Vease la aproximación lineal. Reglas para el cálculo diferencial d(af+bg)=adf+adg d(f.g)=df.g+f.dg….. DERIVACIÓN IMPLICITA Si dos variables x e y están relacionadas por una ecuación, para hallar y’(x):   1-       Derivar cada lado de la ecuación c.r.a. x considerando y como función de x  2- Resolver la ecuación resultante respecto a y’.

13. Derivadas de orden superior Dada una función f: D   derivable en D, se puede considerar la función derivada primera de f f’: D   /xf’(x) Del mismo modo, si f’ es derivable en D, se denomina derivada segunda a la función f’’=(f’)’ D   / x(f’(x))’ Sucesivamente, se define la derivada n-ésima de f, si existe, como f (n = (f(n-1))’ :D  /x (f(n-1 (x) )’

14. INDETERMINACIONES. REGLA DE L’HÔPITAL En el estudio de un límite cuando x tiene a a de un cociente en el que el numerador y el denominador tienden a 0, escribimos Este límite es una Indeterminación del tipo 0/0. (a puede ser sustituido por a+, a-,.) Regla de L’Hôpital (versión simple) Si f y g son diferenciables en a, con g(a)=f(a)=0, y g’(a)0, then

15. Teorema: Regla de L’Hôpital (tipo 0/0) • Supongamos dos funciones f y g diferenciables en (,) que contine al punto a, excepto posibiblemente en a, y supongamos que f(x) y g(x) ambas tienden a 0 cuando x tiende a a. Si g’(x)0 para todo xa en (,), y si • con L finito, L = +, L=-, entonces • Teorema: Regla de L’Hôpital (otros tipos de indeterminaciones) • La regla de L’Hôpital se puede extender a otros casos. Por ejemplo: • a puede tomar los valores . • a puede ser un punto extremo del intervalo (,). • La regla también se verifica cuando la indeterminación es del tipo /.

16. FORMULA DE TAYLOR Intuición: Recordar la fórmula de la recta tangente a la función f en un punto a y=f(a)+ f’(a)(x-a) Esta línea esta tan cerca de la función como se quiera si se considera un x suficientemente cercano a a. Formula de Taylor  Supongamos f es n+1 veces diferenciable en un intervalo que contiene a (a-h,a+h). Entonces, si x  (a-h,a+h), f(x) puede escribirse como  donde Rn+1(x) es el Resto de Taylor, y viene dado por  para algún número real c entre x y a.

17. Esto significa que  Cuanto mayor es n, mejor es la aproximación Si a=0, la fórmula de Taylor es conocida como Fórmula de McLaurin

18. PUNTOS EXTREMOS (OPTIMOS) Sea f: D una función. Diremos que  c  D es un punto máximo global de f  f(x)  f(c) para todo x en D c  D es un punto mínimo global de f  f(c)  f(x) para todo x en D  Si el valor de f en c es estrictamente mayor que en cualquier otro punto de D, entonces c es un punto máximo global estricto.  Si el valor de f en c es estrictamente menor que en cualquier otro punto de D, entonces c es un punto mínimo global estricto.

19. Si el valor de f en c es el mayor de todos los puntos de un entorno de c entonces c es un punto máximo local. • c es un punto máximo local si exite un intervalo (,) alrededor de c tal que f(x)  f(c) para todo x en (,) que esté en el dominio D. • Si el valor de f en c es el menor de todos los puntos de un entorno de c entonces c es un punto mínimo local. • c es un punto mínimo local si exite un intervalo (,) alrededor de c tal que f(c)  f(x) para todo x en (,) que esté en el dominio D..

20. Teorema Sea f una función diferenciable en un conjunto I y sea c un punto interior de I – es decir, no un punto frontera de I. Una condición necesaria para que x=c sea un punto máximo o mínimo de f en I es que x=c sea un punto estacionario de f, es decir f’(x) = 0 Test para Max/min con la primera derivada. Si f’(x) 0 para cx, y f’(x)0 para xc , entonces x = c es punto máximo de f.   Si f’(x) 0 para xc, y f’(x)0 para cx , entonces x = c es un punto mínimo de f.

21. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD Definición Dada una función f: D  , y un punto a D, Se dice que f es concava en a si y sólo si f(x)  f(a)+f’(a)(x-a) Se dice que f es convexa en a si y sólo si f(x)  f(a)+f’(a)(x-a) Proposición Dada f: D   dos veces diferenciable en D, f’’(x) es la derivada de f’(x). Se verifica que f’’(x)0 en D  f’ es creciente en D  f es convexa en D f’’(x)0 en D  f’ es decreciente en D  f es concava en D a f(x) f(x) a

22. Representación Gráfica de una Función y=f(x) 1. Dominio de la Función f(x) 2. Cortes con los ejes Corte a OX: se hace y=0, se calculan los correspondientes valores de x  Corte a OY: se hace x=0, se calculan los correspondientes valores de f(x) 3. Simetrías Respecto del eje OY: f(x)=f(-x) xDominio Respecto del origen: f(x)=-f(-x) xDominio 4. Periodicidad Funciones trigonométricas, etc....  5. Cálculo de y’=f’(x) Valores de x tales que f’(x)=0 Valores de x tales que f’(x)>0 (intervalos de crecimiento) Valores de x tales que f’(x)<0 (intervalos de decrecimiento)Si f’(x)=0, f’(x+h)>0, f’(x-h)<0 entonces en (x, f(x))mínimo Si f’(x)=0, f’(x+h)<0, f’(x+h)>0 entonces en (x,f(x))máximo

23. 6. Cálculo de y’’=f’’(x) Valores de x tales que f’’(x)>0(intervalos de convexidad) Valores de x tales que f’’(x)<0(intervalos de concavidad) Valor de f’’(x) en los puntos hallados en 3.1 f’’(x)>0 mínimos f’’(x)<0máximos 7. Cálculo del valor de la ordenada en los máximos y los mínimos 8. Cálculo de los x tales f’’(x)=0 Si sig(f’’(x+h))sig(f’’(x-h)) para 0<h< , haypunto de inflexión 9. Cálculo de f’’’(x) Si f’’’(x)0 para los valores hallados en (8), hay punto de inflexión  10. Asíntotas Verticales: las rectas x=a tales que lim f(x) = cuando xa Horizontales: y=b, tales que lim f(x)=b cuando x Oblicuas:y=mx+n tal que m=lim (f(x)/x) cuando x n=lim (f(x)-mx) cuando x 11.Regiones / GRAFICA