极限概念

极限概念 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的性质复习: • 有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量； • 有界变量与无穷小量的积仍是无穷大小量； • 有限个无穷大量的积仍是无穷大量。目录

? 有极限的变量与无穷小量有什么关系？定理 ? 如何求极限？如：、等怎么求？此定理是极限四则运算法则的理论依据 1.3 极限的运算

1.1 函数 1.2 极限的概念 1.3 极限的运算 1.4 函数的连续性第1章函数·极限·连续目录

1.3.1 极限的四则运算 1.3.2 两个重要极限 1.3 极限的运算主要内容主要内容

注： 1.法则 1.3 极限的运算 1.3.1 极限四则运算设在某极限过程中, 函数f (x)、g(x) 的极限存在, 且limf（x)=A、limg(x)=B, 则法则 1、2 可推广至有限个函数的情形. 1.3 极限的运算

2.举例 例1 例2 ? 提问:如等极限又该如何求？ 1.3.1 极限四则运算解解 1.3 极限的运算

1.法则 1.3.1 极限四则运算补充：复合函数的极限定理1·4 1.3 极限的运算

2.举例 例4 例3 1.3.1 极限四则运算解解 1.3 极限的运算

主要方法 2.举例 1.3.1 极限四则运算 • 多项式与分式函数代入法求极限; • 消去零因子法求极限; • 无穷小因子分出法求极限; • 利用无穷小运算性质求极限; • 利用左右极限求分段函数极限. 1.3 极限的运算

2.举例 例5 1.3.1 极限四则运算解 1.3 极限的运算

求 2.举例例6 求有理分式函数 x  x0的极限时,若分母不等于零,则可直接代值计算. 1.3.1 极限四则运算解 1.3 极限的运算

2.举例 1.3.1 极限四则运算一、多项式与分式函数代入法求极限 1.3 极限的运算

2.举例 例7 1.3.1 极限四则运算二、利用无穷大、小量的关系法求极限分子的极限不为零，分母的极限为零。一般先求其倒数的极限，然后再利用非零无穷小量的倒数必是无穷大量的结论求得。解 1.3 极限的运算

2.举例 例8 1.3.1 极限四则运算解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得 1.3 极限的运算

2.举例 例9 或者用下面的方法 1.3.1 极限四则运算多项式的极限不能直接用极限四则运算法则，一般先求其倒数的极限，然后再利用非零无穷小量的倒数必是无穷大量的结论求得。解 1.3 极限的运算

2.举例 1.3.1 极限四则运算三、消去零因子法求极限消去零因子法：（1）因式分解（2）有理化法（3）变量替换法 1.3 极限的运算

2.举例 例10 1.3.1 极限四则运算（1）因式分解解 (消去零因子法) 1.3 极限的运算

2.举例 例12 1.3.1 极限四则运算（2）有理化法将分子或分母有理化，约去极限为零的因式。解 1.3 极限的运算

2.举例 例13 1.3.1 极限四则运算（3）变量替换法解：令原式= 1.3 极限的运算

2.举例 1.3.1 极限四则运算四、无穷小因子分出法求极限无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母, 以分出无穷小,然后再求极限. 1.3 极限的运算

2.举例 例14 1.3.1 极限四则运算解 (无穷小因子分出法) 1.3 极限的运算

2.举例 例15 1.3.1 极限四则运算解 (无穷小因子分出法) 1.3 极限的运算

2.举例 例16 1.3.1 极限四则运算五、利用无穷小运算性质求极限解 1.3 极限的运算

2.举例 例18 1.3.1 极限四则运算六、一般采用先通分法再求极限这是两个无穷大量相减的问题.我们首先进行通分运算,设法去掉不定因素,然后运用四则运算法则求其极限. 解 1.3 极限的运算

2.举例 例19 1.3.1 极限四则运算六、也可采用先有理化再求极限有理化解 1.3 极限的运算

2.举例 例20 1.3.1 极限四则运算七、利用左右极限求分段函数在分段点的极限解左右极限存在且相等, 1.3 极限的运算

若问 b 取何值时, 存在, 并求其值. 2.举例 , 例21 , 1.3.1 极限四则运算解 b = 2 ,  由函数的极限与其左、右极限的关系, 得 1.3 极限的运算

求 2.举例例22 故 1.3.1 极限四则运算七、其他解 1.3 极限的运算

2.举例 例23 1.3.1 极限四则运算解先变形再求极限. 1.3 极限的运算

1.3.1 极限四则运算 课堂练习一、填空题: 二、求下列各极限: 1.3 极限的运算

1.求极限： 1.重要极限: ２．思考：能否用约分的方法求极限？为什么？ ? 1.3.2 两个重要极限复习引入解： 1.3 极限的运算

1.重要极限: 设有函数时，观察下表并推测的变化趋势： 1 0.1 0.01 0.001 …… 0.84147 0.99833 0.99998 0.99999 …… 1.3.2 两个重要极限 1.3 极限的运算

因为 1.重要极限: 所以是偶函数 -1 -0.1 -0.01 -0.001 …… 0.84147 0.99833 0.99998 0.99999 …… 1.3.2 两个重要极限 1.3 极限的运算

1.重要极限: 1.函数极限为型且含有三角函数 2.公式中出现的变量（可以是字母或是其它的代数式）相同且该变量趋向于零. 3.公式的等价形式为 1.3.2 两个重要极限注意 1.3 极限的运算

1.重要极限: 例1 1.3.2 两个重要极限注：在运算熟练后可不必代换，直接计算： 1.3 极限的运算

求极限: 1.重要极限: 例2 1.3.2 两个重要极限结论： 1.3 极限的运算

求极限: 1.重要极限: 例3 1.3.2 两个重要极限 1.3 极限的运算

1.重要极限: 1.3.2 两个重要极限课堂练习 1.3 极限的运算

10 100 1000 10000 2.重要极限: 设有函数 2.59374 2.70481 2.71692 2.71815 ，根据下表观察的变化趋势。 100000 1000000 … 2.71827 2.71828 ….. 1.3.2 两个重要极限引入 1.3 极限的运算

-10 -100 -1000 -10000 2.重要极限: 2.59374 2.70481 2.71692 2.71815 -100000 -1000000 … 2.71827 2.71828 ….. 时均趋于一个确定的数2.71828… 1.3.2 两个重要极限用e表示该数,e是无理数。 e=2.718281828… 1.3 极限的运算

2.重要极限: 2.底数中的无穷小量（可以是字母或是代数式）和指数互为倒数。 1.公式中底数的极限是1，指数的极限是无穷大, 函数极限为型 1.3.2 两个重要极限注意： 1.3 极限的运算

2.重要极限: 例4 1.3.2 两个重要极限解： 1.3 极限的运算

2.重要极限: 例6 1.3.2 两个重要极限另解： 1.3 极限的运算

2.重要极限: 例4 结论： 1.3.2 两个重要极限解： 1.3 极限的运算

2.重要极限: 1.3.2 两个重要极限课堂练习 1.3 极限的运算

1.3.2 两个重要极限 3.第二个重要极限的应用---复利计算公式

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