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经 济 数 学 线 性 代 数

经 济 数 学 线 性 代 数. 第7讲 矩阵的初等变换 教师：边文莉. 定义： 对矩阵 施以下述三个内容之一的一次变换，称为初等变换。. （1）交换矩阵的任意两行（列）. （2）用非零的数 乘矩阵的某一行（列）. （3）把矩阵的某一行（列）的 倍加到另一行（列）. 定义： 若矩阵 经过若干次初等变换变为矩阵 ，则称 与 等价。记做 。. （1）反身性. （2）对称性 则. （3）传递性 则. 一、矩阵的初等变换的概念.

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Presentation Transcript

  1. 经 济 数 学 线 性 代 数 第7讲 矩阵的初等变换 教师：边文莉

  2. 定义：对矩阵 施以下述三个内容之一的一次变换，称为初等变换。 （1）交换矩阵的任意两行（列） （2）用非零的数 乘矩阵的某一行（列） （3）把矩阵的某一行（列）的 倍加到另一行（列） 定义：若矩阵 经过若干次初等变换变为矩阵 ，则称 与 等价。记做 。 （1）反身性 （2）对称性 则 （3）传递性 则 一、矩阵的初等变换的概念

  3. 定理：任意 矩阵必与如下形式的矩阵 等价

  4. 例1：将下列矩阵化为等价标准型 解： 第一行乘以 ，第二行乘以 加到第三行

  5. 第一列乘以 加到第二列，乘以 加到第三列，乘以 加到第四列。

  6. 二、初等矩阵 定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等行（列）变换对应着三种不同的初等矩阵． 1．交换两行（或列）的位置

  7. 2．以非零数乘某一行（或列）

  8. 3．把某一行（或列）的k倍加到另一行（或列）上3．把某一行（或列）的k倍加到另一行（或列）上

  9. 注：初等矩阵可逆，其逆矩阵也为初等矩阵。

  10. 定理： 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵. 初等矩阵 初等变换 初等逆变换 初等逆矩阵

  11. 定理： 阶矩阵 可逆的充要条件是 证明： 1，必要性 设 的等价标准型为 ，则存在初等方阵使得 两端取行列式，由于左端为可逆阵相成所以左端不等于0，所以 故 。证毕 2，充分性

  12. 则有 故 可逆

  13. 定理： 设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵 证 即

  14. 利用初等变换求逆阵的方法：

  15. 例１ 解

  16. 即 初等行变换

  17. 例２ 解

  18. 初等变换 2. 小结 1.初等行(列)变换 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 3.矩阵等价具有的性质

  19. 4.利用矩阵的初等变换求矩阵的逆。 初等行变换

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