Presentación Funciones Exp y Log (Jorge-Mau)

1. XIII ENCUENTRO DE LA SOCIEDAD MATEMÁTICA DE NICARAGUA Articulación de los Subsistemas Medio y Superior en Matemática : ARTICULACIÓN EN FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS vs Formación de profesores en la Universidad Ejercicio profesional en Secundaria Msc. Jorge A. Velásquez Benavides UNAN-Managua Lic. Mauricio A. González Salazar UNA

2. Unas pocas palabras acerca de laContextualización de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas

3. Podemos leer lo siguiente en un documento del titulado La Contextualización en las Matemáticas, de Pedro José Zamora: «En la escuela, hoy en día, las matemáticas se muestran generalmente como una ciencia de naturaleza abstracta, en la que los conocimientos se adquieren de una forma mecánica y conducida por el profesor.

4. Los problemas que se les plantean al alumno son enunciados verbales planteados en términos matemáticos y fuertemente ligados al tipo de operación que se quiere ejercitar donde el contexto resulta irrelevante para la comprensión y la resolución matemática del problema.

5. De este modo los alumnos se limitan a adivinar o descifrar cuál es la operación que deben realizar, apelando a formas de razonamiento preestablecidas, sin poner en juego su sentido común y lo que saben acerca de cómo son las cosas fuera del ámbito de la escuela.»

6. La Articulación Educativa buscada es multimodal

7. La contextualización retrata la situación tecnológica, científica y cultural de un país. Nuestra economía agroexportadora, ¿qué oportunidades de modelación matemática ofrece? Nuestros centros de emisión de información como INETER, CIRA, CIGEO, ¿qué disponibilidad ofrecen para que profesores de matemática hagan el ejercicio de extracción de regularidades matemáticas?

8. Lo libros de texto de países avanzados revelan un nivel de desarrollo tecnológico superior al nuestro. El contexto debe ayudar a encontrar respuestas a determinadas problemáticas. Pero una respuesta es antecedida por una o varias interrogantes que reflejan la urgencia de un momento histórico determinado.

9. Podemos leer un par de ejemplos en el Precálculo de Thomas Hungerford: Cuando el agua corriente se filtra a través de una capa de carbón natural y otros agentes purificadores, queda eliminado el 30% de las impurezas, quedando el 70%. Si esta agua se filtra a través de una segunda capa purificadora, entonces la cantidad de impurezas restantes es 70% del 70%, es decir, o .

10. Con una tercera capa purificadora la cantidad restante de impurezas es . Por tanto, la función da el porcentaje de impurezas restantes después que el agua pasa por capas de material purificador. ¿Cuántas capas son necesarias para asegurar que queda eliminado el 95% de las impurezas?

11. En otra parte encontramos: «Si un cable como los de la energía eléctrica está suspendido entre dos torres de igual altura forma una curva llamada catenaria, cuya gráfica es una función de la forma El texto presenta el ejemplo del Gateway Arch de San Luis, que tiene la forma de una catenaria invertida, escogida esta estructura porque las fuerzas estructurales internas se distribuyen armónicamente.

12. Debemos considerar al contexto como un aspecto intrínseco al problema, permitiendo a los alumnos imaginar la situación planteada e incluso algunas veces, hacerles vivir esa situación mediante proyectos de investigación realistas y cercanos a ellos. De esta forma, si hacemos participe al alumno de su aprendizaje y le mostramos las matemáticas dentro de un contexto real, conseguiremos motivarlo, haciendo más eficiente el proceso de enseñanza-aprendizaje.

13. ¿Cuál es la forma más efectiva para que los alumnos hagan suyos la gran cantidad de conceptos presentes en el currículo de matemáticas de secundaria para que sean capaces de retenerlos de por vida y ponerlos en práctica ante cualquier situación?

14. ¿Cómo podemos hacerles visible la interconexión entre cada uno de los temas y la realidad?

15. ¿Cómo podemos concientizar a los estudiantes para que experimenten por sí solos la utilidad de estas nuevas técnicas de aprendizaje?

16. La respuesta a estas preguntas supone un desafío diario para los docentes. A estos desafíos podremos enfrentarnos a través de un enfoque educativo basado en el aprendizaje contextual.

17. Principios didácticos de la RME(RealisticMathematicsEducation) • La matemática como actividad humana de organización y no como sistema preconstituído de saberes. • El uso de contextos y situaciones realistas, en el sentido de realizables o imaginables no solo como dominio de aplicación sino también y sobre todo como punto de partida para la matematización. • La génesis y el desarrollo de modelos matemáticos a partir de la organización de situaciones realistas, los cuales cumplen la función de puentes entre los distintos niveles de matematización. • El carácter interactivo del proceso de aprendizaje y enseñanza el cual hace posible la discusión de las distintas producciones y construcciones de los alumnos desde el punto de vista de su sentido, generalidad, eficiencia, elegancia, etc. • La fuerte interrelación de los distintos ejes y unidades curriculares.

18. Indicadores de logros para las unidades UNIDAD : FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS • Plantea y resuelve problemas prácticos relacionados con las funciones exponenciales y sus propiedades. • Plantea y resuelve problemas prácticos relacionados con las funciones logarítmicas y sus propiedades. UNIDAD: ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS • Aplica el concepto y las propiedades de logaritmos en la solución de ejercicios • Aplica propiedades de logaritmos en la solución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas. • Resuelve problemas de su entorno utilizando ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

19. Estructuración del Contenido de las unidades Introducción a las Funciones exponenciales y logarítmicas Funciones exponenciales Estudio de las funciones exponenciales Función exponencial natural Aplicaciones Funciones logarítmicas Estudio de las funciones logarítmicas Función logarítmica natural Propiedades de los logaritmos Fórmula de cambio de base Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Problemas aplicados que se resuelven mediante ecuaciones exponenciales y logarítmicas

20. Estructuración de las Actividades de las unidades Las secciones • Recuerde, reflexione y concluya • Compruebe lo aprendido • Actividad en grupo • Aplique lo aprendido representan en el libro las facetas y escalonamientos que entraña el proceso de enseñanza y aprendizaje en los niveles individual y colectivo, siendo este último de extrema importancia, en correspondencia con el adagio de que la verdadera inteligencia consiste en descubrir la inteligencia ajena.

21. Conceptualización Sea un número real distinto de cero y un número real positivo distinto de . Una función exponencial en es una función cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales, el rango el conjunto de los números reales positivos y la regla de transformación es, Si y , , entonces es equivalente a . La función definida por es la función logarítmica con base .

22. Propiedades de los logaritmos La función logarítmica con base se llama función logarítmica natural, y se expresa normalmente como en lugar de .

23. Leyes de los logaritmos Sea e números reales positivos , entonces • . Fórmula de cambio de base Para pasar de una base a una base deseada , aplicamos la siguiente fórmula:

24. Ejemplo Si en la población en Nicaragua era aproximadamente millones y si usáramos la fórmula , la cual describe la población en Nicaragua, en millones, años después de . ¿Cuál debería ser la población esperada en el año ? Desarrollo. Desde hasta el han transcurrido años, así que usando la fórmula , la población esperada en el es de millones de habitantes.

25. Ejemplo Encontrar el valor acumulado de una inversión de por años a una tasa de interés del si el dinero es capitalizado: • Semestralmente • Trimestralmente Desarrollo.Si el interés se paga veces al año hablamos de una capitalización en períodos, y la fórmula es: donde representa el capital después de años, el capital inicial, la tasa de interés y el número de capitalizaciones al año. En todos los casos , y . La única diferencia está en los períodos de capitalización

26. Si , tenemos • Para , se tiene

27. Ejemplo La cantidad en gramos de carbono presente en cierta sustancia después de años está dada por ¿Cuál es la cantidad inicial presente de carbono ? ¿Cuánto quedará después de años? Desarrollo.La cantidad inicial de carbono está dada para , por lo cual era gramos. La cantidad de carbono presente después de años será de gramos.

28. Ejemplo Asumiendo que la tasa de inflación de Nicaragua en el año , fue de y que la ecuación da el precio de un bien en años, si el costo actual es . Prediga el precio de cada uno de los siguientes bienes en el tiempo señalado: • libras de pollo en años; es por libra. • libras de frijoles en años; es por libra. • docenas de huevos en años; por docena. • litros de leche en años; es por litro

29. Desarrollo. • Como el costo de la libra de pollo en el fue de , entonces las libras costaban , luego el precio de las libras de pollo en años será de • Dado que el costo de la libra de frijol en el era de , entonces el valor de libras de este producto totalizaba , por lo cual el precio de las libras de frijol en años será de   • Conocemos que el precio de la docena de huevos en el fue de , por lo cual docenas de huevos alcanzaron el precio de , así que después de años las docenas costarán

30. Ya que el precio del litro de leche en el fue de , resulta que litros de leche valieron . En consecuencia, en años los litros de leche valdrán

31. Ejemplo La magnitud de un terremoto con intensidad en la escala de Richter está dada por , donde es la intensidad de un terremoto de nivel cero. El terremoto que destruyó Managua en fue veces más intenso que un terremoto de nivel cero . ¿Cuál fue su magnitud en la escala de Richter? Desarrollo.Tenemos que , así que como el problema nos dice que , resulta que el terremoto de tuvo una magnitud

32. Ejemplo El número de bacterias de un cultivo en una caja de Petri al cabo de horas está dado por ¿Cuándo el número de bacterias será ? Estime el tiempo de triplicación de las bacterias. Desarrollo.Despejando en la ecuación , obtenemos Después de aplicar logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación anterior, resulta ,

33. de la igualdad anterior se deriva , de lo cual tenemos El número de bacterias será de al cabo de horas. Por otra parte, la cantidad inicial de bacterias en la caja es , Al triplicarse habrán bacterias, lo cual ocurre precisamente cuando horas, y este es por tanto, el tiempo de triplicación de las bacterias.

34. Ejemplo La corriente en un cilindro eléctrico en el tiempo está dado por donde es la fuerza automotriz, la resistencia y la inductancia. Resolver la ecuación para . Desarrollo.Despejando , en la ecuación , obtenemos lo cual implica que así • Aplicando en ambos miembros de la igualdad anterior, resulta

35. Aplicando en ambos miembros de la igualdad anterior, resulta pero así que Despejando en la ecuación anterior, se llega a

36. Pregunta de trabajo: Dado un tema de las funciones exponenciales, por ejemplo, la desintegración del carbono. ¿Cómo diseñar y dirigir con un grupo de alumnos un aprendizaje contextual? ¿Qué nos enseña al respecto la historia de las ideas matemáticas?