数学史演讲

1. 数学史演讲 主讲人：林　寿教授 宁德师范高等专科学校数学系

2. 第10讲19世纪的分析 分析的严格化 复变函数论 分析的拓展

3. 分析的严格化 分析的算术化 实数理论 集合论

4. 分析的算术化 分析：关于函数的无穷小分析 问题：第2次数学危机 核心：函数、无穷小 贡献：柯西(法, 1789-1857 ) 《分析教程》(1821) 《无穷小分析教程概论》(1823) 《微分学教程》(1829) 希尔伯特(德，1862－1943)：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、函数、导数等概念，他排除了微积分中仍在涌现的各种异议，扫清了关于无穷大和无穷小的各种混乱观念，决定性地克服了起源于无穷大和无穷小概念的困难．……今天分析达到这样和谐、可靠和完美的程度，……本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动。” 魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897) “ε-δ语言” “现代分析之父”

5. 狄利克雷函数 处处不可微的连续函数(1872) 函数 • 初等函数 • 解析函数 • 1837年狄利克雷(德, 1805-1859)

6. 算术化 • 1817年波尔查诺(捷, 1781-1848)定义了导数、连续 • 1821年柯西(法, 1789-1857)《分析教程》定义了极限、连续、导数 • 1854年黎曼(德, 1826-1866)定义了有界函数的积分 • 19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)提出ε-δ语言 • 1875年达布(法, 1842-1917)提出了大和、小和

7. 实数理论 • 1817年波尔查诺(捷, 1781-1848)提出“确界原理” • 1817年波尔查诺和19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)提出“聚点定理” • 1821年柯西(法, 1789-1857)提出“收敛准则” • 19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理” • 1872年海涅(德, 1821-1881)和1895年博雷尔(法, 1871-1956)提出“有限覆盖定理” • 1872年戴德金(德, 1831-1916)提出“分割理论” • 1892年巴赫曼(德, 1837-1920)提出“区间套原理”

8. 实数理论 波尔查诺 (捷克斯洛伐克，1981）

9. 魏尔斯特拉斯 柯西 博雷尔 戴德金 海涅 达布 黎曼 巴赫曼 实数理论 • 1834年进入波恩大学学习法律与商业，放弃法学博士候选人 • 1839-1940年成为古德曼(德, 1798-1852)的学生 • 1841-1856年在中学任教, 开展椭圆函数论与阿贝尔函数论的研究,1854年哥尼斯堡大学名誉博士 • 1856年起在柏林工业大学、柏林大学任教, 1873-74年出任柏林大学校长 • 分析算术化的完成者, 解析函数论的奠基人, 卓越的大学数学教师(1864-1885培养了41位博士),学生中有近100位成为大学正教授 • 龙格(德, 1856-1927): 魏尔斯特拉斯在其连续性课程中“自下而上地构筑了完美的数学大厦, 其中任何想当然的、未经证明的东西没有立足之地”.

10. 康托尔三等分集 集合论 1874年起, 康托尔(德, 1845-1918)一系列论文建立 • 我看到了它，但我简直不能相信它。 康托尔：数学史上最富于想象力、最有争议的人物 1862年到柏林大学学习数学，1867年获得博士学位 1874年，碰到戴德金，开始发表集合论论文 一直在小城市哈雷的大学里任教，曾希望进入柏林大学任教 1878年提出连续统假设，1884年患精神分裂症 1897年，罗素(英，1872－1970) 称康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。” • 一一对应关系确定集合的基数 • 实直线是不可数集合 • 康托尔定理: 对集合X, |X|<|P(X)|=2|X| • 希尔伯特：数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最优美的表现之一。

11. 集合论 • 康托尔对角线法证明: (0, 1]是不可数集.

12. 19世纪最辉煌的数学进展复变函数论

13. 奠基人 泊松 复变函数论 • 复函数的偏导数与积分性质 • 1752年和1777年获得了达朗贝尔-欧拉条件(柯西-黎曼条件) • 1782-1812年拉普拉斯(法, 1749-1827), 1815年泊松(法, 1781-1840)讨论了复函数的积分 拉普拉斯 柯西(法, 1789-1857) 黎曼(德, 1826-1866) 魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)

14. 复变函数论 • 柯西(法, 1789-1857 ): 建立复变函数的微分和积分理论 • 1814年，1825年的论文详细讨论了复函数的积分《关于积分限为虚数的定积分的报告》，建立了柯西积分定理 • 1826年提出留数概念 • 1831年获得柯西积分公式 • 1846年发现积分与路径无关定理

15. 复变函数论 • 柯西, 一个复杂的人：多产的科学家、忠诚的保王党人、不出色的教师 • 父亲支持拿破仑, 与拉普拉斯、拉格朗日交往颇多 • 1805年进入巴黎综合工科学校学习工程, 1810-1815参加拿破仑工程建设 • 1816年法国科学院院士、综合工科学校教授，1821年巴黎大学教授 • 1821-1829年出版3部微积分重要著作, 成为数学分析严格化的开拓者和复变函数论的奠基人 1789年法国爆发大革命 1792年建立第一共和国 1799－1815年拿破仑当政 1814－1830年波旁王朝复辟 1830－1848年七月王朝 1848年建立第二共和国 1852－1870年第二帝国 柯西(法, 1989 ) • 1830-1838年离开法国: 到瑞士, 1831年在都灵, 1833年在布拉格 • 1849-1851,1853-1857年任巴黎大学理学院数学天文教授 • 发表论文800多篇，全集27卷

16. 复变函数论 • 黎曼(德, 1826-1866) : 黎曼面 • 1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》 • 黎曼映射定理：存在唯一解析函数将单连通区域D双方单值保形映射为单位圆 阿尔福斯(芬－美，1907－1996)：这篇论文不仅包含了现代复变函数论主要部分的萌芽，而且开启了拓扑学的系统研究，革新了代数几何，并为黎曼自己的微分几何研究铺平了道路。

17. 复变函数论 • 魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897) • 19世纪40年代建立了幂级数基础上的解析函数理论 • 解析开拓 • 占据主导地位，三者统一 克莱因(德，1849－1925)：“黎曼具有非凡的直观能力，他的理解天才胜过所有同代数学家。……魏尔斯特拉斯主要是一位逻辑学者，他缓慢地、系统地逐步前进。在他工作的分支中，他力图达到确定的形式。”

18. 分析的拓展 解析数论 　偏微分方程 常微分方程

19. 解析数论 • 1737年欧拉恒等式: 解析数论 • 1837年狄利克雷(德, 1805-1859)解决素数问题 • 1859年黎曼(德, 1826-1866)《论不超过一个给定值的素数个数》: π(x)与ζ(s) • 1896年阿达马(法, 1865-1963)和瓦莱•普桑(比利时, 1866-1962)证明了素数定理π(x)~x/lnx

20. 阿达马(法, 1865-1963) 瓦莱•普桑(比利时, 1866-1962) 解析数论

21. 解析数论 黎曼猜想(1859) 素数分布的研究推向壮丽巅峰为数学家留下魅力无穷的谜团

22. 解析数论 黎曼猜想(1859)

23. 斯托克斯 (英, 1819-1903) 麦克斯韦 (英, 1831-1879) 偏微分方程 • 位势方程 • 1828年格林(英, 1793-1841)《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》提出求解方法 • 格林: 诺丁汉磨坊主的儿子 • 研读拉普拉斯、拉格朗日的著作, 1828年完成成名之作(1850年发表) • 1833年剑桥大学自费生, 1838年学士, 积劳成病，1840年返回诺丁汉 • 发表10篇论文, 孕育了剑桥数学物理学派

24. 偏微分方程 格林纪念馆

25. 傅里叶 偏微分方程 • 热传导方程 • 1807年傅里叶(法, 1768-1830)提出 • 1822年傅里叶《热的解析理论》 • 热传导问题的求解及新的普遍性数学方法的创造 • “这只有富于生动的想象力和具有适合其工作的清醒的数学哲学头脑的数学大师才能达到”

26. 偏微分方程 傅里叶：“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。数学分析与自然界本身同样的广阔。” • 傅里叶级数 • “傅里叶是一首数学的诗” • 1795年1月就读于巴黎高等师范学校，后到巴黎综合工科学校作为拉格朗日、蒙日的助手 • 1798年随拿破仑远征埃及，任埃及研究院秘书 • 1802年被拿破仑任命为地方高级官员，1808年授予男爵，1815年全力投入学术研究 • 1817年就职于法国科学院，1822年当选为终身秘书，1827年被选为法兰西学院院士

27. 法兰西学院（1666年成立）

28. 微分方程解的性质 1781年，威廉•赫谢尔 九大行星 八大行星 九星会聚（中国，1992） 1844－1845年，亚当斯，勒威耶

29. 柯西(法, 1789-1857) 利普希茨(德, 1832-1903) 皮卡(法, 1856-1941) 微分方程解的性质 • 解的存在性 • 柯瓦列夫斯卡娅，杰出女数学家，发表10篇论文 • 出生贵族家庭，很小对数学痴迷 • 1869年，到海德堡 • 1870年，到柏林，成为魏尔斯特拉斯的学生 • 1874年，哥廷根大学博士 • 1884年，斯德哥尔摩大学教授 • 1888年，解决“数学水妖”问题 • 1889年，圣彼得堡科学院通讯院士 • 1820-1830年柯西获得第一个解的存在性定理 • 1875年柯西－柯瓦列夫斯卡娅定理 • 1869年李普希茨条件 • 1890年皮卡逐步逼近定理 柯瓦列夫斯卡娅 （俄，1850－1891）

30. 1881-1886年庞加莱(法, 1854-1912)在《由微分方程定义的积分曲线》创建了微分方程的定性理论 • 1892年李雅普诺夫(俄, 1857-1918)在《运动稳定性的一般问题》开创了微分方程的稳定性理论 庞加莱(法, 1952) 李雅普诺夫(俄, 1957) 微分方程解的性质 • 解的定性与稳定性理论

31. 微分方程解的性质 • 庞加莱(法, 1854-1912): 显赫的家族, 多病的童年 • 1873年进入巴黎综合工科学校, 1879年关于微分方程的论文得到博士学位, 1882年提升为巴黎大学教授, 1906年当选法国科学院院长, 1908年选为法兰西学院院士 • 伏尔泰拉(意,1860-1940):“我们确信，庞加莱一生中没有片刻的休息。他永远是一位朝气蓬勃的、健全的战士, 直至他的逝世。” • 500篇科学论文和30本科学专著, 开辟了微分方程、动力系统、代数拓扑、代数几何等新方向的研究 • 19世纪最后四分之一和20世纪初世界数学的领袖人物, 对数学及应用具有全面了解、能够雄观全局的最后一位大师 • 1905年，波尔约奖(l0000金克朗) • 阿达马: 庞加莱“整个地改变了数学科学的状况，在一切方向上打开了新的道路。”

32. 常微分方程 庞加莱《科学的价值》(1905) 追求真理应该是我们活动的目标，它是值得我们活动的唯一目的，毫无疑问，世界一日不灭，痛苦终身不能已。如果我们希望越来越多地使人们摆脱物质烦恼，那正是因为他们能够在对真理的研究和思考之中享受到自由。

33. 19世纪的主要数学家 庞加莱、克莱因、希尔伯特，19和20世纪数学交界线上高耸着的3个巨大身影，反射着19世纪数学的光辉，同时照耀着通往20世纪数学的道路。