幻方（ Magic Square ）

1. 幻方（Magic Square） 天津师范大学初等教育学院 李林波

4. 一、幻方 • 幻方（Magic Square）又称“纵横图”，是将自然数1,2,3,……,n2， 填入n2个小正方形组成的正方形方阵里，使得纵、横、对角线的和都相同。这样的方阵称为n阶幻方。

5. n=1时 • n=2时 1, 2, 3, 4的组合方式可以分成以下三种（将同构的所有排法视为同一种）

6. n=3时 如何把1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (= 32)放进9个小正方形组成的正方形方阵里，使得纵、横、对角线的和都相同呢？

7. 3M = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = = =45 则M = 15

10. 二、洛书的传说 河图

11. 洛书

12. 河图

13. 北斗七星的运行路程

16. 根据北周甄鸶注《数术记遗》： 九宫者，二四为肩， 六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。

17. 《射雕英雄传》第29和31回

18. （瑛姑）双手捧头，苦苦思索，过了一会，忽然抬起头来，脸有喜色，道：“你的算法自然精我百倍，可是我问你：将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相加都是十五，如何排法？”黄蓉心想：“我爹爹经营桃花岛，五行生克之变，何等精奥？这九宫之法是桃花岛阵图的根基，岂有不知之理？”当下低声诵道：“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”边说边画，在沙上画了一个九宫之图。那女子面如死灰。（瑛姑）双手捧头，苦苦思索，过了一会，忽然抬起头来，脸有喜色，道：“你的算法自然精我百倍，可是我问你：将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相加都是十五，如何排法？”黄蓉心想：“我爹爹经营桃花岛，五行生克之变，何等精奥？这九宫之法是桃花岛阵图的根基，岂有不知之理？”当下低声诵道：“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”边说边画，在沙上画了一个九宫之图。那女子面如死灰。

19. 四海三山八洞天， 九牛五虎一起眠， 二女七星和六国， 周围十五月团圆。

20. 三、版画《忧郁》中的四阶幻方 丢勒（Albrecht Dürer）的版画《忧郁》

21. 另一特点：任两个对称于中心点的位置上的数字其和都是n2+1，这样的幻方我们称为对称幻方。另一特点：任两个对称于中心点的位置上的数字其和都是n2+1，这样的幻方我们称为对称幻方。

22. 是否对于任意正整数n都存在一个n阶幻方呢？ 【对于任意大于等于3的数n，都存在一个n阶的魔方阵。】 L. Bieberbach （德国）

23. 是不是数字越多就可以组合出越多种的幻方（同构的幻方视同一种）？是不是数字越多就可以组合出越多种的幻方（同构的幻方视同一种）？

24. 3阶幻方只有1种； • 4阶幻方有880种； • 5阶幻方有275305224种（约两亿七千五百万）； • 7阶幻方有363916800种（约三亿六千四百万） ； • 8阶幻方超过10亿种。

25. 四、幻方的构造法-奇数阶 早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了系统的研究。他称这种图为“纵横图”，他提出了一个构造三阶幻方的秘诀： [九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足]

30. Bachet de Mechet 方法

32. 将一个4k × 4k的大方阵分成9个部分，如下图示，自上而下、由左而右（或由下而上，自右而左）依序填入1, 2, 3, …，但是灰色格子的地方跳过不填；接着倒过来由下而上，自右而左（自上而下、由左而右）依序填入1, 2, 3, …，而且只填灰色的空格。 四、幻方的构造法-偶数阶

33. 四、幻方的构造法-偶数阶

36. 4阶小方阵可以涂成下图中一格白、一格灰的样式，现在我们是否可以利用上面的方法来构造八阶幻方呢？4阶小方阵可以涂成下图中一格白、一格灰的样式，现在我们是否可以利用上面的方法来构造八阶幻方呢？

37. 自上而下、由左而右（或由下而上，自右而左）依序填入1, 2, 3, …，但是灰色格子的地方跳过不填；接着倒过来由下而上，自右而左（自上而下、由左而右）依序填入1, 2, 3, …，而且只填灰色的空格。

43. 五、幻方趣闻

44. 安西王府——铁板幻方 • 陕西历史博物馆二楼展厅陈列着一块刻着印度—— 阿拉伯数码的铁板，这是1957 年在西安东郊元代安西王府遗址出土的。经专家鉴定，它是一个六阶幻方。

45. 这个幻方铁板是我国数学史上应用阿拉伯数字的最早实物资料，也是元代西安接受阿拉伯文化影响的具体体现。这个幻方铁板是我国数学史上应用阿拉伯数字的最早实物资料，也是元代西安接受阿拉伯文化影响的具体体现。 对这个幻方进行仔细研究，发现这个六阶幻方不是普通的幻方，它还具有两个独特的性质。

46. 第一，该幻方还是一个二次幻方。幻方中第一行和第六行中六个数的平方和也相等：第一，该幻方还是一个二次幻方。幻方中第一行和第六行中六个数的平方和也相等： 28^2+4^2+3^2+31^2+35^2+10^2=3095 27^2+33^2+34^2+6^2+2^2+9^2=3095 • 第一列和第六列中六个数的平方和也相等： 28^2+36^2+7^2+8^2+5^2+27^2=2947 10^2+1^2+30^2+29^2+32^2+9^2=2947 而一般的幻方根本不具有这个特性。

47. 第二，这个幻方去掉最外面一层，中间剩下的部分仍然是一个四阶幻方。这个四阶幻方由11 到26 这16 个数组成，其每行，每列及两条对角线上的4 个数之和都是74 。更为奇特的是，这个4阶幻方还是一个完美幻方。即各条泛对角线上的4个数之和也都是74 。

49. 百子回归图 • 百子回归碑是一幅十阶幻方，中央四数连读即“ 1999 · 12 · 20 ”，标示澳门回归日。百子回归碑是一部百年澳门简史，可查阅四百年来澳门沧桑巨变的重大历史事件以及有关史地、人文资料等。 • 如中间两列上部（系十九世纪）：“ 1887 ”年《中葡条约》正式签署，从此成为葡人上百年（距今100 余13 年）“永久管理澳门”的法律依据。又如中间两列下部（系二十世纪）：“ 49 ”年中华人民公和国成立，从此中国人民站起来了；“ 97 ”年香港回归祖国。

50. 宇宙飞船上的礼物 • 1977年，美国发射了旅行者1号和2号宇宙飞船，试图与“外星人”建立联系。如何使地外智慧生命理解地球人的意思，这是个很困难的事情，世界各国的人们纷纷献计献策，美国宇航局采纳了其中一些。最后飞船上携带有两件与数学有关的东西，一个是勾股数，另一个是一个4阶幻方，这个幻方，是耆那幻方(Jaina Square) 。