Устранение фазовой неоднозначности

1. Устранение фазовой неоднозначности • Задачей расшифровки является выделение полезной информации по интерференционной картине. Ее можно разбить на три части: -определение распределения поля фазовых разностей интерферирующих волновых фронтов по картине интенсивностей в пределах периода - устранение фазовой неоднозначности, присущей всем фазовым методам - определение характеристик исследуемого объекта по фазовому распределению

2. Одним из факторов, сдерживающих широкое распространение измерительных интерференционных систем, является ограниченный диапазон измерений • По интерференционной картине однозначно фазовые значения могут восстанавливаться только в пределах периода. Причиной этого является периодический характер зависимости интенсивности интерферограммы от фазовой разности интерферирующих волновых фронтов • Величина периода полос определяется разностью фаз, при которой регистрируемая интенсивность меняется от минимума до максимума • Величина периода (цена интерференционных полос) пропорциональна длине волны источника освещения, зависит от угла между интерференционными полосами и коэффициента пропускания среды

3. Погрешность измерений интерференционных систем в настоящее время достигаетl/50-l/100 при цене полосы равной длине волны (l ~ 0.5 мкм) • Использование существующих методов устранения фазовой неоднозначности позволяет восстановить фазовое распределение по полю с диапазоном не более десятка полос • При 10 полосах возможный диапазон измерений составит 10*0.5 мкм = 5 мкм. Это очень мало для измерения объектов с формой значительно отличающейся от плоской или сферической • Увеличение цены полосы приводит к снижению погрешности. Поэтому в настоящее время интерференционные системы используются в основном для анализа объектов простой формы • Если форма исследуемых волновых фронтов значительно отличается от плоской или сферической, приходится применять дорогостоящие компенсирующие элементы.

4. В настоящее время фазовая проблема окончательно не решена • Рассмотрение существующих и разработка новых методов увеличения диапазона очень важна, поскольку при удачном решении этой задачи значительно расширяется область применения интерференционных систем. Чем в большем диапазоне будет устранена фазовая неоднозначность, тем больше будет диапазон измерений • При расширении диапазона до сотен длин волн появляется возможность использовать интерференционные оптические системы для исследования объектов сложной формы с диффузной поверхностью без наличия дополнительных компенсирующих элементов

5. Для определения полной фазы, т.е. числа полных периодов соответствующих разности хода волн, необходимы некоторые добавочные априорные данные об исследуемом волновом полеЭто может быть информация: • о виде измеряемого волнового фронта (плавность, непрерывность производных) • о знаке изменения фазы при переходе через период • при резких скачках волнового фронта дополнительная информация о приблизительных значениях полной фазы, полученная из других источников измерений • об изменении цвета полосы в интерферометрах с одинаковым ходом волн, изменении контраста полос и т.п. • о состоянии объекта, полученная при нескольких измерениях одного объекта с измененной ценой полосы и т.п.

6. наряду с термином "устранение фазовой неоднозначности" • используются – "расширение области фазовой однозначности", "устранение 2p неоднозначности" 

7. Алгоритмы развертывания фазового поля • Наибольшее число алгоритмов устранения фазовой неоднозначности основано на анализе пространственной структуры поля фаз • Полная фаза может определяется развертыванием фазы, т.е. последовательным добавлением или вычитанием 2p в соседних точках, если перепад между ними превышает некоторый порог (рис.) • Такая процедура основана на допущении об отсутствии резких (более периода) скачков в точках перехода через период • Для прослеживания границы перехода необходимо, чтобы число периодов было на порядок меньше, чем точек в массиве детектора. Эти возможно только при анализе плавного фазового фронта

8. Процедура добавления 2p может рассматриваться как экстраполяционный процесс. Используется информация о предыдущих восстановленных точках для определения волнового фронта в следующих точках

9. Решение о существовании фазового перехода в точке фазового поля принимается в зависимости от результатов анализа ее окрестности • Первые работы по фазовому развертыванию строились на сравнении соседних значений в столбцах и строках. Если соседние значения по столбцам Iw(i, j+1) - Iw(i, j) » 2p , то In1(i, j+1) = Iw(i, j+1)± 2p, и по строкам In1(i+1, j) - In1(i, j) » 2p , То In(i+1, j) = In1(i+1, j) ± 2p, • В идеале должно получиться непрерывное фазовое распределениеIn1(i, j)

10. На рисунке показаны 4 интерферограммы и вычисленное по ним поле фаз

12. Чистые картины полос встречаются довольно редко. При практическом использовании алгоритмов развертки возникают серьёзные проблемы, связанные с влиянием различных источников шума. Поскольку процесс зависит от предыдущих вычислений, единичная ошибка приводит к лавинообразному нарастанию погрешности • Лучшие результаты дает модификация этого метода с использованием анализа по областям • При этом подходе каждая точка связана с определенной областью, в которой не должно быть фазовых скачков. Каждая область ограничена линиями фазовых разрывов • Фазовая неоднозначность удаляется сравнением координат исходной точки с границами области. При переходе к соседним областям добавляется или вычитается 2p • Этот метод более устойчив, чем метод анализа по строкам и столбцам

13. Алгоритмы развертывания работают в случае, если фазовая картина плавная, т.е. перепады в соседних точках не превышают p и можно проследить пространственную границу переходов через период • Условие, ограничивающее величину перепадов в соседних точках величиной p, эквивалентно ограничению наклона волнового фронта на половину длины волны (или четверть волны при измерении рельефа поверхности в оптических схемах, работающих на отражении)

14. Существенным недостатком методов развертывания фаз являются ограничения на пространственное распределение исследуемого поля фаз • Для измерения объектов с поверхностями, имеющими разрывы или скачки в соседних точках при использовании методов развертки необходимо или увеличить длину волны, или каким-либо способом получить некоторую добавочную априорную информацию о поверхности объекта • Для этого могут использоваться: • интерферометрия в белом свете • использование квазимонохроматического источника • использование излучения с большой длиной волны

15. Интерферометрия в белом свете используется при оптической конфигурации с одинаковыми оптическими путями в плечах интерферометра. В этом случае интерференционная картина состоит из центральной темной полосы и окрашенных полос изнутри и снаружи от этой полосы. Отмечая перемещение темной полосы можно определить на сколько периодов произошел скачок при резком изменении фазового фронта • При использовании квазимонохроматического источника в интерферометрах с общим ходом волн контраст полос используется для отметки полосы в которой возникают неопределенности от разрывов • Использование излучения с большой длиной волны требует применения источников излучения инфракрасного диапазона и приемников, чувствительных к ИК-излучению. Динамический диапазон увеличивается пропорционально изменению длины излучения. При этом увеличение динамического диапазона приводит к пропорциональному уменьшению точности

16. Измерения с помощью эквивалентной длины волны • Измерения при двух длинах волн - еще один из способов расширения области фазовых измерений. В качестве априорной используется информация о величине длин волн используемых источников освещения • Оптические разности хода волн (ОРХ) в любой точке поля (x,y) определяются из поля фаз с помощью выражений при длине волны la и при длине волны lb

17. Вычитая эти выражения друг из друга и выделяя ОРХ, получим где leq равно • Таким образом, можно определить фазовый фронт с периодом, равным эквивалентной длине волны leq. Чем ближе длины используемых волн, тем больше длина эквивалентной волны • Например, при измерениях с двумя длинами волн 488нм и 514нм, leq равно 9.47мкм; при la = 633нм и lb = 529нм - leq = 3.22мкм

18. Однако с ростом эквивалентной длины волны неопределенность при измерениях возрастает. Это видно из следующего выражения для абсолютной погрешности определения OPX методом эквивалентной длины волны: • Существует цифровая модификация этого метода (TWPSI - two-wavelength phase-shifting interferometry), которая заключается в вычислении разности фазовых значений, измеренных при разных значениях волны источника освещения методом фазового сдвига и в определении оптической разности хода с помощью выражения в цифровом виде на компьютере

19. Основные недостатки этого метода следующие: • для того, чтобы эквивалентная длина волны была максимальной необходимо выбирать близкие длины волн, а это резко увеличивает погрешность измерений • невозможно использовать более двух измерений при разных длинах волн, а это ограничивает максимальный диапазон метода • погрешность измерений возрастает с ростом эквивалентной длины волны

20. При использовании разных волн необходимо учитывать также эффекты, связанные сахроматизмом оптических элементов • Если интерференционная картина меняет размер или пространственно сдвигается при изменении длины волны из-за влияния хроматических аберраций, результирующие фазовые значения могут иметь ошибки, вызванные неправильным выбором соответствующих точек в массивах исходных фаз • Небольшое влияние хроматических аберраций терпимо, но они не должны приводить к сдвигу полос или изменению размера интерферограммы более чем на одну измеряемую точку

21. Восстановление полной фазы с помощью целочисленного анализа • Метод основан на использовании серии измерений при различных ценах интерференционных полос • Цена полосы может меняться • при изменении угла между интерферирующими пучками • коэффициента пропускания среды • длины волны источника освещения

22. Изменение фазы на 2p для волн с разными длинами происходит при различных значениях оптической разности хода (ОРХ) • С помощью интерферометрии можно определить фазовые значения дробного остатка в пределах периода • При пересчете по полученным фазам можно определить оптические разности хода волн (ОРХ) только с точностью до длины волны • Добавляя к полученным результатам значения, кратные целым длинам волн, получим набор предполагаемых решений, каждое из которых соответствует одной из используемых волн • Если, соответствующие одному и тому же пройденному расстоянию, значения не совпадают, они отбрасываются. Только совпадающие для всех используемых волн значения ОРХ могут претендовать на роль действительных

23. На рисунке по горизонтальной оси расположены действительные значения разности хода, по вертикальной - значения, определяемые из фазовых измерений

24. Можно составить таблицу решений, просчитав все возможные сочетания, но более удобно найти аналитическое решение. Найти его можно рассмотрев систему сравнений • Каждому целому числу отвечает определенный остаток от деления на целое положительное m , который называется модулем • Если двум целым a и b отвечает один и тот же остаток r , то они называются равноостаточными по модулю m. Сравнимость записывается как a º b (mod m) ,         где знак ( º ) обозначает сравнение

25. Рассмотрим систему сравнений первой степени с одним неизвестным: x º b1 (mod m1) , x º b2 (mod m2) , . . .              x º bk (mod mk) • Если модули являются взаимно простыми числами, то в некотором диапазоне существует единственное решение • Найти это решение можно воспользовавшись следующей теоремой, известной в теории целых чисел

26. Теорема об остатках Пусть числа Ms и Ns определены из условий m1m2 . . . mk = Ms ms, MsNs º1 (mod ms) , и пусть X0 = M1N1b1 + M2N2b2 + ... + MkNkbk Тогда совокупность значений X, удовлетворяющих системе, определяется сравнением X ºX0 (mod m1m1 . . . mk) • Частный случай этой теоремы был сформулирован китайским математиком Сунь Цю. Поэтому, часто эту теорему называют “Китайской теоремой об остатках”

27. Допустим, что волне с длиной l1 ставится в соответствие целое число 5, волне с длиной l2 - число 3. По теореме об остатках область, в которой решение единственно, определяется произведением этих чисел, и решение имеет вид: ОРХ º 6 ОРХ 1 + 10 ОРХ 2 (mod 15) • Диапазон, в пределах которого достигается единственность решения, определяется следующим выражением l int = l1 m2 = l2 m1 • Пусть имеется две волны l1 =0.633мкм и l2 =0.529мкм. Если точность измерений такова, что соответствующим периодам могут быть поставлены в соответствие целые взаимно простые числа с тремя десятичными знаками (m1=529, m2=633), то диапазон, в котором отсутствует фазовая неоднозначность, равен 334.857 мкм (529 полос с длинойl1 или 633 полосы с периодом l2)

28. Целочисленный метод устранения фазовой неоднозначности значительно расширяет область фазовой однозначности. При этом увеличение динамического диапазона не приводит к уменьшению точности • Метод не налагает дополнительных ограничений на вид фазового поля и может использоваться при анализе волновых фронтов, значительно отличающихся от опорных. Становится возможным применение интерференционных методик для анализа волновых фронтов, отраженных от объектов с диффузной поверхностью, что позволяет разрабатывать измерительные системы с характеристиками необходимыми для практического измерения деталей в процессе производства без предварительной шлифовки • Результирующие алгоритмы, легко автоматизируются, позволяют обеспечить динамический диапазон измерений до сотен длин волн без потери точности