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第二章 点、直线和平面的投影. §2—1 点的投影. §2-2 直线的投影. §2-3 平 面 的 投 影. 返回. §2—1 点的投影. 一、点在三投影面体系中的投影. 二、点的投影和坐标. 三、两点的相对位置. 返回. 一 、点在三投影面体系中的投影. Z. V. W. O. X. H. Y. 1 . 点的三面投影. 点的正面投影: a ’ 、 b ’ 、 c ’ ……. 点的水平投影: a 、 b 、 c ……. 点的侧面投影: a " 、 b " 、 c " ……. a z. a'. A.
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第二章 点、直线和平面的投影 §2—1 点的投影 §2-2 直线的投影 §2-3 平 面 的 投 影 返回
§2—1 点的投影 一、点在三投影面体系中的投影 二、点的投影和坐标 三、两点的相对位置 返回
一、点在三投影面体系中的投影 Z V W O X H Y 1. 点的三面投影 点的正面投影:a’、b ’、c ’…… 点的水平投影:a、b 、c …… 点的侧面投影:a"、b "、c " …… az a' A a" ax ay a
2.点的三面投影的展开 Z V W az O a' X A a" ax H Y ay a V Z W a" a' YW X O a H YH
3.点在三投影面体系中的投影 V Z W Z V a' a" az W YW X ax O ay az O a' X A a" ay ax H Y a YH H ay a 1. 点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴(aa’OX) 2. 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴(aa”OZ) 3. 点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离(aax=a”az)
例: 已知点A的正面投影a’和水平投影a,求其侧面投影a”。 Z a' a" X YW O a YH 1. a’aOX ; 2. a’a” OZ ; 3. aax=a”az
二、点的投影和坐标 Z V Z W V a' a' a" az az y a" x W ax YW O X ax O ay X z a ay ay H Y a YH H A 点到投影面的距离 1.点的坐标 (xA,zA) 2.点的投影 (yA,zA) (xA,yA) XA(Oax) = Aa” —— 点到W投影面的距离;YA(Oay) = Aa’ —— 点到V投影面的距离;ZA(Oaz) = Aa —— 点到H投影面的距离。
Z Z a" a' a' b" b' a" A O X YW b' X O B b" b b Y a a YH 上-下 三、两点的相对位置 后-前 左-右 后-前 后-前 两点间的相对位置可用它们同方向的坐标差值来判断 两点中X值大的点——在左 两点中Y值大的点 ——在前 两点中Z值大的点 ——在上
V a' (c')d' b' A C D B c d a(b) H 当空间两点在某一投影面上的投影重合成一点时称为对该投影面的重影点。 两点相对位置—重影点及可见性 对V面的重影点 对H面的重影点
Z a' a" b' b" X O YW b a YH 例: 9 8 已知A点在B点之前5毫米,之上9毫米,之右8毫米,求A点的投影。 5
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性 三、一般位置直线的实长及其对 对投影面的倾角 §2-2直线的投影 四、直线上的点的投影 五、两直线的相对位置 六、垂直相交两直线的投影
C A a B D b c(d) H 一、 直线的投影 直线的投影一般情况下仍为直线,特殊情况下为一点。
z A a a γ yW o x β α a a B b b b yH b a a b b 一、直线的投影 直线上两点同面投影的连线可确定直线的投影 但不能确定直线对投影面的倾角
三棱锥各棱线的位置分析 二、各种位置直线的投影特性
(一)投影面平行线 水平线//水平面 特殊位置直线 正平线//正平面 侧平线//侧平面 (二) 投影面垂直线 直线对投影面的相对位置分类 铅垂线水平面 正垂线正平面 侧垂线侧平面 (三)一般位置直线 与三个投影面均倾斜的直线
Z z V A β γ a a B yW W o x O a X β γ a b b b b yH H Y a a b b (一)投影面平行线——水平线 投影特性: 1. a'b'//OX,a"b"//OY 2. ab=AB 3. 反映、 角的真实大小
(一)投影面平行线——正平线 投影特性: 1. ab//OX , a"b"//OZ 2. a'b'=AB 3. 反映、角的真实大小
(一)投影面平行线——侧平线 投影特性: 1.a'b'//OZ , ab//OY 2.a"b"=AB 3.反映 、 角的真实大小
投影面平行线的投影特性 1. 在与其平行的投影面上的投影反映实长,其与相邻投影轴的夹角反映直线对另外两投影面的真实倾角; 2.另两投影长度缩短,且分别平行与相应的投影轴。
Z z V a A a b yW W o x B O X b a(b) yH H Y a a b b (二)投影面垂直线——铅垂线 a(b) • 投影特性: • 1. a b 积聚 成一点 • 2. a’b’OX ; a’’ b’’ OY • 3. a’b’ = a’’b’’ =AB
(二)投影面垂直线——正垂线 W • 投影特性: • 1. a’b’ 积聚 成一点 • 2. ab OX ; a’’b’’ OZ • 3. ab = a’’b’’ =AB H
(二)投影面垂直线——侧垂线 W H • 投影特性: • 1. a’’b’’ 积聚 成一点 • 2. ab OY ; a’b’ OZ • 3. ab = a’b’ =AB
W 投影面垂直线的投影特性 H • 在与其垂直的投影面上的投影积聚成一点; • 另两投影显实长,且分别垂直于相应的投影轴。
z A a a yW o x a a B b b b yH b a a b b (三)一般位置直线的投影特性 1. 直线的三个投影均为长度缩短的直线; 2. 直线的投影中不能反映直线的实长和倾角。
三、一般位置直线的实长及其 对投影面的倾角 1. 求直线的实长及对水平投影面的夹角角 2.求直线的实长及对正立投影面的夹角角 3.求直线的实长及对侧立投影面的夹角角
AB ZAB ab 1. 求直线的实长及对水平投影面的夹角角 AB ZAB ZAB ab ZAB AB
AB YAB a’b’ AB AB YAB a’b’ 2. 求直线的实长及对正面投影面的夹角角 YAB YAB
例1 已知AB直线的正面投影a’b’及点B的水平投 影b, =30° , 求a b。 30° a’ b’ a b X a a b b a
例2. 在AB直线上取一点C, 使AC = L。 ZAB L b’ c’ a’ X b ZAB c b0 a L c0 AB
a V c A C b B a c H b 四、直线上点的投影 AC:CB = ac:cb = a’c’:c’b’ = a’’c’’:c’’b’’ 1.点在线上,则点的投影必在直线的同面投影上; 2. 点分线段成定比,其空间比等于投影比。
b c a X O b c a 例1 已知线段AB的投影图,试将AB分成AC:CB=2 : 1两段,求分点C的投影。 AC:CB = ac:cb = a’c’:c’b’ = 2:1
bc ca c’ 例2 已知点C在线段AB上,求点C的正面投影。
共面直线 (一) 平行两直线 五、两直线的相对位置 (二)相交两直线 (三)交叉两直线 异面直线 两直线相对位置的投影规律 两直线相对位置的判别方法
d’ b’ V d’ b’ c’ D c’ a’ B a’ o C x O X A d b b b c a c H a (一)平行两直线 平行两直线投影特性: 1.平行两直线的同面投影仍然平行。 2.平行两直线在投影后,长度比保持不变。
判别: Z d’ d” a” a’ c” c’ b’ b” YW O X c a d b YH 若两直线的各同面投影均互相平行 ,则它们空间平行。 若为一般位置直线,由两面投影互相平行即可判断两直线空间平行。
d b d V k' b a B a c D c X O C c b O A X c b k a a d H d (二)相交两直线 k' K k 相交两直线的同面投影必相交,且交点的投影符合点的投影规律。
判别: 若两直线的各同面投影均相交 , 且交点的投影符合点的投影规律,则两直线空间相交。 若两直线均为一般位置直线,且两面投影满足上述条件,即可判断两直线空间相交。 若两直线的同面投影相交,但交点的投影不符合点的投影规律,则不是相交的空间两直线。
d’ b’ 1’(2’) a’ c’ o x b 2 a d 1 c (三)交叉两直线 交叉两直线的同面投影中,可能有一组或两组同面投影互相平行,但它们的第三组同面投影是不平行的。 同理,交叉两直线的同面投影中,可能有一组、两组或三组同面投影相交,但它们的交点不符合点的投影规律。
z c’’ b’’ d’’ a’’ o YW YH 例1 . 判断空间两直线AB、CD的相对位置。 结论: 空间直线AB和CD是两交叉直线
1’ 例2 判断空间两直线AB、CD的相对位置。 结论: 直线AB、CD是两交叉直线。 1 1’d’ 1’c’
d a b c O X d a c b ( ) 1’ 3’ 4’ 例 2’ 判断两直线重影点的可见性。 4 ( ) 1 2 3
a b A B c x o C a a c b b H c 空间两直线互相垂直,若其中有一条直线平行于某投影面 ,则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。 六、垂直相交两直线的投影(直角投影定理) 若两直线的某面投影互相垂直,且其中一条平行于该投影面,则两直线空间互相垂直。
例1 已知长方形ABCD中BC边的两投影、AB边的正面投影(a’b’//OX),求作长方形的两投影。 a c’ d’ a’ b’ X b d c
例2 求直线AB和CD间的最短距离。 a’ d’ A D F c’ E b’ B X C c f c d H a b e a (b) d f ’ e’ f e
例3 已知菱形ABCD的对角线AB的两投影,另一对角线CD长为2L,且知其正面投影的方向,求作菱形的两投影。 b’ a’ d’ X d a c0 L f 0 b ZFE f f ’ L c’ ZFE e’ e c
§2-3 平 面 的 投 影 一、平面的投影 二、各种位置平面的投影特性 三、平面上的点和直线 返回
b’ b’ b’ b’ b’ a’ a’ a’ a’ a’ c’ c’ c’ c’ c’ a a a a a c c c c c b b b b b d’ d 平面的表示法 (1) (2) (3) (4) 一、平面的投影 (5) 各种形式可相互转换
投影面平行面 水平面//H面 二、各种位置面的投影 特殊位置平面 正平面//V面 侧平面//W面 投影面垂直面 铅垂面H面 正垂面V面 侧垂面W面 一般位置平面
z Z V C a yW x o A W a c O X P a B c c b b yH b H Y c a b (一) 投影面垂直面——铅垂面 PH 投影特性: 1. abc积聚为一条线。 2 . abc , abc为ABC的类似形。 3. abc与OX, OYH的夹角反映、角的真实大小。