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读一读 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦 . 图 1-1 称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为 《 周髀算经 》 作法时给出的 . 图 1-2 是在北京召开的 2002 年国际数学家大会（ TCM － 2002 ）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就. 图 1-1. 图 1-2. 18.1 勾股定理. SLQ. 史话勾股定理.

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  1. 读一读 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就. 图1-1 图1-2

  2. 18.1勾股定理 SLQ

  3. 史话勾股定理 在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”即：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。故称之为“勾股定理”或“商高定理”

  4. 如果 Δ ABC 中 , ∠ C=90 ° , ∠ A, ∠ B, ∠ C 的对边 分别为 a,b,c， 那么 A abc 2 2 2 + = c b C B a 勾股定理 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方

  5. 勾股定理的证明 证明方法1：数方格

  6. C A B 图1-1 你是怎样得到正方形c 的面积。 （1）观察图1-1 正方形A中含有个小方格，即A的面积是 个单位面积。 16 16 正方形B的面积是 个单位面积。 9 正方形C的面积是 个单位面积。 25 （图中每个小方格代表一个单位面积）

  7. C A B C A 图1-1 B 图1-2 （2）在图1-2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？ （3）你能发现图1-1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1-2中呢？ SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积

  8. C A B C A 图1-1 B 图1-2 （1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 （3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度,（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？

  9. 勾股定理的证明 证明方法2：拼三角形 同学们动手一起拼

  10. c a b 利用拼图来验证勾股定理： 1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个以斜边c正方形吗？拼一拼试试看?

  11. c a b 3.你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？

  12. c c c c a a a a b b b b c2 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 4•ab/2-(b- a)2 ∵ c2= 4•ab/2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴a2+b2=c2

  13. c c c c a a a a b b b b (a+b)2 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 c2 +4•ab/2 ∵ (a+b)2 =c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 =c2 +2ab ∴a2+b2=c2

  14. 勾股定理的证明 证明方法3：赵爽弦图，动手拼图

  15. c c a a b b 勾股定理的证明 证明方法4：美国总统加菲尔德的证明方法

  16. 8√3 练习 1.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边 为a,b,c (1)已知a=6,b=8.则c=. 10 (2)已知c=25,b=15.则a=. 20 (3)已知c=19,a=13.则b=. (结果保留根号) 12 (4)已知a:b=3:4,c=15,则b=. 注意:利用方程的思想求直角三角形有关线段的长

  17. B 25 24 如果将题目变为： 在Rt△ABC中,AB=25, BC=24,求AC的长呢？ 7 24 C A 例1 如图，在Rt△ABC中,BC=24,AC=7,求AB的长。 解： 在Rt△ABC中 , 根据勾股定理 在直角三角形中，已知两边可以求第三边

  18. A C B D 例2 已知等边三角形ABC的边长是6cm， (1)求高AD的长；(2)S△ABC 解：(1) ∵△ABC是等边三角形，AD是高 在Rt△ABD中 , 根据勾股定理

  19. C h A B m n D 1.在△ABC中，∠C=90°. 练习 (1)若a=6，c=10，则b=; (2)若a=12，b=9，则c=; 20 (3)若c=25，b=15，则a=; 2.等边三角形边长为10，求它的高及面积。 3.如图，在△ABC中，C=90°，CD为斜边AB上的高，你可以得出哪些与边有关的结论？ b a

  20. y=0 学以致用，做一做 1.求下列图中字母所代表的正方形的面积： 2５ A 8 B 15 49

  21. y=0 学海无涯 结论: S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7

  22. 思考 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和 解：∵ SE= 49 S1=SA+SB S2=SC+SD S2 S1 ∴ SA+SB+SC+SD = S1+S2 = SE = 49

  23. C B 4000 5000 A 例3 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩5000米，飞机每小时飞行多少千米？ 4000 5000

  24. 课堂小结 ⒉勾股定理：直角三角形两直角边a、b平方和， 等于斜边c平方。 a2+b2 =c2 ⒈ 勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系. ⒊勾股定理的主要作用是 在直角三角形中,已知任意两边求第三边的长。

  25. 作业 1.阅读课本P93---95. 2.P98 10,11 3.收集勾股定理的证明方法, 写一篇关于勾股定理的小论文 4.写一篇关于我国在数学史上的贡献 的小论文. ( 3 , 4 任选一项)

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