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Distance d’un point à un plan. Par Amandine Mousset. L’espace étant muni d’un repère orthonormé, considérons…. z. Le plan  = ax+by+cz+d = 0 Le point P .  = ax+by+cz+d = 0. y. P . x.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
l espace tant muni d un rep re orthonorm consid rons
L’espace étant muni d’un repère orthonormé, considérons…

z

  • Le plan=ax+by+cz+d = 0
  • Le point P

=ax+by+cz+d = 0

y

P 

x

proposons de calculer en fonction de a b c d et la distance du point p au plan
Proposons de calculer, en fonction de a, b, c, d,,et,la distance du point P au plan.

z

=ax+by+cz+d = 0

Ecrivons des équations

paramétriques de

la droite p,

comprenant P et

perpendiculaire à  en

utilisant un triple de

paramètres directeurs

principaux de .

y

P 

x

slide4

Proposons de calculer, en fonction de a, b, c, d,,et,la distance du point p au plan.

z

=ax+by+cz+d = 0

Un triple de

paramètres directeurs

de p est donc (a,b,c).

Un triple de

paramètres directeurs

principaux de p est

donc

=ax+by+cz+d = 0

y

(

)

a

b

c

,

,

P 

x

a2+b2+c2

a2+b2+c2

a2+b2+c2

slide5

Proposons de calculer, en fonction de a, b, c, d,,et,la distance du point p au plan.

z

Des équations paramétriques de la droite p sont:

=ax+by+cz+d = 0

a

x =  + k

y

a2+b2+c2

b

y =  + k

p =

a2+b2+c2

P 

x

c

z =  + k

a2+b+c2

slide6

Proposons de calculer, en fonction de a, b, c, d,,et,la distance du point p au plan.

z

Calculons la valeur que prend k au point D commun à  et à p.

Pour cela, exprimons que la coordonnée de D vérifie l’équation de .

=ax+by+cz+d = 0

D

y

P 

x

slide7
Calculons la valeur que prend k au point D commun à  et à p.Pour cela, exprimons que la coordonnée de D vérifie l’équation de .

a

b

c

a (  + k

b (  + k

c (  + k

)

)

)

+

+

+

d = o

a2+b2+c2

a2+b2+c2

a2+b2+c2

a2+b2+c2

= o

a + b + c + d + k

a2+b2+c2

a + b + c + d

D’où: k = -

a2+b2+c2

slide8

Finalement, la distance du point P au plan  est…

a + b + c + d

z

PD = lkl =

a2+b2+c2

=ax+by+cz+d = 0

D

y

P 

x