UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

1. UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Medición de la desigualdad Rafael Salas Febrero de 2009

2. Referencia básica • Peter Lambert (2001), The distribution and redistribution of Income, 3rd. Edition, Manchester University Press. • Secciones 2.1, 2.2 y 2.3 • Referencias adicionales: • Cowell, F.A. (1995). Measuring Inequality (2nd edition). Hemel Hempstead: Prentice Hall/Harvester Wheatsheaf. Capítulos 1 y 2. • Jenkins, S. 1988: Calculating income distribution indices from micro data. National Tax Journal, 41, 139-142. • Kakwani, N.C. 1986: Analysing Redistribution Policies: A Study Using Australian Data. CUP, Capítulo 4.

3. Introducción • Partimos de las f. dedensidad f(x) • Típicamente: moda<mediana<media • Pastel: tamaño=media; reparto=desigualdad

4. Introducción • Partimos de distribuciones tabuladas • España 2001 panel hogares de la UE: • Rentas menores de 3000 euros: 48 hogares (2,10%) que reciben el 0,4% de la renta total. • Rentas menores de 6000 euros: 497 (24,85%) que reciben el 10,20% de la renta total… • Con menos de 9000 euros: 40,50% hogares con el 26,18%

5. Datos USA Datos USA: DeNavas-Walt, C., Proctor, B. D. and Lee, C. H. (2005) “Income, poverty, and health insurance coverage in the United States: 2004.” Current Population Reports P60-229, U.S. Census Bureau, U.S. Government Printing Office, Washington, DC.

6. Datos USA

7. Representamos la distribución

8. Distribución mundial • Función densidad relativa: Bourguignon y Morrison 2002

9. Cuantiles Dibujamos la distribución por cuantiles. Va a tener sus ventajas.

10. Rentas medias por grupos de población ordenados Detalle

11. Diferencias en el crecimiento

12. Introducción Dibujamos esta información en la “parada” o “desfile de los enanos” Pen, J. 1974: • Se trata de la inversa de la Función de distribución

13. Parada de los enanos

14. Introducción • Dibujamos la “curva de Lorenz”

15. Curva de Lorenz La curva de Lorenz se define como la relación entre la proporción acumulada de individuos con una renta menor o igual que una determinada cantidad y la proporción acumulada de renta de éstos individuos

16. Persona i Yi 5 5 25% 5% 1 2 3 4 15 35 45 Curva de Lorenz Veámoslo con el ejemplo 20 50% 20% 55 75% 55% 100% 100 100%

17. Proporción acumulada de renta Línea de igualdad 55% 20% 5% 25% 50% Proporción acumulada de ind. 75% Representamos esto...

18. Proporción acumulada de renta Línea de igualdad Max desigualdad Proporción acumulada de indivi En caso de máxima desigualdad...

19. Así pues, cualquier distribución de renta cuya curva de Lorenz esté más cercana a la diagonal ... Es más igualitaria Sin embargo tendremos dificultades para comparar dos distribuciones cuando... Sus dos curvas de Lorenz se cortan

20. C. Lorenz • Si la curva de Lorenz de una distribución A va por encima de la de una distribución B (AB): • Para todo conjunto de individuos más pobres p, en A reciben más proporción de renta total que en B (hay inequívocamente menos desigualdad) y para todo conjunto 1-p de individuos más ricos, en A reciben menos proporción de renta que en B (inequívocamente menos desigualdad). • Esta unanimidad no ocurre cuando se cortan las curvas de Lorenz.

21. Medidas de desigualdad • I. Gini se define como dos veces el área entre la curva de Lorenz y la diagonal principal (línea de máxima igualdad). Está acotado entre 0 y 1. G=A/(A+B)=2A, en el gráfico siguiente • I. Schulz se define como la máxima distancia entre la curva de Lorenz y la línea de máxima igualdad (S) en el gráfico.

22. Proporción acumulada de renta 55% 20% 5% 25% 50% Proporción acumulada de ind. 75% Representamos esto... S A B

23. C. Lorenz • Una transferencia progresiva, de un rico a un pobre (sin que se produzca reordenación entre ambos desplaza la curva de Lorenz hacia arriba. • Y a revés, si la curva de Lorenz de una distribución A va por encima de la de una distribución B (AB): • Entonces A se puede replicar desde B a partir de una secuencia de transferencias progresivas. Dasgupta et al. JET (1973), Fields y Frei (1978).

24. C. Lorenz • Partimos de la versión discreta p= j/N • Entonces

25. C. Lorenz • Partimos de la versión contínua p= F(y) • Entonces

26. C. Lorenz • TEOREMA • Pendiente de la curva de Lorenz L(p)=y/ • DEMOSTRACIÓN • IMPLICACIONES: • Entonces L(p) es creciente y convexa. • La pendiente en el percentil de la media es 1. • El índice de Schulz es:

27. C. Lorenz • El índice de Gini es: o alternativamente que coincide con 1-2B=2A del gráfico anterior

28. Ejercicio • Dibujar la curva de Lorenz para 2001 de los hogares españoles y computar el índice de Gini.

29. I. Gini

30. I.Gini Si agrupado: x1,k1 veces,…., xn, kn veces:

31. C. Concentración • Partimos de la versión discreta p= j/N • Entonces ordenamos T por la variable X (renta antes de impuestos) • El porcentaje del impuesto total que paga el j/N porcentaje más pobre.

32. C. Concentración • Partimos de la versión contínua p= j/N • Entonces ordenamos T por la variable X (renta antes de impuestos) • El porcentaje del impuesto total que paga el p porcentaje más pobre.

33. C. Concentración • No es la curva de Lorenz ni tiene sus propiedades, aunque la curva de concentración coincide con la Lorenz en el caso: • Aunque genéricamente:

34. C. Concentración • Un impuesto es progresivo si: • Relación importante si hacemos Y=X-T y t=tipo medio:

35. C. Concentración • De otra forma: • Definimos el coeficiente de concentración de T:

36. C. Concentración • Definimos el coeficiente de concentración de T y el de X-T análogamente: • Entonces índice de progresividad de Kakwani: Veremos su relación con el índice de redistribución:

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