第二章线性系统的运动分析

第二章线性系统的运动分析

目录 第一节状态方程的齐次解（自由解）第二节状态转移矩阵第三节线性系统的运动分析第四节连续系统的时间离散化第五节线性离散系统的运动分析第六节 MATLAB应用

1. 线性定常系统的运动 1）自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时，由初始状态引起的运动称自由运动。齐次状态方程: 2）强迫运动：线性定常系统在u(t)控制作用下的运动，称为强迫运动。非齐次状态方程：第一节状态方程的齐次解（自由解）

2. 齐次状态方程的解 满足初始状态的解是：满足初始状态的解是：

证明： 初始状态为：齐次状态方程：拉氏变换得：拉氏反变换得：仿标量系统得：故可得：初始状态为：

第二节状态转移矩阵 一. 状态转移矩阵的含义已知：线性定常系统的齐次状态方程满足初始状态的解是：满足初始状态的解是：令：则有：线性定常系统的状态转移矩阵

说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件： 1）状态转移矩阵初始条件： 2）状态转移矩阵满足状态方程本身：说明2: 对线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身。说明3: 状态转移矩阵的物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵。

二. 状态转移矩阵的基本性质 1. 不发生时间推移下的不变性证明：状态转移矩阵定义中，令t＝0即可得证 2. 传递性（组合性）证：由于又故上式成立，意为 t0至 t2 的状态转移过程可分解为 t0至 t1及 t1 至 t2 的分段转移过程。

总是非奇异的，必有逆存在，且 3. 可逆性证明： 4. 分解性设A为n×n维矩阵，t1 和t2 为两个独立自变量，则有：

6. 微分性和交换性 对有： 5．倍时性证明：

例：根据下述状态转移矩阵，求解Ф-1(t)、A。 解：根据状态转移矩阵性质(3)、(6)，有

三. 几个特殊的矩阵指数函数 1. ，即A为对角阵且具有互异元素

证明：

2 . A通过非奇异阵 T 可以变换为对角阵

证明：

3. A为 n×n 约当阵，即

4. A为模态矩阵 四、状态转移矩阵的计算 • 直接求解法：根据定义 • 标准型法求解：对角线标准型或约当标准型 • 待定系数法：凯利－哈密顿定理 • 拉氏反变换法

1. 由定义计算 例：已知　　　　　　求解：

对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的 。求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。

有二种标准形式：对角线矩阵、约当矩阵 2. 标准型法求解思路：根据状态转移矩阵性质：对A进行非奇异线性变换，得到：联立上两式，得到：

（1）当A的特征值 相异时：对角标准型求状态转移矩阵的步骤： 1）先求得A阵的特征值。 2）求对应于的特征向量，并得到 T 及 T-1。 3）代入上式即可得到状态转移矩阵的值。

例解: ∵A为标准Ι型

（2）A有n重特征根：约当标准型 求矩阵指数函数的步骤：和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变换阵 T。说明：对于所有重特征值，构造约当块，并和非重特征值一起构成约当矩阵。根据状态转移矩阵的性质，求得。

例解:

3.待定系数法(Cayley—Hamilton定理法) --------将化为A的有限项多项式来求解（1）凯利－哈密顿（简称C-H）定理应用：设n×n维矩阵A的特征方程为：则矩阵A满足其自身的特征方程，即：

可见，An，An+1，An+2，…都可以用An-1，An-2，…，可见，An，An+1，An+2，…都可以用An-1，An-2，…， A，I的线性组合表示。

（2）的计算公式 注意求逆推导：矩阵A满足其自身的特征方程，即： 1) A有互异的特征根时

2) A有n重特征值λ1时 注意求逆推导：此时只有一个方程：缺少n-1个独立方程，对上式求λ1偏导n-1次，得到其余n-1个方程说明：记住上式!特征值互异，对每个特征值，直接列方程；对m重特征值，求m-1次导数，补充m-1个方程。联立方程可求出系数。

4. 拉氏变换法 例：已知　　　　　　　　　　　求解：

第三节线性系统的运动分析 一、线性系统的运动规律若线性定常系统的非齐次状态方程的解存在，则解形式如下：自由运动由初始状态引起强制运动由控制作用引起

1）先把状态方程写成 2）两边左乘，利用的性质 3）对上式在区间内进行积分，得: 证明:

例试求下述系统在单位阶跃函数作用下的解 解(1) ：从前例已求出 (2) x(t)：

二. 特定输入下的状态响应 1. 脉冲响应 u(t)积分，xu(t)积分 2. 阶跃响应 3. 斜坡响应

第四节连续系统的时间离散化 一. 问题的提出 1. 离散化的必要性计算机所需要的输入和输出信号是数字式的，时间上是离散的。但是，当采样周期极短时，离散系统可近似地用连续系统特性来描述。

2. 离散化方法：(采样器+保持器) 采样器：将连续信号r(t)调制成离散信号r*(t)。零阶保持器：将离散信号r*(t)转为阶梯信号u(t)

二. 三点基本假设 1）离散方式是普通的周期性采样。采样是等间隔进行的，采样周期为T；采样脉冲宽度远小于采样周期，因而忽略不计；在采样间隔内函数值为零值。 2）采样周期T的选择满足香农采样定理。离散函数可以完满地复原为连续函数的条件为或，其中为采样频率，为连续函数频谱的上限频率。 3）保持器为零阶保持器。

设代入上式中得到： 三. 连续时间系统的离散化模型线性定常系统：离散化模型为：其中：推导过程：直接从定常系统非齐次状态方程的解中进行离散化

将这些结果代入上式，得到：

例2-10： 建立下列连续时间系统当采样周期为T时的离散化模型。解：先求连续系统的状态转移矩阵：所以：

四、近似离散化模型 离散化方程的近似形式为：用差商代替微商其中：推导过程：仿导数定义，即用说明：采样周期非常小时，这种近似的精度可以接受。

第五节线性离散系统的运动分析 • 递推法(迭代法)：适合于线性定常和时变系统； • Z变换法：仅适合于线性定常系统。

状态方程：， G、H是定常矩阵。给定时的初始状态x(0) ，及任意时刻 u(k) 初始状态引起的响应输入引起的响应一. 递推法由迭代法得：

几点说明： 1）解的表达式的状态轨迹线是状态空间中一条离散轨迹线。它与连续系统状态的解很相似。解的第一部分只与系统的初始状态有关，它是由起始状态引起的自由运动分量。第二部分是由输入的各次采样信号引起的强迫分量，其值与控制作用u的大小、性质及系统的结构有关。 2）在输入引起的响应中，第k个时刻的状态只取决于所有此刻前的输入采样值，与第k个时刻的输入采样值无关。

3）与连续时间系统对照，在离散时间系统中，3）与连续时间系统对照，在离散时间系统中，定义为状态转移矩阵，有：利用状态转移矩阵，解可写成：

二. Z变换法 离散系统的状态方程：对上式两边进行Z变换：对上式两边进行Z反变换和迭代法比较:

得：证明：

例2-11、2-12 ： 已知定常离散时间系统的状态方程为式中：给定初始状态为：求该离散系统在单位阶跃输入下状态方程的解。解：1）迭代法由于输入为单位阶跃函数，所以：

第二章 线性系统的运动分析