線形計算の基礎（密行列）

線形計算の基礎（密行列） 1E11M103 本山義史

行列演算の基礎について ・行列の四則演算・ピボット選択・三角分解（LU分解）

連立一次方程式について ・ガウスの消去法・部分ピボット選択付きガウスの消去法・逆行列の計算・LU分解を用いる方法

行列の四則演算について。 （１）n次元ベクトルの加算プログラミングに利用できる書式にすると、

（２）n×n型（正方）行列の加算 プログラミングに利用できる書式にすると、

（３）n次元ベクトルの減算 プログラミングに利用できる書式にすると、

（４）n×n型（正方）行列の減算 プログラミングに利用できる書式にすると、

（５）n次元ベクトルの乗算 プログラミングに利用できる書式にすると、

また、 プログラミングに利用できる書式にすると、

（６）n×n型行列の乗算

また、

ピボット選択について 　連立一次方程式や逆行列の計算の際に、係数行列の第k列の第k行目以降の要素の中で絶対値が最も大きいものを探し、それが第l行にあれば第k行と第l行全体を入れ替えるという操作のこと。　左辺の係数行列についてピボット選択を行う際に、右辺の同じ行についても入れ替えを行えば、の未知数の順番は変化しない。 →このような式の両辺に対してピボット選択を行うことは、行列を展開した時の式の順序を入れ替えることに相当しており、結果には影響を与えない。

　ピボット選択を行列表現で行うときには、次に示す置換行列を用いる。　ピボット選択を行列表現で行うときには、次に示す置換行列を用いる。正方行列の第行と第行（あるいは第列と第列）を入れ替える時、置換行列は単位正方行列の第行と第行を入れ替えたものになっている。また、置換行列はという性質がある。 ←第行 ←第行　正方行列の行を入れ替えるときは置換行列を左からかけ、列を入れ替えたい時には置換行列を右からかける。

（例題） 　次の行列の第１行と第２行を入れ替える置換行列を示せ。また、置換行列を左からかけることによって、行列の第１行と第２行が入れ替わることを示せ。

（解答） 置換行列は次のようになる。この置換行列を行列の左からかけると次のような結果になる。

三角分解（LU分解）について 　行列が与えられたとき、その行列を下三角行列と上三角行列の積の形に分解することを三角分解（LU分解）という。 LU分解にはいくつかの方法が考えられているが、一般的によく知られているクラウト法について説明する。今、行列を下三角行列と上三角行列に分解することを考える。

　下三角行列の対角成分を１にする方法と上三角行列の対角成分を１にする　下三角行列の対角成分を１にする方法と上三角行列の対角成分を１にする方法の２種類あるが、ここでは下三角行列の対角成分をとする。

行列の要素の値については、まずの値に注目して次のように行列の要素の値については、まずの値に注目して次のように下三角行列、上三角行列のを計算する。

　下三角行列および上三角行列の それぞれ以下の式を用いて計算を行う。クラウド法はわかりやすい方法ではあるが、ピボット選択を行うことができない。LU分解は連立一次方程式の解法に利用されることが多いので、ピボット演算を適用した方が望ましい。　ピボット選択を含んだLU分解法としては、部分ピボット付きガウスの消去法に基づいた方法が知られている。

（例題） 次の行列クラウト法を用いてLU分解せよ。

（解答） 行列

両辺の各要素を対応させると次のような等式が得られる。両辺の各要素を対応させると次のような等式が得られる。下三角行列の対角成分の値を１と考えると、この値をもとにして、他の要素の値を計算する。

三角分解した結果は次のようになる。

ガウスの消去法について。 　直接法の中でよく知られている連立一次方程式の解法として、ガウスの消去法がある。この方法は前進消去（前進差分）といわれる処理と後進代入といわれる処理に別けて行われる。いま、次の連立一次方程式について考える。

この式を 　上記のような形式の連立一次方程式に変換する処理のことを前進消去と呼ぶ。また、前進消去によって得られた式を下から順について解く処理を後退代入という。

説明のため、前のページの式を次のように行列表現する。説明のため、前のページの式を次のように行列表現する。

（Step１） 　まず、左辺の係数行列の第に注目する。第以下の式を用いる。　上記の計算をなり、次のような式に変換されている。

　前進消去が終わった段階で得られた式について、対角成分は必ずしも　前進消去が終わった段階で得られた式について、対角成分は必ずしも１であるとは限らない！！

（Step２） 　前進消去によって得られた式（前ページ）をもとにして、式を下から順に以下のように後退代入を行うことにより、解

（例題） 　ガウスの消去法の基本アルゴリズムを用いて、次の連立方程式の解を求めよ。

（解答） ⇒

最後に３行目２行目２→３行目を行うと、 前進消去によって得られた式をもとに、後退代入を行う。このようにして解

部分ピボット選択付きガウスの消去法について。部分ピボット選択付きガウスの消去法について。ピボット選択をガウスの消去法に適用する方法がある。（Step１）　前進消去の際にピボット選択を行う。大きな要素を探す。もし絶対値の最大値が方程式の両辺について（Step２）計算を行う。

) Step１とStep２の計算が終了すると、左辺の係数行列は上三角行列になっている。（Step３）　以下、後退代入処理となる。この部分についても基本アルゴリズムと同じである。前進消去によって得られた式を下から順に、以下の式を用いて処理を行うことにより、解

（例題） 部分ピボット選択付きガウスの消去法を用いて次の連立方程式を解け。

（解答） 　ピボット選択により、１行目と３行目の入れ替えを行う。１行目と３行目の入れ替えを行うための置換行列

　入れ替えたあとで、２行目２行目、３行目 ３行目とする。この変換行列を

これを用いて次のように表現できる。 ここまでを計算した結果は次のようになる。

　次にピボット選択により、２行目と３行目の入れ替えを行う。　次にピボット選択により、２行目と３行目の入れ替えを行う。２行目と３行目の入れ替えを行うための置換行列　置換行列を用いて入れ替えを表現すると次のようになる。

　入れ替えたあとで、３行目２行目３行目を行う。　入れ替えたあとで、３行目２行目３行目を行う。この変換行列をこれを用いて次のように表現することができる。

前進消去によって得られた式をもとに、後退代入を行う。前進消去によって得られた式をもとに、後退代入を行う。このようにして、

逆行列の計算について 　ガウスの消去法の前進消去を応用して、前進消去終了後の左辺の係数行列が単位行列になるように変換することもできる。　この場合には、後退代入を行うことなしに連立方程式の解を求めることができる。この手法を掃き出し法（ガウス・ジョルダンの消去法）という。掃き出し法を用いて、逆行列を求めることができる。　この行列行列

　基本演算とピボット演算だけを利用して次のような式に変換したとき、　基本演算とピボット演算だけを利用して次のような式に変換したとき、右辺に作られた行列

　ここで、左辺の係数行列を単位行列に変換する際には各列に対して次式　ここで、左辺の係数行列を単位行列に変換する際には各列に対して次式を用いる。今、第する。次式において、左辺と右辺は中央の分離線によって分けられている。

最終的な目標として、次のように単位行列が左半分に移ることである。最終的な目標として、次のように単位行列が左半分に移ることである。

（例題） 次の行列の逆行列を求めよ。

（解答） 　１行目１行目としたあとで、２行目１行目２２行目、３行目１行目３行目という演算を行う。

２行目と３行目を入れ替える。 １行目２行目２１行目

　３行目３行目としたあとで、１行目＋３行目→１行目、２行目　３行目３行目としたあとで、１行目＋３行目→１行目、２行目３行目２→２行目という演算を行う。　逆行列は次のようになる。

LU分解を用いる方法について 　置換行列と変換行列を用いると、ガウスの消去法の前進消去の過程は次のように表すことができる。となる。ただし、

線形計算 の基礎（ 密 行列）