ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur

1. ASI 3Méthodes numériquespour l’ingénieur Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes : LDL’ et Choleski

2. Résoudre un système linéaire Fonction x = LU(A,b) Fonction x = Gauss(A,b) U,c = descent(A,b) x = triang(U,c) L,U = decompose(A) y = triang(L,b) x = triang(U,y) Cas particulier : A est symétrique définie positive

3. Matrice à diagonale dominante Définition : une matrice carrée A est dite à diagonale dominante ssi : Théorème : SiA est a diagonale strictement dominante, Alors est elle alors non singulière, De plus Gauss est stable et peut fonctionner sans changement de colonne Éléments de démonstration : Ax=0, par l’absurde

4. Matrice symétrique définie positive Symétrique : A’=A Définie positive: Exemple : Rappelez vous des moindres carrés

5. Exemple

6. Exemple

7. Propriétés des matrices définies positives Théorème : • Si • A est une matrice n x n strictement définie positive • Alors : • A est non singulière • aii > 0 pour i=1,n

8. Propriétés des matrices définies positives Théorème : • Si • A est une matrice n x n strictement définie positive • Alors : • A est non singulière • aii > 0 pour i=1,n

9. Propriétés des matrices définies positives Théorème : • Si • A est une matrice n x n symétrique strictement définie positive • Alors :

10. Propriétés des matrices définies positives Théorème : • Si • A est une matrice n x n symétrique strictement définie positive • Alors :

11. Autres propriétés Définition : une sous matrice principale d’une matrice A est une matrice carrée de la forme A(1:i,1:i) quelque soit i Théorème : Une matrice symétrique est définie positive ssi chacune de ses sous matrice principales à un déterminant positif

12. Autres propriétés Définition : une sous matrice principale d’une matrice A est une matrice carrée de la forme A(1:i,1:i) quelque soit i Théorème : Une matrice symétrique est définie positive ssi chacune de ses sous matrice principales à un déterminant positif

13. Autres propriétés • Théorème : • Une matrice est symétrique définie positive si la méthode de Gauss • être appliquée sans permutations n’admet que des pivots positifs • De plus, le résultat est stable par rapport aux erreurs d’arrondi • Corollaire • si A est une matrice symétrique non singulière, • Alors il existe une matrice diagonale D • et une matrice triangulaire avec des 1 sur la diagonale L • telles que : • A = LDL’ • éléments de démonstration : A non singulière =>A=LU =LDV • et A’=V’DL’ que l’on identifie car A est symétrique

14. Factorisation LDL’ V=DL’ 0 vj=S lijdj aii=di+S lijvj aij=dilij+S likvk L A 0 i Exemple :

15. La factorisation LDL’ Fonction L,D = décomposeLDL(A)

16. Choleski : LL’ D doit être positif ! • Théorème : • toute matrice A symétrique définie positive • admet une décomposition unique sous la forme • A=LL’ • ou L est une matrice triangulaire inférieure dont tous les éléments • diagonaux sont positifs

17. Choleski : l’algorithme Fonction L = Choleski(A)

18. Comparaison : temps de calcul 2 Total 2n3/3 n3/3 Plus stable !

19. Logiciels • Cas général : PA=LU • Matrice symétrique définie positive : A=LL’ (Choleski) • Matrice symétrique : A=LDL’ • Matrice tridiagonale (heisenberg) : LU par bande (cf TD) • Matrice triangulaire : « remontée en n2 » Matlab : x =A\b ; si A triangulaire : x=trisup(A,b) sinon si A symétrique définie positive ; L=chol(A) sinon : (* cas général*) [L,U,P]=lu(A); z=L\(P*b); x=U\z; • LAPACK = BLAS (basic linear algebra subprograms) • - blaise, octave, matlab (interprétés calcul) • - scilab, maple (interprétés formels) • - IMSL, NAG (bibliothèques)