人教 A 版 选修 1-1 选修 2-1 第二章 《 圆锥曲线与方程 》 选修 4-4 《 坐标系与参数方程 》 教学解读 杭州市普通教育研究室 李学军

1. 人教A版 选修1-1 选修2-1 第二章 《圆锥曲线与方程》 选修4-4 《坐标系与参数方程》 教学解读 杭州市普通教育研究室 李学军 电子信箱 lixuejun@hz.cn 杭州中学数学网: www.hzmath.com

2. 理念: 构建共同基础,提供发展平台 提供多样课程,适应个性选择 知识: 螺旋上升 一步到位

3. 1-1, 2-1《圆锥曲线与方程》 课程标准: 教材特点: 教学建议:

4. 《圆锥曲线与方程》课标 • 选修2-1(理科)（16课时） （1）圆锥曲线 ① 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ② 经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。 ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。 ④ 能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题（直线与圆锥曲线位置关系）和实际问题。 ⑤ 通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。 （2） 曲线与方程 结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。 • 选修1-1(文科)（12课时） （1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 （2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。 （3）了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质。 （4）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。 （5）了解圆锥曲线的简单应用。

5. 选修2-1(理科)（16课时） 2.1曲线与方程 2.1.1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的方程 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程 探究与发现: 为什么载口曲线是椭圆 2.2.2 椭圆的简单几何性质 信息技术应用: 用<几何画板>探究点的轨迹:椭圆 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程, 2.3.2 双曲线的简单几何性质 探究与发现:为什么y=(b/a)x是渐近线 2.4 抛物线 2.4.1抛物线及其标准方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质 探究与发现:为什么二次函数的图象是抛物线 阅读与思考:一.圆锥曲线的光学性质及其应用 二.圆锥曲线的离心率与统一方程 . 圆锥曲线的简单应用 《圆锥曲线与方程》教学内容 • 选修1-1(文科)（12课时） 2.1椭圆 2.1.1椭圆及其标准方程 探究与发现: 为什么载口曲线是椭圆 2.1.2 椭圆的简单几何性质 信息技术应用: 用<几何画板>探究点的轨迹:椭圆 2.2 双曲线 2.2.1双曲线及其标准方程 2.2.2双曲线的简单几何性质 2.3 抛物线 2.3.1 抛物线及其标准方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质 阅读与思考:圆锥曲线的光学性质其及应用

6. 《圆锥曲线与方程》内容与课时安排

7. 教材特点： • 重视探究，引入有变； • 运用技术，方法有新； • 了解背景，内容有增。 • 知识不全，内容有删； • 研究不深，突出方法； • 文理有别，子集关系。

8. 教学建议： • 用好本章引言 • 把握教学要求： 　本章理科共分四大节，前一节的重点是掌握求曲线方程的一般步骤。 后三节分别研究了椭圆、双曲线、抛物线的概念和简单几何性质。并插入学会用坐标法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题 教学时力求突出主干知识，精选内容：研究圆锥曲线方程时主要介绍标准方程，不涉及一般方程；在利用方程研究圆锥曲线的几何性质时，只讨论最简单、最主要的性质，满足基本的需要，并使学生在此过程中学会研究曲线性质的一般方法；对有兴趣的学生可鼓励自主探究，并通过“思考”、“探究”、“探究与发现”、“阅读与思考”等栏目，以及在条件许可下运用信息技术提供发展空间。另外，根据问题的难易度及学生的认知水平，只要求掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求“了解双曲线定义”。

9. 教学建议： • 突出基本思想。 　　　解析几何的基本思想是曲线与方程、方程与曲线的关系；突出用方程研究曲线，用代数方法研究曲线的性质。由于教材是先通过特殊曲线，从感性上认识曲线方程的意义，再建立一般的曲线方程的概念，因此在建立椭圆、双曲线、抛物线的方程时，可不必涉及方程的解与曲线上的点的对应关系的两个方面，重点放在“如何建立曲线方程”及“怎样用曲线方程研究曲线的几何性质”上。曲线方程的概念比较抽象，教学时只需通过已经学习过的几种曲线的方程与曲线的关系进行概括，并通过具体问题让学生适当感受，并在应用中加深体会，不要在定义的两个方面作过多研究。本章的数学教育价值是“数形结合”的数学思想方法，《标准》中多次提到“让学生体会和感受数形结合的思想”，应在本章中得到较好的落实。

10. 教学建议： • 重视引入过程。在椭圆的学习过程中，教材从圆出发，给出“探究”栏目，通过把细绳的两端分开，让学生观察轨迹的形状，建立与已有知识的联系与区别；由画图的过程，探究形成轨迹的动点满足的几何条件，展现曲线的典型几何特征；在此基础上，给出具有这种典型几何特征的轨迹的正式名称：椭圆；通过观察椭圆的形状，引导学生建立适当的直角坐标系，用点的坐标表示距离，建立椭圆的标准方程。教材意在突出知识的发生、发展过程，引导学生自主学习探索，既动手又动脑，获得体验；在感性认识的基础上，把具体直观的图形“椭圆”抽象形式化（代数化）为“方程”，形成理性认识。其他两种圆锥曲线：双曲线与抛物线，虽然它们的几何特征与椭圆不同，但其引入过程以及标准方程的建立过程，都可与椭圆相类比展开。

11. 教学建议： • 应知系列1、2有别。在系列1、2中都有圆锥曲线这部分内容，但两者的要求不同。从所用教学时间来看，系列1中为12课时，而系列2中为16课时；从内容上看，系列2增加了“经历从具体情境中抽象是出抛物线模型”（而在系列1中只要求从具体情境中抽象出椭圆模型）；增加了“能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题”；增加了“曲线与方程的对应关系”。在教学要求上，系列2增加了“引导学生了解圆锥曲线的离心率与统一方程”，“通过软件向学生演示方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响，使学生进一步理解曲线与方程的关系”。由此可见，系列2对抽象概括和参数变化、运动观点的要求提高了，在教学设计和实施中教师应注意到这一点。

12. 教学中要注意： 1. 注意知识内容的前后衔接,准确把握教学要求 如<初步>中已经接触过：“坐标法”(应贯穿平面解析几何教学的始终), “数形结合”(自始至终帮助学生不断地体会的重要思想方法)。 • 圆锥曲线统一定义和非标准的圆锥曲线方程不作教学要求 圆锥曲线统一定义是非常经典的内容, 但不作为基本教学要求. 教材中有”探究与发现: 圆锥曲线的离心率与统一方程”,供有余力学习学习. 非标准的圆锥曲线方程没有必要补充

13. 教学中要注意： 3. 关注曲线与方程和函数与图象之间的关系 曲线与方程, 函数与图象是两类不同的研究对象,它们之间有一定联系,也存在一定区别. 2-1中选学内容: “探究与发现为什么二次函数什么二次函数y = ax2 + bx + c(a0)的图象是抛物线” 4. 关于信息技术使用 信息技术在本节大有用武之地, 应该得到运用, 但要注意运用是促进探究? 还是猜想验证? 是呈现?还是发现?

14. 选修４－４《坐标系与参数方程》 教材特点: 教学建议:

15. 本专题分两讲： 第一讲：坐标系： 坐标系是坐标法思想得以实现的平台，是解析几何的基础。学习本讲可以丰富对坐标系的认识，体会不同坐标系在刻画几何图形或描述自然现象的特点，从而学会如何选择坐标系使建立的方程更加简单，研究更方便。 第二讲：参数方程 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更为方便。学习本讲有助于进一步体会解决问题中的数学方法的灵活多变。

16. 选修4-4《坐标系与参数方程》课标定位 本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化。极坐标系和参数方程是本专题的重点内容，对于柱坐标系、球坐标系等只作简单了解。通过对本专题的学习，学生将掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。

17. 《坐标系与参数方程》内容与要求 1．坐标系 （1）回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用。 （2）通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 （3）能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。 （4）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。 （5）借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等)了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别。

18. 《坐标系与参数方程》内容与要求 2.参数方程 　　（1）通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。 　　（2）分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程。 　　（3）举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性。 　　（4）借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹（平摆线）、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线),了解平摆线和渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程。 　　（5）通过阅读材料，了解其他摆线（变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线）的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例(例如，最速降线是平摆线，椭圆是特殊的内摆线---卡丹转盘，圆摆线齿轮与渐开线齿轮，收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计，星形线与公共汽车门)；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用。

19. 《坐标系与参数方程》内容与要求 3.完成一个学习总结报告 　报告应包括三方面的内容：(1)知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，进一步认识数形结合思想，思考本专题与高中其他内容之间的联系。(2)拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步探讨参数方程、摆线的应用。(3)学习本专题的感受、体会。

20. 《坐标系与参数方程》说明与建议 1．坐标系的教学应着重让学生理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组（坐标）来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的几何含义不同。同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式。因此，选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式。 2．在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处。 3．应通过对具体物理现象的分析(如抛物体运动的轨迹)引入参数方程，使学生了解参数的作用。 4．应注意鼓励学生运用已有的平面向量、三角函数等知识，选择适当的参数建立曲线的参数方程。 5．可以组织学生成立兴趣小组，合作研究摆线的性质，收集摆线应用的实例。 6．可以应用计算机展现心脏线、螺线、玫瑰线、叶形线、摆线、渐开线等，使学生感受这些曲线的美。

21. 《坐标系与参数方程》教材教学内容 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 1 参数方程的概念 2.圆的参数方程 3.参数方程普通方程互化 二 圆锥曲线的参数方程 1. 椭圆的参数方程 2. 双曲线的参数方程 信息技术应用：圆锥曲线参数方程中的几何意义 3. 抛物线的参数方程 三 直线的参数方程 四 渐开线与摆线 1.渐开线 2.摆线 学习总结报告 第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系 1 平面直角坐标系 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 二 极坐标系 1.极坐标系的概念 2.极坐标和直角坐标的互化 三 简单曲线的极坐标方程 1. 圆的极坐标方程 2. 直线的极坐标方程 四 柱坐标系与球坐标系简介 1. 柱坐标系 2. 球坐标系

22. 《坐标系与参数方程》内容与课时安排

23. 教材特点： • 两讲内容，熟多生少； • 思考探究，教法有变； • 知识面宽，明理知法； • 强调背景，展现过程； • 重视联系，强调思想； • 使用技术，用意明确； • 安排总结；提供自主； • 四十七页，拓展需研。

24. 教学建议： 创设问题情景，启发学生思维 考虑教材中 给出的每一个思考、探究的用意； 安排的每一个例题、练习的用意。 创设情境促成思考，形成探究 提供时间思考例题、评析到位

25. 教学建议： • 重视知识联系，学习新知提升已知 向量知识：P4例1，P35 例3，直线参数方程、渐开线方程推导等 三角知识：伸缩变换，方程互化等 线性规划：P30思考（体会更多的最优化问题） 内部联系：P28思考：椭圆参数的几何意义与圆参数几何意义类似吗？ P31由椭圆类比研究双曲线（形成内部联系）

26. 教学建议： • 重视数学思想方法，关注学生思维活动 如“声响定位”问题，关注点不在位置，而在如何确定这个位置的思想方法，如何建立坐标系从而使解决问题的过程最简。 方程互化中的等价变换思想 研究中的“数形结合” 解决问题时的方程思想

27. 教学建议： • 突出教学重点，把握教学要求 极坐标系、圆锥曲线与直线的参数方程、坐标法思想、数形结合思想与参数法是本专题的重点 伸缩变换、柱坐标系和球坐标系了解即可（侧重完善坐标系概念，认识坐标法思想的广阔应用空间即可）。 伸缩变换中的只考虑正的情况（侧重的是如何通过坐标伸缩这一代数变换来表示图形的伸缩变换，是坐标法思想的熏陶） 极坐标多值性不要过多讨论，圆锥曲线极坐标方程不作要求。 求出的极坐标方程是曲线的极坐标方程出不要求证明。

28. 教学建议： • 运用《几何画板》研究问题，展示结果 圆锥曲线参数方程中的几何意义利用技术观察发现 极坐标系教学中，由坐标画点，由点写出坐标，观察发现对称点坐标等。 渐开线、摆线等曲线的展示（课程标准）

29. 谢谢各位! 敬请指正!