“ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΔΡΑΣΗ: Πως το φώς βρίσκει το δρόμο του ”

1. “ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΔΡΑΣΗ: Πως το φώς βρίσκει το δρόμο του” 2010 ΘΕΡΙΝΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

2. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ Υποθέστε ότι έχουμε ένα σωματίδιο το οποίο κινείται ελεύθερα στο πεδίο βαρύτητας, ξεκινώντας από κάποιο αρχικό σημείο σε ένα άλλο τελικό σημείο σε δεδομένο χρόνο. Ας υποθέσουμε τώρα μια διαφορετική διαδρομή, που όμως το σωματίδιο την διανύει στον ίδιο με προηγουμένως χρόνο Πραγματική διαδρομή Υποθετική διαδρομή B B A A Αν υπολογίσουμε το για την υποθετική διαδρομή τότε θα βρούμε έναν αριθμό που θα είναι μεγαλύτερος από εκείνον που αντιστοιχεί στην πραγματική διαδρομή. Τότε ο ν. Newton μπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξής: Η μέση τιμή της ΚΕ μείον την μέση τιμή της ΔΕ είναι η μικρότερη δυνατή, για ένα αντικείμενο που πηγαίνει από ένα σημείο σε ένα άλλο.

3. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ x Πραγματική διαδρομή B Κίνηση στο Βαρυτικό πεδίο A t Μπορούμε να υπολογίσουμε την (ΚΕ – PE) και να την ολοκληρώσουμε ως προς το χρόνο, για κάθε πιθανή διαδρομή που θέλουμε. Το «αξιοθαύμαστο» είναι ότι για την πραγματική διαδρομή το ολοκλήρωμα αυτό είναι ελάχιστο !!!

4. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Το προς επίλυση μαθηματικό πρόβλημα είναι να βρούμε για ποια διαδρομή ο αριθμός αυτός είναι ελάχιστος ΛΥΣΗ 1: Υπολογίζουμε την δράση για εκατομμύρια διαδρομές και κοιτάζουμε για ποια από αυτές η δράση είναι η ελάχιστη. Αυτή θα είναι η πραγματική διαδρομή. ΛΥΣΗ 2: Όταν έχουμε μία ποσότητα η οποία έχει ελάχιστο, μία από τις ιδιότητες του ελαχίστου είναι ότι εάν απομακρυνθούμε από το ελάχιστο κατά πρώτη τάξη μεγέθους, τότε η απόκλιση της συνάρτησης από το ελάχιστο θα είναι δευτέρας τάξεως μεγέθους.

5. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ Συμβολίζοντας τη πραγματική διαδρομή και μία δοκιμαστική διαδρομή που διαφέρει από την πραγματική διαδρομή κατά μία μικρή ποσότητα ΙΔΕΑ: Η ποσότητα σε προσέγγιση πρώτης τάξης για μικρά πρέπει να είναι 0 Αντικαθιστώντας στον τύπο της δράσης, έχουμε:

6. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ Αναπτύσσοντας, έχουμε: Παίρνοντας υπόψη μόνο όρους πρώτης τάξης μεγέθους, έχουμε για το κομμάτι της κινητικής ενέργειας: (όροι δεύτερης ή μεγαλύτερης τάξης) Για το κομμάτι της δυναμικής ενέργειας, έχουμε:

7. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ Αντικαθιστώντας, έχουμε: (όροι δεύτερης ή μεγαλύτερης τάξης) Οπότε: Γνωρίζουμε ότι: Ολοκληρώνοντας κατά παράγοντες: Οπότε:

8. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ και Όμως γνωρίζουμε ότι: Οπότε: Με την απαίτηση το δS=0 ,στην ουσία επιβάλουμε στην οποιαδήποτε τυχαία τροχιά να συμπέσει με την πραγματική Έχουμε επομένως ένα ολοκλήρωμα της μορφής: Οπότε πρέπει: Δηλαδή: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Το ολοκλήρωμα της δράσης γίνεται ελάχιστο για την διαδρομή εκείνη η οποία ικανοποιεί την παραπάνω διαφορική εξίσωση. Επομένως η αρχή της ελάχιστης δράσης δίνει την σωστή απάντηση. Λέει ότι η διαδρομή εκείνη που έχει την ελάχιστη δράση είναι εκείνη που ικανοποιεί τον νόμο του Newton

9. ΟΡΟΛΟΓΙΑ: Η συνάρτηση την οποία ολοκληρώνουμε ως προς τον χρόνο για να πάρουμε την δράση S , λέγεται Lagrangian ( ), Οπότε:

10. μια «τρελή» ιδέα !!!! Κλασσική Μηχανική HLagrangian ορίζεται από τη σχέση: όπου: και Ορισμός

11. μια «τρελή» ιδέα !!!! απαίτηση Lagrangian

12. Ποια είναι η Lagrangian στον ηλεκτρομαγνητισμό ; Στον Η/Μ δεν μπορούμε «επ’ ουδενί» να αποφύγουμε την σχετικότητα, άρα η Lagrangian θα πρέπει να είναι αναλλοίωτη σε μετασχηματισμούς Lorentz τετραδιάνυσμα ΗΜ δυναμικού Lorentz Invariant Lagrangian Δύναμη Lorentz

13. Πως βρίσκει λοιπόν το δρόμο του ένα «κβαντομηχανικό» σωματίδιο ; Μία από τις παραδοχές του Feynman για την δική του προσέγγιση στα path Integrals στην Κβαντομηχανική (QM) και στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου (QFT) ήταν να εκφράσει την τιμή της κυματοσυνάρτησης στην κορυφή του κυματοπακέτου με όρους που περιέχουν την Lagrangian Στην Κβαντομηχανική (QM) η λύση της εξίσωσης Schroedinger παριστάνει επίπεδο κύμα που έχει την μορφή Η φάση σε οποιοδήποτε δοθέν x και t είναι: Τότε : Μη-σχετικιστικά : και

14. Πως βρίσκει λοιπόν το δρόμο του ένα «κβαντομηχανικό» σωματίδιο ; Ολοκληρώνοντας την προηγούμενη σχέση έχουμε: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Η φάση είναι η δράση Επομένως η κυματοσυνάρτηση στην κορυφή της κατανομής μπορεί να εκφρασθεί συναρτήσει της Lagrangian ως εξής:

15. Πως βρίσκει λοιπόν το δρόμο του ένα «κβαντομηχανικό» σωματίδιο ; Προσέγγιση των Path Integrals κατά Feynman: Η Κεντρική Ιδέα Ένα σωματίδιο/κύμα (όπως το ηλεκτρόνιο) που ταξιδεύει σε μία διαδρομή μεταξύ δύο γεγονότων στον χωρόχρονο, μπορεί να θεωρηθεί ότι ταξιδεύει κατά μήκος όλων των πιθανών διαδρομών (άπειρες σε αριθμό) μεταξύ αυτών των γεγονότων.

16. Πως βρίσκει λοιπόν το δρόμο του ένα «κβαντομηχανικό» σωματίδιο ; • Η διαδρομή Η είναι η κλασσική διαδρομή, έχοντας την γωνία πρόσπτωσης ίση με την γωνία ανάκλασης. • Επειδή έχει το μικρότερο μήκος, το σωματίδιο κατά μήκος αυτής της διαδρομής θα έχει την μικρότερη ταχύτητα. • Επειδή η Lagrangian εδώ είναι απλά η κινητική ενέργεια, η κλασσική διαδρομή Η θα έχει την μικρότερη Lagrangian, και επομένως την μικρότερη δράση. • Οι υπόλοιπες διαδρομές δεν υπακούουν στους συνηθισμένους νόμους , όμως σύμφωνα με την προσέγγιση του Feynman πρέπει να τα πάρουμε υπόψη. • Για κάθε σωματίδιο/κύμα που φτάνει στο γεγονός b μπορούμε να καθορίσουμε τοeiφ για κάθε διαδρομή, όπου S=L.T=1/2mv2.T

17. Πως βρίσκει λοιπόν το δρόμο του ένα «κβαντομηχανικό» σωματίδιο ; ΣΥΜΠΕΡΑΣΜATA • Όλες οι διαδρομές που είναι μακριά από την κλασσική διαδρομή Η , αλληλοαναιρούνται γιατί είναι εκτός φάσης. • Το τετράγωνο του πλάτους του τελικού ανύσματος είναι ανάλογο με την πυκνότητα πιθανότητας να μετρήσουμε το σωματίδιο στη θέση b.

18. Πως βρίσκει λοιπόν το δρόμο του ένα «κβαντομηχανικό» σωματίδιο ; ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1) Τι θα συνέβαινε αν αυξάναμε την μάζα του σωματιδίου; Αν αυξάναμε την Lagrangian διατηρώντας την ταχύτητα σταθερή σε κάθε διαδρομή , επομένως θα αυξάναμε την μάζα του σωματιδίου, τότε τα ανύσματα των phasors που βρίσκονται στο κέντρο της καμπύλης θα μετατοπίζονταν προς τα άκρα και θα αλληλοαναιρούνταν. Με άλλα λόγια αυξάνοντας την μάζα του σωματιδίου, ερχόμαστε πιο κοντά στο κλασσικό όριο και οι διαδρομές που βρίσκονται πιο κοντά στην κλασσική διαδρομή συνεισφέρουν περισσότερο στο τελικό άθροισμα. 2) Τι θα συνέβαινε αν η σταθερά του Plank ήταν μικρότερη; Τότε όλες οι διαδρομές εκτός από την κλασσική Η θα αλληλοαναιρούνταν . Αν