第五章变形模式的拓扑约束识别

第五章变形模式的拓扑约束识别 5.1 引言 • 1970年开始的国际地球动力学10年计划将探讨构造运动的李元作为该计划的重点目标。这从一个侧面反映了对变形体所受到的外力来源和分布的探讨的重要性。 • 变形驱动力的反演在构造应力场研究中已经做了许多工作，1983年王仁提出了构造应力场反演的叠加法，许多学者纷纷以该方法或以该方法为基础进行驱动力的变化信息，力源变化信息无疑对变形解释和预报有着不可替代的作用

叠加法： • 将区域边界划分为若干段，首先计算对各断施加单位力时在区域内产生的应力场或位移场，然后将这些与单位边界力对应的场乘以待定系数作线性叠加而得出区域内的应力场。再利用他们去拟合区域内应力或位移的观测结果，并根据最佳拟合准则求解出一串待定系数，而所求边界作用的大小和方向即由这些系数乘以单位力确定。 • 本章提出一种与上述方法不同的方法，他同样是基于有限元方法，根据大地测量测定的位移，可同时得到变形体的外界力和底部驱动力。

5.2 弹性力学基本方程 弹性力学基本方程描述了弹性物体物理力学性质、几何关系、应力应变关系、力的平衡关系和边界条件。谈们是求解弹性力学问题的基础。设（x y z）T为弹性体中任意一点的坐标，其位移、应变、应力分别表示为： • 位移： • 应变： • 应力：

5.2 弹性力学基本方程 弹性体内任意一点处的位移和应变之间的关系由如下集合方程描述：此处L为微分算子矩阵。弹性体内任意一点的应力-应变关系由下面物理方程给出：这里D成为刚性矩阵。作用在弹性体内任意一点的体积力与该点处的应力满足平衡方程：其中L是几何方程中定义的微分算子矩阵。

5.3 弹性力学平面问题的有限单元法 • 弹性体的体积域可用V域表示，弹性体的整个边界用s表示。根据边界上的位移和力的信息的了解情况，边界s又分为力的边界sσ与位移边界sμ。 • 弹性力学平面问题的求解思路是：首先对分析域进行单元剖分，对每一个单元建立以单元节点位移为参数的位移插值函数，使得单元内任意一点处的位移可由单元节点位移内插值求得。

（1）分析域的单元剖分 • 一般采用平面三角形单元的有限元格式对分析域进行剖分。设将分析域剖分成n个三角形单元。三角形的单元节点编码为i、j、k，以逆时针编码为正向。每个节点有2个位移分量，其表达形似为： • 在后面的叙述中，为避免重复地列出下标不同但形似一样的表达式，采用在表达式任然成立，每个单元6个节点如下：

（2）按最小能量原理建立有限元方程 由最小位能原理可知，真是位移总是使得总位能最小的位移。按照变分原理，可得到结构平衡方程：

（3）单元刚度矩阵和单元等效节点载荷 • 单元刚度矩阵单元刚度矩阵的形式为： • 单元等效节点荷载：

（3）单元刚度矩阵和单元等效节点载荷 • 单元刚度矩阵单元刚度矩阵的形式为： • 它的任意分块矩阵可表示为：

（3）单元刚度矩阵和单元等效节点载荷 • 单元等效节点荷载：

（4）有限元问题的求解步骤 • 对分析域进行单元划分； • 构造每个单元的单元刚度矩阵并计算单元等效节点荷载； • 构造结构敢赌矩阵和结构等效节点荷载； • 求解节点平衡方程，利用位移边界条件或位移约束求解节点平衡方程，得到节点位移； • 计算各单元的应变和应力

5.4基于弹性力学平面问题的变形驱动力反演 • 弹性体的体积域可用V域表示，弹性体的整个边界用s表示。根据边界上的位移和力的信息的了解情况，边界s又分为力的边界sσ与位移边界sμ。 • 弹性力学平面问题的求解思路是：首先对分析域进行单元剖分，对每一个单元建立以单元节点位移为参数的位移插值函数，使得单元内任意一点处的位移可由单元节点位移内插值求得。

计算结构等效节点荷载 首先以变形观测点为节点将分析域划分成三角单元格式，然后构造单元刚度矩阵K。节点位移已由变形观测得到所以节点等效荷载P：P=Ka • 边界力可由边界单元的节点位移求得。在分析域的边界上，按照边界条件表达式求得。

体积力等效节点荷载和体积力反演 等效节点荷载P包含两部分： • 体积力的等效节点荷载 • 边界力的等效节点荷载

驱动力反演步骤 • 单元剖分。以变形观测点为节点将分析域划分为三角单元； • 构造整体刚度矩阵； • 计算结构等效节点荷载。 • 计算边界力及其等效节点荷载。 • 计算体积力的等效节点荷载。 • 计算体积力分布。由体积力的等效节点荷载计算出节点体积力，进而由体积力的单元插值函数得到单元内体积分布。

在地壳驱动力反演中的应用 地球科学研究已经证明，地壳的变形和运动衣水平为主，所以在分析局部地壳变形时，可以将地壳的水平变形的求解问题作为平面应力问题处理。 • 结构等效节点荷载的计算结构等效节点荷载计算不仅是驱动力分布反演的第一步，它的计算结果，即结构等效节点荷载，对于变形分析具有实际意义。下表列出了结构等效节点计算结果。地幔驱动力具有比较明显的空间结构，其主要形似有： • 斡旋结构 • 带状结构

在地壳驱动力反演中的应用 • 结边界力的分布及其等效节点载荷 • 体积力及其等效节点荷载体积力及其等效节点荷载是结构等效节点荷载与边界力的等效节点荷载的差值。单元内部各点上的体积力是由单元节点上的体积力插值求得。地幔驱动力具有比较明显的空间结构，其主要形似有： • 斡旋结构 • 带状结构

5.5基于弹性力学空间问题的变形驱动力反演 当要反演的驱动力是三维驱动力，或者变形体的受力状况与平面应力或平面应变假设差距较大时，就需要进行三维反演，也就是基于空间问题来求变形的驱动力。 • 弹性力学空间问题的有限单元法 • 单元形式 • 单元位移函数 • 单元应变和单元应力 • 单元刚度矩阵 • 单元等效节点荷载

5.5基于弹性力学空间问题的变形驱动力反演 • 驱动力的三维反演 • 单元剖分 • 构成结构刚度矩阵 • 计算重力的等效节点荷载 • 计算垂直边界的边界力及其结构等效节点荷载 • 底部边界力函数 • 底部节点上等效节点荷载计算 • 底部驱动力反演

5.5驱动力三维反演步骤 • 驱动力三维反演步骤如下： • 单元剖分 • 构造结构刚度矩阵 • 计算重力的等效节点荷载 • 计算垂直边界上的驱动力及其结构等效节点荷载 • 计算底部边界力的结构等效节点荷载 • 计算底部节点驱动力向量Ts • 按照插值函数计算底部驱动力

第五章 变形模式的拓扑约束识别