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第二章 群的基本知识

第二章 群的基本知识. 群论是研究系统对称性的数学工具。. a. A. D. B. C. §2.1 群的概念 2.1.1 群的定义. 例如： 构成一个群. 定义： 在元素集合 G （ A , B , C , … ）中，定义一种结合法则（群乘）（ combination, composition ），满足： （ 1 ）封闭性： A ∈ G ， B ∈ G ，则 AB ∈ G （ 2 ）结合律： A , B , C ∈ G , 则 ( AB ) C = A ( BC )

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第二章 群的基本知识

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  1. 第二章 群的基本知识 群论是研究系统对称性的数学工具。 a A D B C

  2. §2.1 群的概念2.1.1 群的定义 例如： 构成一个群 定义：在元素集合G（A, B, C, …）中，定义一种结合法则（群乘）（combination, composition），满足： （1）封闭性：A∈G，B∈G，则AB∈G （2）结合律：A, B, C∈G, 则(AB)C = A(BC) （3）集合中有单位元素E∈G，使得对于任何A∈G，恒有EA=A （4）对于任何的A∈G，均存在逆元A-1∈G，使得A-1A=E

  3. 可以证明：AE=A；AA-1=E 证明：1）（若EA=A，必有AE=A） ∵若 ∴ ∴ ， ∴ 证明：2）左逆=右逆， 假定： 设 ∴ ∴

  4. 证明：4）群中的单位元素是唯一的。 假定有两个单位元E1 和E2， 由 ，得 or 证明：3） ∵ ，且 ∴

  5. 证明：6） 证明：5） （逆元） 且 （单位元） ∴

  6. 试讨论以下集合是否构成群： 1 全体整数对于数的加法 2 全体实数对于数的乘法 3 模（绝对值）为1的复数全体对于数的乘法 4 么正矩阵的全体对于矩阵的乘法 5 三维空间中矢量的全体对于矢量的叉乘

  7. 2.1.2 群的种类 定义：若群元素之间的结合满足交换律： ，则该群称为Abel群，或对易群（commutation Group）。 有限群（finite group），群元个数有限 群 无限群（infinite group），群元个数无限多 离散群（discrete group）可数 连续群（continuous group）不可数 定义：有限群中元素的数目称为群的阶（order）

  8. 2.1.3 有限群的性质 1．重排定理（rearrangement theorem）（它对无限群不成立） 设群 的阶为h. 若 ，则（Ai为G中任意元素） 即：AiG和GAi中每一元素不能相同且又是G中的元素，而共有h个群元，不能超过G的元素，则AiG就是G。

  9. 例：群 符合四条群公理。用其中任意一个元素乘整个群，所得到的仍然为原来的群，只是次序有变。 (2)x不能出现两次 若 ， 得： ∴ 证明：(1) 必出现

  10. 2．群元素的级 有限群G，A∈G 由于有限， ∴必有 ，即 ∴ ，r称为该元素的级 级和阶是两个概念，但有时值可相等， 如 中 就是如此 r为满足此式的最小整数

  11. 定义：由群G的一个最小的群元的集合（如Ai, Aj, …）及乘法关系就可以构造出一个群。这个最小的群元的集合中的元就称为群G的生成元（generator） 。群乘关系称作生成关系。 定义：若有限群G中的全部元素可由某个Ai的乘幂得到（不一定要求每一个元素，只要找到一个便可），则该群称为循环群（cyclic group）。Ai ——该群的生成元

  12. 2.1.4 群的乘法表 （右因子） （左因子） 约定：表中元素是竖元素乘横元素，即

  13. 例：矩阵组 按矩阵乘法构成一个群其乘法表为：

  14. 2.1.5 群的实例 2）二阶群： ， 如 所有二阶群的构造均一样 如宇称变换；全同粒子交换（费米） 生成元：A；{A, A2} 1）一阶群：E，满足 ，单位元素

  15. 3）三阶群： ∴三阶群唯一可能的乘法表为： 讨论：AB=A？不行， 否则 B=E是一个两阶群了。 AB=B？也不行，否则 A=E 唯一可能 AB=E，即 A=B-1, B=A-1（互逆） 又 A2=E？不行，否则 A=A-1 =B A2=A？不行，否则 A=E 唯一可能 A2=B； 同理 B2=A 生成元：A；{A, A2, A3} B；{B, B2, B3} 一阶、二阶、三阶群均是Abel群，也是循环群。

  16. 例；对称操作 （即绕一固定轴转 ）也构成三阶群 例： 的三个根 1， 组成三阶群（一般乘法）

  17. 4）四阶群: ⅰ）A，B，C中，一个自逆B，另两个互逆A，C。 乘法表示： , 绕某固定轴转 ——Abel群 (四阶循环群） 生成元：A；{A, A2, A3, A4} C；{C, C2, C3, C4}

  18. ⅱ）A, B, C均为自逆， （注意，不可能有两个自逆） 乘法表为： ——Klein四阶群 证明： （∵若 或 ，则 或 ） 同理 V ——Abel群（四阶反演群） 生成元：A, B；{A, A2, B, AB}

  19. 6）置换群（permutation group） 意为：1换成1，2换成2，…，n换成n ：n个物体所有这种可能置换的集合称为置换群 这种群对基本粒子的交换对称性有用。 原来的位置 新位置 5）转动群：所有旋转轴相交于一点的全部连续转动，构成 连续群

  20. 例： ： 共 3！个群元素

  21. 例如： 注意：置换是先进行右边的置换，再进行左边置换，即从右到左。 ∴置换不满足交换律，是非Abel群

  22. y A'(0,1) B C x A 7）正三角形对称群 共有六个元素：恒等变换E，绕三角形中0点顺时针转2/3和4/3角的变换D和F，三角形分别对三条中线的反射变换A，B，C。 坐标系上取固定的三点A', B'和C'，变换前正三角形三顶点A1, B1和C1分别与A', B'和C'重合。经变换， A1, B1和C1的位置发生变化，但总是分别和 A', B'和C'中的某一点重合。

  23. y A'(0,1) B C x A C3v的乘法表和S3一样 例如： 等 可以证明： C3v是非Abel群

  24. 8）四元数群（guatermon）－－8阶群 对复数： ，有两个单位 ，—— 二元素。 定义四元素： 且规定：

  25. §2.2 子群（subgroup），陪集（coset）， 共厄元素（conjugate）和类（class）2.2.1 子群 定义：若某群中的一部分元素的集合按原来的给合法则也构成群，——子群。 任何群的单位元素构成子群 G的全体也构成G的子群 →非真子群（平庸子群） 真子群的条件: 1 存在单位元 2 任意元素的逆元素也在这一子集内 3 任意两元素的乘积也在这一子集内

  26. y A'(0,1) B C x A 例： C3v群中， 中 构成真子群。 顺时针赚120º 沿A轴反演

  27. 例：实数（加法），单位元为：0 有理数（加法），单位元为：0 ↑子群 整数（加法），单位元为：0 ↑子群 子群链 偶数（加法），单位元为：0 ↑子群

  28. 2.2.2 陪集 定义：群中G有一个子群g{H1, H2, …, Hh}，有一群元xG， 集合xg={xH1, xH2, …, xHh}称为g的左陪集（left coset）， gx={H1x, H2x, …, Hhx}称为的右陪集（right coset）. 注： 如果xg，则 xg=gx=g为子群本身。 陪集可能是G的一个子群，也可能不够成群。

  29. y A'(0,1) B C x A 例： C3v群中，子群{E, D, F}只有一个陪集{A, B, C} 子群{E, A}对Ｂ的右陪集为{B, D} ，左陪集为{B, F} 对C的右陪集为{C, F} ，左陪集为{C, D}

  30. 定理: (1)子群g的两个左（右）陪集，或者包含相同的一组元素，或者没有共同元素。 证： 假如： ，则有（作 ） ∴ ∵ ，∴ ，∴ 即 (2) 若x不是g的一个元，那么gx (xg)不是一个群。 （3）G中的每一个元必然落在子群或某一个左（右）陪集中。

  31. (4) 若子群g的阶为h，G的阶为H，则每一个左（右）陪集包含h个不同的元，即在集合gx (xg)的h个元中，没有相同的元存在。 (5) 若y是gx (xg)的元，那么， gy (yg)与 gx (xg)是相同的。

  32. Lagrange定理：子群g的阶(h)必定能够整除整个群G的阶(H)。Lagrange定理：子群g的阶(h)必定能够整除整个群G的阶(H)。 证：若g遍举群G的全部元素，则h=H，故H/h=1；若不能遍举,作A1g，且A1g与g无共同元素。若g+A1g遍举G所有元素，则H/h=2。若不能，作A2g，且它与g, A1g无共同元素，若g+A1g+ A2g能遍举G，则H/h=3。 因为是有限群，总有G = g+A1g+ A2g+Al-1g ∴ H/h=i (i为子群的指数） 例：证明：若群的阶为素数，则该群必为循环群。 证明：设群的阶为h，若某元素A：Ar=E， 若 r<h，则 h/r = 整数，但h为素数，故必有r=h。 注意：陪集并不构成群。

  33. 2.2.3 共厄元素和类 定义：A, B, xG，若xAx-1=B，则称B是A的共轭元素（conjuate）。 性质：1）共厄关系是相互的 ∵ 2）共厄关系具有传递性 A, B, CG，若A, B分别与C共厄， 即 则A和B共厄： 由 ∴ 3）任何元素与自身共厄：

  34. 定义：群G中互相共轭的元素所形成的集合称为类（class），类中元素的数目称为类的阶。定义：群G中互相共轭的元素所形成的集合称为类（class），类中元素的数目称为类的阶。 （相似变换的 x( )x-1 中的 x 对类中不同元素是可以不一样的，x要取遍整个G） ∴ 只要给出类中任意一个元素就可求得类中所有元素。 单位元素单独成一类，这是因为xEx-1=E 普遍地，若A1, A2, Ai, Aj, An是一类，对任一xG， xAix-1必定在A1, An内，但它不构成群。 任意x

  35. 例：三点对称群有三个类： 1）E自成一类，因为它与所有元素可对易 2）D、F组成一类，因 3）A，B，C组成一类，因为：

  36. 性质：1）单位元素E自成一类 2）Abel群的每个元素自成一类 ∵ 3）同一类中的所有元素都具有相同的级。 （n是A元素的级，若An=E） 证：若An=E，则 4）群G的阶h可以被共厄元素类的阶l所整除： 即 h/l = 整数。

  37. 5）不同的类中没有共同的元 6）除单位元这一类外，其余各类都不是子群 （因为无单位元） 7）对于矩阵群，同一类中的各元互为相似矩阵，因此，同类中各元具有相同的迹。 8）若C是群G的一个类，C是C中所有元的逆的集合，那么， C也是群G的一个类，称为C的逆类。

  38. 2.2.4 共轭子群（conjugate subgroup） 和正规子群（不变子群：nomal divisor） 定理：若g为G的子群，A为G的任意元素，则AgA-1也是一个子群，称作群g的共轭子群（ A可以g）。 证：H1, H2g，作 ， 1）封闭性： 2）单位元素： 3）逆元： 由于g中必有 ， ∴ g和AgA-1至少有一个单位元是共同的

  39. 例： 其中，E，B构成子群 ，且： ∴ 构成子群

  40. 是它的不变子群，这是因为： 定义：g是G的子群，对任意AiG, 恒有AigAi-1=g，则g称为G的不变子群或正规子群（即子群所有的左陪集和相应的右陪集相等）。 例： 指包含有相同的元素 同理

  41. 例： 其中，E，D，F构成正规子群

  42. 阿贝尔群的所有子群都是不变子群。 指数为2的子群一定是不变子群。

  43. 2.2.5 同构（isomorphism）和同态(homomorphism） 定义：若群G和G的所有元素间均按某种规律存在一一对应关系，它们的乘积也按同一规律一一对应，则称两群同构。 即：若R, SG; R, SG; RR, SS, 必有RSRS，则GG。 “”——一一对应，“”——同构 对G的所有定理，对G也成立，因此，在群论中，所有同构的群均被看作同一群。 例：所有二阶群都同构于二阶反演群V2 例：正三角形对称群C3V和S3有相同乘法表，因此互相同构。

  44. 子群g和它的共轭子群AgA-1是同构的 例： 其中，E，B构成子群 ，共轭子群AgA-1为 两者同构

  45. 定义：如果群G的任一个元素A都唯一地对应于群G的一个元素 A, 而群G中的一个元素对应于群G的元素不只一个，并且如果对应于AB=C，就有AB=C，则称G同态于G，记为 GG。 即

  46. G G 其中 称为同态对应的核core 例： G中与G中单位元E对应的那些元称为这一同态关系的同态核。

  47. 同态定理： 若GG，分别与G中单位元相对应的G中元素的集合H构成群G不变子群， H称为同态对应的核。 证明： （1）若 则 ，即对 ，因此是群G的子群。 （2）若 则 这就是说 所以P是G的正规/不变子群。

  48. 2.2.6 商群（quotient group） 定义：对于集合S（不一定是群）分成集合 若 ， ，则恒有 ，这种分解称为正则分解（regular resolution）

  49. 定理：群G按照正规子群g及其陪集的分解是一种正则分解。定理：群G按照正规子群g及其陪集的分解是一种正则分解。 证： 定义：将群G按照正规子群g进行正则分解（陪集）,所得到的元素集合（即g及其所有陪集）当作元素，则称这样元素的集合为G按g分解所得的商群。 正规子群左右陪集相等

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